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第二章

平面向量复习课（一）

一、教学目标

1. 理解向量.零向量.向量的模.单位向量.平行向量.反向量.相等向量.两向量的夹角等概念。

2. 了解平面向量基本定理. 3. 向量的加法的平行四边形法则（共起点）和三角形法则（首尾相接）。

4. 了解向量形式的三角形不等式：||a|-|b|≤|a±b|≤|a|+|b|(试问：取等号的条件是什么?)和向量形式的平行四边形定理：2(|a|+|b|)=|a－b|+|a+b|. 5. 了解实数与向量的乘法（即数乘的意义）：

6. 向量的坐标概念和坐标表示法

7. 向量的坐标运算（加.减.实数和向量的乘法.数量积）

8. 数量积（点乘或内积）的概念，a·b=|a||b|cos=x1x2+y1y2注意区别“实数与向量的乘法；向量与向量的乘法”

二、知识与方法

向量知识，向量观点在数学.物理等学科的很多分支有着广泛的应用，而它具有代数形式和几何形式的“双重身份”能融数形于一体，能与中学数学教学内容的许多主干知识综合，形成知识交汇点，所以高考中应引起足够的重视. 数量积的主要应用：①求模长；②求夹角；③判垂直

三、教学过程

（一）重点知识：

1. 实数与向量的积的运算律：

2222(1)

(a)()a

(2)

()a

aa (3)

(ab)ab

2. 平面向量数量积的运算律: 

(1)

abba (2)

(a)b(ab)a(b)(3)

(ab)c

acbc

3. 向量运算及平行与垂直的判定: 设a(x1,y1),b(x2,y2),(b0).

则ab(x1x2,y1y2)

ab(x1x2,y1y2)

abx1x2y1y2

a//bx1y2x2y10.

abx1x2y1y20.

4. 两点间的距离:

|AB|(x1x2)2(y1y2)2

5. 夹角公式: cosab

a

bx1x2y1y2

x1y1x2y22222

6. 求模：

aaa

ax2y2

a(x1x2)2(y1y2)2

（二）习题讲解：《习案》P167 面2题，P168面6题，P169面1题，P170面5、6题，

P171面1、2、3题，P172面5题，P173面6题。

（三）典型例题

例1．

已知O为△ABC内部一点，∠AOB=150°，∠BOC=90°，设OA=a，OB=b，OC=c，

且|a|=2，|b|=1，| c|=3，用a与b表示c

解：如图建立平面直角坐标系xoy，其中i, j是单位正交基底向量, 则B（0，1），C（-3，0），

设A（x，y），则条件知x=2cos(150°-90°),y=-2sin(150°-90°)，即A（1，-3），也就是a=i －3j, b=j，

c=-3i所以-3a=33b+c|即c=3a－33b

（四）基础练习：

《习案》P178面6题、P180面3题。

（五）、小结：掌握向量的相关知识。

（六）作业：《习案》作业二十七。

第二章

平面向量复习课（二）

一、教学过程

（一）习题讲解：《习案》P173面6题。

（二）典型例题

例1．已知圆C：(x3)(y3)4及点A（1，1），M是圆上任意一点，点N在线段MA的延22长线上，且MA2AN，求点N的轨迹方程。

练习：1.

已知O为坐标原点，OA=（2，1），OB=（1，7），OC=（5，1），OD=xOA,y=DB·DC

（x，y∈R）

求点P（x，y）的轨迹方程；

2.

已知常数a>0，向量m(0,a),n(1,0)，经过定点A（0，－a）以mn为方向向量的直线与经过定点B（0，a）以n2m为方向向量的直线相交于点P，其中R.求点P的轨迹C的方程；

例2.设平面内的向量OA(1,7), OB(5,1), OM(2,1)，点P是直线OM上的一个动点，求当PAPB取最小值时，OP的坐标及APB的余弦值．

解

设OP(x,y)．∵

点P在直线OM上，

∴

OP与OM共线，而OM(2,1)，∴

x－2y=0即x=2y，

有OP(2y,y)．∵

PAOAOP(12y,7y)，PBOBOP(52y,1y)，

∴

PAPB(12y)(52y)(7y)(1y)

= 5y2－20y+12 = 5(y－2)2－8．

从而，当且仅当y=2，x=4时，PAPB取得最小值－8，

此时OP(4,2)，PA(3,5)，PB(1,1)．

于是|PA|34，|PB|2，PAPB(3)15(1)8，

∴

cosAPBPAPB|PA||PB|8342417

17小结：利用平面向量求点的轨迹及最值。

作业：〈习案〉作业二十八。