小结优质课一等奖

平面向量小结（一）

——基底法与坐标法

一、教学目标

1、理解平面向量有关概念

2、了解平面向量基本定理

3、学会基底法与坐标法两种方法，并体会到两种方法之间的关系

二、教学重难点

重点：平面向量的相关概念、基底法与坐标法的运用

难点：解决平面向量问题基底法与坐标法两种方法的区别与联系

三、教学过程

1.概念梳理

（1）向量的概念：既有大小又有方向的量，注意向量和数量的区别。

（2）零向量：长度为0的向量叫零向量，记作：0，注意零向量的方向是任意的；

（3）单位向量：长度为一个单位长度的向量叫做单位向量(与AB共线的单位向量是AB)；

|AB|（4）相等向量：长度相等且方向相同的两个向量叫相等向量，相等向量有传递性；

（5）平行向量（也叫共线向量）：方向相同或相反的非零向量a、b叫做平行向量，

记作：a∥b，规定零向量和任何向量平行。

提醒：

①相等向量一定是共线向量，但共线向量不一定相等；

②两个向量平行与与两条直线平行是不同的两个概念：两个向量平行包含两个向量共线, 但两条直线平行不包含两条直线重合；

③平行向量无传递性！（因为有0)；

AC共线；

④三点A、B、C共线AB、

（6）相反向量：长度相等方向相反的向量叫做相反向量。a的相反向量是－a。

- 1 -

2、向量的表示方法：

（1）几何表示法：用带箭头的有向线段表示，如AB，注意起点在前，终点在后；

（2）符号表示法：用一个小写的英文字母来表示，如a，b，c等；

（3）坐标表示法：在平面内建立直角坐标系，以与x轴、y轴方向相同的两个单位向量i，j为基底，则平面内的任一向量a可表示为axiyjx,y，称x,y为向量a的坐标，a＝x,y叫做向量a的坐标表示。如果向量的起点在原点，那么向量的坐标与向量的终点坐标相同。

3、向量的几何运算：

①向量加法：利用“平行四边形法则”进行，但“平行四边形法则”只适用于不共线的向量，如此之外，向量加法还可利用“三角形法则”：设ABa,BCb，那么向量AC叫做a与b的和，即abABBCAC；

②向量的减法：用“三角形法则”：设由减向量的终点指向被减向ABa,ACb,那么abABACCA，量的终点。注意：此处减向量与被减向量的起点相同。

4、实数与向量的积：实数与向量a的积是一个向量，记作a，它的长度和方向规定如下：1aa,2当>0时，时，a的方向与a的方向相反，当＝0时，a0，注意：a≠0。

5、平面向量的数量积：

如果两个非零向量a，b，它们的夹角为，我们把数量（或内积或点积），记作：ab，|a||b|cos叫做a与b的数量积即ab＝abcos。规定：零向量与任一向量的数量积是0，注意数量积是一个实数，不再是一个向量。

6、两种方法——基底法与坐标法

平面向量的基本定理：如果e1和e2是同一平面内的两个不共线向量，那么对该平面内的任一向量a，有且只有一对实数、2，使a=e1＋e2。在平面内建立直角坐标系，以与x轴、y轴方向相同的两个单位向量i，j为基底，则平1a的方向与a的方向相同，当<012- 2 -

面内的任一向量a可表示为axiyjx,y，称x,y为向量a的坐标，a＝x,y叫做向量a的坐标表示。如果向量的起点在原点，那么向量的坐标与向量的终点坐标相同。

7、典型例题

例1【2015高考，理4】已知菱形ABCD的边长为

ABC600,则BDCD

—————. 一、基底法 BDBABC,CDBABDCD(BABC)BA

yA

B

O

C

D

(BA)2BCBAa2a2cos60032a.2二、坐标法

x解：以菱形ABCD的对角线BD,CA所在的直线分别为 x,y轴，建立如上图所示的直角坐标系,则

B(a33a3a3aa,0)D(,0)C(0,)BD(3a,0),CD(,)BDCDa2.

222222例

2【2013全国2理13】已知正方形

ABCD

的边长为

2,E为CD的中点,则AEBD_______. 例

3【2016全国2理3】已知向量a(1,m),b(3,2)

,且

- 3 -

(ab)b

，则m______.

例

4 【2012高考浙江理15】在△ABC中，M是BC的中点，AM=3，BC=10，则8

小结

基底法与坐标法的联系与区别是什么？

9

作业

（1）写出本章复习的小结，画出思维导图以及对今后的学习计划

（2）完成复习参考题

=________. - 4 -