探究与发现 利用单位圆中的三角函数线研究正弦函数、余弦函数的性质教学设计模板

§1.5

函数y＝Asin(ωx＋φ)的图象(二) 课时目标

1.会用“五点法”画函数f(x)＝Asin(ωx＋φ)的图象.2.明确函数f(x)＝Asin(ωx＋φ)(A、ω、φ为常数，A>0，ω>0)中常数A、ω、φ的物理意义．理解振幅、频率、相位、初相的概念.3.了解函数f(x)＝Asin(ωx＋φ)图象的对称性(如对称轴，对称中心)．

1．简谐振动

简谐振动y＝Asin(ωx＋φ)中，______叫做振幅，周期T＝______，频率f＝______，相位是______，初相是______．

2．函数y＝Asin(ωx＋φ) (A>0，ω>0)的性质如下：

R

定义域

__________ 值域

周期性

T＝____________ φ＝______________时是奇函数；φ＝____________________________时是偶函数；kπ奇偶性

当φ≠(k∈Z)时是__________函数

2单调增区间可由__________________________________________得到，单调减区单调性

间可由______________________________得到

一、选择题

1．函数y＝Asin(ωx＋φ) (A>0，ω>0)为偶函数的条件是(

) ππA．φ＝＋2kπ (k∈Z)

B．φ＝＋kπ (k∈Z) 22C．φ＝2kπ (k∈Z)

D．φ＝kπ(k∈Z) ππx＋φ(|φ|<)的图象经过点(0,1)，则该简谐运动的最小正周期T2．已知简谐运动f(x)＝2sin32和初相φ分别为(

) ππA．T＝6，φ＝

B．T＝6，φ＝

63ππC．T＝6π，φ＝

D．T＝6π，φ＝

633．下列函数中，图象的一部分如下图所示的是(

) πx＋

A．y＝sin6π2x－

B．y＝sin6π4x－

C．y＝cos3

π2x－

D．y＝cos6π4．已知函数y＝sin(ωx＋φ)(ω>0，|φ|<)的部分图象如图所示，则(

) 2πA．ω＝1，φ＝

6

πB．ω＝1，φ＝－

6πC．ω＝2，φ＝

6πD．ω＝2，φ＝－

65．函数y＝sin(ωx＋φ) (x∈R，ω>0,0≤φ<2π)的部分图象如图所示，则(

) ππA．ω＝，φ＝

24ππB．ω＝，φ＝

36ππC．ω＝，φ＝

44π5πD．ω＝，φ＝

44

ππ6．设函数f(x)＝2sin2x＋5，若对于任意x∈R，都有f(x1)≤f(x)≤f(x2)成立，则|x1－x2|的最小值为(

) 1A．4

B．2

C．1

D.

2

1

2

3

4

5

题

号

答

案

二、填空题

π12x－与y轴最近的对称轴方程是__________．

7．函数y＝sin628．已知函数y＝sin(ωx＋φ) (ω>0，－π≤φ<π)的图象如下图所示，则φ＝________. 6

π9．函数y＝sin 2x的图象向右平移φ个单位(φ>0)得到的图象恰好关于x＝对称，则φ的最6小值是________．

π2x＋

(x∈R)，有下列命题

10．关于f(x)＝4sin3

①由f(x1)＝f(x2)＝0可得x1－x2是π的整数倍；

π2x－；

②y＝f(x)的表达式可改写成y＝4cos6π－，0对称；

③y＝f(x)图象关于6π④y＝f(x)图象关于x＝－对称．

6其中正确命题的序号为________(将你认为正确的都填上)．

三、解答题

π，2，此点到相邻最11．已知曲线y＝Asin(ωx＋φ) (A>0，ω>0)上的一个最高点的坐标为83πππ，0，若φ∈－，. 低点间的曲线与x轴交于点822(1)试求这条曲线的函数表达式；

(2)用“五点法”画出(1)中函数在[0，π]上的图象．

3π12．已知函数f(x)＝sin(ωx＋φ) (ω>0,0≤φ≤π)是R上的偶函数，其图象关于点M4，0对π0，上是单调函数，求φ和ω的值．

称，且在区间2

能力提升

π5π13．右图是函数y＝Asin(ωx＋φ)(x∈R)在区间[－，]上的图象．为了得到这个函数的图象，66只要将y＝sin x(x∈R)的图象上所有的点(

) π1A．向左平移个单位长度，再把所得各点的横坐标缩短到原来的倍，纵坐标不变

32πB．向左平移个单位长度，再把所得各点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变

3π1C．向左平移个单位长度，再把所得各点的横坐标缩短到原来的倍，纵坐标不变

62πD．向左平移个单位长度，再把所得各点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变

6π14．如果函数y＝sin 2x＋acos 2x的图象关于直线x＝－对称，那么a等于(

) 8A.2

B．－2

C．1

D．－1

1．由函数y＝Asin(ωx＋φ)的部分图象确定解析式关键在于确定参数A，ω，φ的值．

(1)一般可由图象上的最大值、最小值来确定|A|. 2π(2)因为T＝，所以往往通过求周期T来确定ω，可通过已知曲线与x轴的交点从而确定T，ωT即相邻的最高点与最低点之间的距离为；相邻的两个最高点(或最低点)之间的距离为T. 2φ－，0(也叫初始点)作为突破口．以y＝Asin(ωx＋(3)从寻找“五点法”中的第一零点ωφ)(A>0，ω>0)为例，位于单调递增区间上离y轴最近的那个零点最适合作为“五点”中的第一个点．

2．在研究y＝Asin(ωx＋φ)(A>0，ω>0)的性质时，注意采用整体代换的思想．如，它在ωxπ3π＋φ＝＋2kπ(k∈Z)时取得最大值，在ωx＋φ＝＋2kπ(k∈Z)时取得最小值．

22

§1.5

函数y＝Asin(ωx＋φ)的图象(二) 答案

知识梳理

2πω1．A

ωx＋φ

φ

ω2π2ππππ2．[－A，A]

kπ (k∈Z)

＋kπ (k∈Z)

非奇非偶

2kπ－≤ωx＋φ≤2kπ＋

(k∈Z)

|ω|222π3π2kπ＋≤ωx＋φ≤2kπ＋(k∈Z) 22作业设计

1．B

2π2π1πππ2．A

[T＝＝＝6，代入(0,1)点得sin φ＝.∵－<φ<，∴φ＝.] ωπ22263ππ2ππ＋＝π，∴ω＝＝2.又x＝时，y＝1.] 3．D

[由图知T＝4×126T12T7πππ7ππ4．D

[由图象知＝－＝，∴T＝π，ω＝2.且2×＋φ＝kπ＋π(k∈Z)，φ＝kπ－(k∈41234126Z)．

ππ又|φ|<，∴φ＝－.] 26ππω＝4ω×1＋φ＝25．C

[由，解得.] πω×3＋φ＝πφ＝4



6．B

[对任意x∈R，f(x1)≤f(x)≤f(x2)成立．

∴f(x1)＝f(x)min＝－2，f(x2)＝f(x)max＝2. T12π∴|x1－x2|min＝＝×＝2.] 22π2π7．x＝－

6ππkπππ解析

令2x－＝kπ＋(k∈Z)，∴x＝＋(k∈Z)．由k＝0，得x＝；由k＝－1，得x＝－62233π. 69π8.

10解析

由图象知函数y＝sin(ωx＋φ)的周期为

3π5π2π5π42π－＝，∴＝，∴ω＝. 242ω253∵当x＝π时，y有最小值－1，

443ππ∴×＋φ＝2kπ－

(k∈Z)．

5429π∵－π≤φ<π，∴φ＝. 105π9.

12解析

y＝sin 2x向右平移φ个单位得

f(x)＝sin 2(x－φ)＝sin(2x－2φ)．

ππ－2φ＝±由f＝sin631，

ππ∴－2φ＝kπ＋(k∈Z)，

32π5∴2φ＝－kπ－，令k＝－1，得2φ＝π，

66π5π5－＝π.

∴φ＝π或作出y＝sin 2x的图象观察易知φ＝－12641210．②③

π解析

对于①，由f(x)＝0，可得2x＋＝kπ (k∈Z)．

3kππ∴x＝π－，∴x1－x2是的整数倍，∴①错；

262

π2x＋利用公式得：

对于②，f(x)＝4sin3πππ2x＋＝4cos2x－. f(x)＝4cos2－36∴②对；

ππ2x＋的对称中心满足2x＋＝kπ，

对于③，f(x)＝4sin33kπ∴x＝π－，

26π－，0是函数y＝f(x)的一个对称中心．∴③对；

∴6ππ对于④，函数y＝f(x)的对称轴满足2x＋＝＋kπ，

32πkπ∴x＝＋.∴④错．

1223π11．解

(1)由题意知A＝2，T＝4×8π－8＝π，

2πω＝＝2，∴y＝2sin(2x＋φ)．

Tπππ×2＋φ＝1，∴＋φ＝2kπ＋，k∈Z，

又∵sin842π∴φ＝2kπ＋，k∈Z，

4πππ－，，∴φ＝. 又∵φ∈224π2x＋

∴y＝2sin4(2)列出x、y的对应值表：

ππ35x －

π

π

8888ππ30

π

2x＋

π

422y 0

0

2

－2

描点，连线，如图所示：

7π

82π

0 12．解

∵f(x)在R上是偶函数，

∴当x＝0时，f(x)取得最大值或最小值．

ππ即sin φ＝±1，得φ＝kπ＋，k∈Z，又0≤φ≤π，∴φ＝. 2233π42π，0对称可知，sinπω＋＝0，解得ω＝k－，k∈Z. 由图象关于M24433π2π0，上单调函数，所以T≥π，即≥π，

又f(x)在2ω∴ω≤2，又ω>0，

2∴当k＝1时，ω＝；当k＝2时，ω＝2. 3

5ππ2π13．A

[由图象可知A＝1，T＝－(－)＝π，∴ω＝＝2. 66Tπ2π2π∵图象过点(，0)，∴sin(＋φ)＝0，∴＋φ＝π＋2kπ，k∈Z，

333πππ∴φ＝＋2kπ，k∈Z.∴y＝sin(2x＋＋2kπ)＝sin(2x＋)．

333π1故将函数y＝sin x先向左平移个单位长度后，再把所得各点的横坐标缩短到原来的倍，

32纵坐标不变，可得原函数的图象．] π14．D

[方法一

∵函数y＝sin 2x＋acos 2x的图象关于x＝－对称，

8π－＝f(0) 设f(x)＝sin 2x＋acos 2x，则f4ππ－＋acos－＝sin 0＋acos 0.∴a＝－1. ∴sin22ππ－－x＝f－＋x，

方法二

由题意得f88ππ－＝f(0)，即－1＝a.] 令x＝，有f48