小结优秀教学设计内容

第二章

平面向量（小结与复习）-----学案

一、学习目标

1. 理解向量.零向量.向量的模.单位向量.平行向量.反向量.相等向量.两向量的夹角等概念。

2. 了解平面向量基本定理. 3. 向量的加法的平行四边形法则（共起点）和三角形法则（首尾相接）。

4. 了解向量形式的三角形不等式

a

- b

≤

a±b

≤

a

+ b

(试问

取等号的条件是什么?)和向量形式的平行四边形定理

2( a

2+ b

2)= a－b

2+ a+b

2. 5. 了解实数与向量的乘法（即数乘的意义）

6. 向量的坐标概念和坐标表示法

7. 向量的坐标运算（加.减.实数和向量的乘法.数量积）

8. 数量积（点乘或内积）的概念，a·b= a

b

cos= x1x2y1y2注意区别“实数与向量的乘法；向量与向量的乘法”

二、自主学习

（一）知识梳理、构建

络

1．平面向量的基本概念

2．向量的线性运算

3．向量的坐标运算

4．平面向量的数量积

5．平面向量的应用

三、合作探究

专题一

向量的共线问题

第

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运用向量平行(共线)证明常用的结论有

(1)向量a、b(a≠0)共线⇔存在唯一实数λ，使b＝λa；(2)向量a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)共线⇔x1y2－x2y1＝0；(3)向量a与b共线⇔

a·b

＝

a

b

；(4)向量a与b共线⇔存在不全为零的实数λ1，λ2，使λ1a＋λ2b＝0. 判断两向量所在的直线共线时，除满足定理的要求外，还应说明此两直线有公共点．

【例1】

设坐标平面上有三点A、B、C，i、j分别是坐标平面上x轴，y轴正方向的单位向量，

→→若向量AB＝i－2j，BC＝i＋mj，那么是否存在实数m，使A、B、C三点共线．

→→解

法一

假设满足条件的m存在，由A、B、C三点共线，即AB∥BC，

λ＝1，→→∴存在实数λ，使AB＝λBC，i－2j＝λ(i＋mj)，

λm＝－2，

∴m＝－2，∴当m＝－2时，A、B、C三点共线．

法二

假设满足条件的m存在，根据题意可知

i＝(1,0)，j＝(0,1)，

→∴AB＝(1,0)－2(0,1)＝(1，－2)，

→→→BC＝(1,0)＋m(0,1)＝(1，m)，由A、B、C三点共线，即AB∥BC，故1·m－1·(－2)＝0，

解得m＝－2，∴当m＝－2时，A、B、C三点共线．

专题二

向量的夹角及垂直问题

1．求两个向量的夹角主要利用两个公式

a·b(1)cos θ＝，求解的前提是

求出这两个向量的数量积和模．

|a||b|(2)cos θ＝x1x2＋y1y2222x21＋y1x2＋y2，求解的前提是

可以求出两个向量的坐标．

2．解决垂直问题，其关键在于将问题转化为它们的数量积为零，与求夹角一样，若向量能用坐标表示，将它转化为“x1x2＋y1y2＝0”较为简单．

3．用向量方法解决平面几何中的夹角与垂直问题的关键在于

选用适当向量为基底，把所要研究的问题转化为两向量的夹角与垂直问题，再利用向量知识求角．

【例2】

已知三个点A(2,1)，B(3,2)，D(－1,4)．

(1)求证

AB⊥AD；

(2)若四边形ABCD为矩形，求点C的坐标以及矩形ABCD两对角线所夹锐角的余弦值．

→→(1)证明

∵A(2,1)，B(3,2)，D(－1,4)，∴AB＝(1,1)，AD＝(－3,3)．

→→→→∵AB·AD＝1×(－3)＋1×3＝0，∴AB⊥AD，即AB⊥AD. →→→→(2)解

∵AB⊥AD，四边形ABCD为矩形，∴AB＝DC. 第

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→设C点坐标为(x，y)，则DC＝(x＋1，y－4)，

x＋1＝1，x＝0，∴解得∴点C坐标为(0,5)．

y－4＝1.y＝5.

→→→→→→从而AC＝(－2,4)，BD＝(－4,2)，且

AC

＝25，

BD

＝25，AC·BD＝8＋8＝16，

→→AC·BD164→→设AC与BD的夹角为θ，则cos θ＝＝＝. →→205|AC|·|BD|4∴矩形ABCD的两条对角线所夹锐角的余弦值为. 5专题三

向量的长度(模)与距离的问题

向量的模不仅是研究向量的一个重要量，而且是利用向量的方法解决几何问题的一个交汇点．一般地，求向量的模主要利用公式

a

2＝a2，将它转化为向量的数量积问题，再利用数量积的运算律和运算性质进行展开、合并，使问题得以解决，或利用公式

a

＝x2＋y2，将它转化为实数问题，使问题得以解决．

【例3】

设

a

＝

b

＝1，

3a－2b

＝3，求

3a＋b

的值．

1解

法一

∵ 3a－2b

＝3，∴9a2－12a·b＋4b2＝9.又∵

a

＝

b

＝1，∴a·b＝. 31∴ 3a＋b

2＝(3a＋b)2＝9a2＋6a·b＋b2＝9＋6×＋1＝12.∴ 3a＋b

＝23. 3222法二

设a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)．∵

a

＝

b

＝1，∴x21＋y1＝x2＋y2＝1. ∵3a－2b＝(3x1－2x2,3y1－2y2)，∴

3a－2b

＝13.∴x1x2＋y1y2＝. 3∴ 3a＋b

＝x1＋x22x1－2x22＋y1－2y22＝＋y1＋y22＝

19＋1＋6×＝23. 3专题四

平面向量与函数的综合问题

平面向量既反映了数量关系，又体现了几何图形的位置关系，从而将数和形有机地结合起

，因此以平面向量的相关知识为载体，在知识交汇处设计创新力度较大、综合性较强的试题，有效地沟通了知识间的横向联系，有助于知识

络的构建，有力地考查了学生的综合能力．

【例4】

设0< a

≤2，f(x)＝cos2x－

a sin －

b

的最大值为0，最小值为－4，且a与b的夹角为45°，求

a＋b . |a||a|sin x＋2＋－

b

＋1. 解

f(x)＝1－sinx－

a sin －

b

＝－2422|a||a|2∵0< a ≤2，∴当sin ＝－时，－

b

＋1＝0；

24第

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|a|4－|b|＋1＝0，|a|＝2，当sin ＝1时，－

a

－

b

＝－4.由得

|b|＝22.－|a|－|b|＝－42

∴

a＋b

2＝(a＋b)2＝a2＋2a·b＋b2＝22＋2×2×2cos 45°＋22＝8＋42，

∴

a＋b

＝8＋42＝22＋2. 四、学以致用

1. 已知a＝(1,2)，b＝(－3,2)，若

a＋2b与2a－4b平行，求实数

的值．

解

法一

向量

a＋2b与2a－4b平行，则存在唯一实数λ，使

a＋2b＝λ(2a－4b)．

∵

a＋2b＝

(1,2)＋2(－3,2)＝(

－6,2

＋4)，2a－4b＝2(1,2)－4(－3,2)＝(14，－4)，

∴(

－6,2

＋4)＝λ(14，－4)．

λ＝－2，k－6＝14λ，∴解得2k＋4＝－4λ，

1k＝－1.

∴实数

的值为－1. 法二

∵

a＋2b＝

(1,2)＋2(－3,2)＝(

－6,2

＋4)，2a－4b＝2(1,2)－4(－3,2)＝(14，－4)，

a＋2b与2a－4b平行，∴(

－6)×(－4)－(2

＋4)×14＝0.解得

＝－1. 2.已知向量a＝(4，－2)，b＝(x,1)．

(1)若a，b共线，求x的值；

(2)若a⊥b，求x的值；

(3)当x＝2时，求a与b夹角θ的余弦值．

解

(1)∵a，b共线，∴－2x＝4.∴x＝－2. 1(2)∵a⊥b，∴4x－2＝0.∴x＝. 2(3)当x＝2时，a·b＝6，

a

＝20，

b

＝5.∴cos θ＝a·b63＝＝. |a||b|20×553.已知平面上三个向量a、b、c的模均为1，它们相互之间的夹角为120º．

（1）求证

(ab)⊥c；（2）若|kabc|1，求实数

的取值范围．

解

（1）由于(ab)·c=acbc=|a||c|cos120|b||c|cos120=0，

所以(ab)⊥c；

（2）由于|kabc|1，则|kabc|1，

所以kabc2kab2kac2bc1

由于|a||b||c|1，且a、b、c相互之间的夹角为120º，

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22222

222得abc1，且abbcac1，

22所以k2k0，故k0或k2，所以实数

的取值范围为(,0)(2,)．

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