探究与发现 函数y=Asin（ωx+φ）及函数y=Acos（ωx+φ）的周期优秀教案内容

雷州八中高效课堂数学学科导学稿（学生版）

编号

SX004 主编人：潘金平

审稿人：

定稿日：2018—08—01 协编人：高三数学科组

使用人：高三文科学生

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使用说明：请阅读必修4教材，参考复习资料书，用5分钟完成自主探究，有能力的同学可以自行完成合作探究中的问题

课题：三角函数y＝Asin(ωx＋φ)的图象及应用（2019年文科高考一轮复习课）

学习目标：1.学会“五点法”作图，抓住函数y＝Asin(ωx＋φ)的图象的特征；2.学会三种图象变换，从整体思想和数形结合思想确定函数y＝Asin(ωx＋φ)的性质.

【知识存盘】

一、知识梳理

1.“五点法”作图的实质：利用“五点法”作函数y＝Asin(ωx＋φ)的图象，实质是利用函数的三个零点、两个最值点画出函数在一个周期内的图象. 2.用“五点法”作函数y＝Asin(ωx＋φ)图象的步骤

第一步：列表. 第二步：在同一坐标系中描出各点.第三步：用光滑曲线连接这些点，得到图象. π3πωx＋φ

0

π

2π

22πφ3πφφπφ2πφx －

－

－

－

－

ωωω2ωωω2ωωω－A y 0

A 0

0 3.在y＝Asin(ωx＋φ)，x∈[0，＋∞)(A＞0，ω＞0)中，各参数的物理意义. 振幅

它是简谐振动的物体离开平衡位置的最大距离

A 2π周期

它是物体往复运动一次所需要的时间

T＝

ω1ω频率

它是单位时间内往复运动的次数

f＝＝

T2π相位

ωx＋φ

其中φ为初相

4.函数y＝sin x的图象经变换得到y＝Asin(ωx＋φ)的图象的步骤如下：

5.图象变换的两种方法的区别：由y＝sin x的图象，利用图象变换作函数y＝Asin(ωx＋φ)(A>0，ω>0) (x∈R)的图象，要特别注意：当周期变换和相位变换的先后顺序不同时，原图象沿x轴的伸缩量的区别.先平移变换再周期变换(伸缩变换)，平移的|φ|量是|φ|个单位，而先周期变换(伸缩变换)再平移变换，平移的量是个单位. ω6.由y＝Asin(ωx＋φ)的性质或部分图象确定解析式

解决问题的关键是确定参数A，ω，φ，基本方法是在观察图象的基础上，利用待定系数法求解.若设所求解析式为y＝Asin(ωx＋φ)，则在观察函数图象的基础上，可按以下规律来确定A，ω，φ. (1)一般可由函数图象上的最大值、最小值来确定|A|. 2π(2)因为T＝，所以往往通过求周期T来确定ω，可以通过已知曲线与x轴的交点来确定T，即相邻的最高点与最低点ωT之间的距离为，相邻的两个最高点(或最低点)之间的距离为T. 2φ(3)以寻找“五点法”中的第一个零点－ω，0作为突破口，要从图象的升降情况找准第一个零点的位置，来确定φ. 或者特殊值法：通过若干特殊点代入函数式，要认清所选择的点属于五个点中的哪一点，并能正确代入列式，

求得φ. ()第

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二、基础自测

1.（2016全国II卷）y=Asin(x)的部分图像如图所示，则（

）

（A）y2sin(2x)

（B）y2sin(2x)

63（C）y2sin(2x+)

（D）y2sin(2x+)

632.（2018河南新乡）将函数f(x)sinx21的图像向右平移个单位长26度后，再将图像上各点的纵坐标伸长到原来的2倍，得到函数yg(x)的图像，则g11335（ ） A． B． C. D．

222265)2，f()0，883.（2017年天津卷）设函数f(x)2sin(x)，xR，其中0，||.若f(且f(x)的最小正周期大于2，则（

）

（A）2，

312（B）21，

（C），

3122431（D），

2434.（2017高考山东卷）设函数f(x)sin(x)sin(x)，其中03.已知f()0. 626（Ⅰ）求；（Ⅱ）将函数yf(x)的图象上各点的横坐标伸长为原来的2倍（纵坐标不变），再将得到的图象向左平移

3]上的最小值.

个单位，得到函数yg(x)的图象，求g(x)在[,444【合作探究】

探究一

函数y＝Asin(ωx＋φ)的图象及变换

π2x＋，(1)求它的振幅、周期、初相；(2)用“五点法”作出它在一个周期内的图例1

已知函数y＝2sin3π2x＋的图象可由y＝sin x的图象经过怎样的变换而得到. 象；(3)说明y＝2sin3

【变式训练1】（1）

（2017年全国Ⅰ卷）已知曲线C1：y=cos x，C2：y=sin (2x+2π)，则下面结论正确的是（

）

3πA.把C1上各点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向右平移个单位长度，得6到曲线C2 B.把C1上各点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向左平移到曲线C2 C.把C1上各点的横坐标缩短到原来的π个单位长度，得121π倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向右平移个单位长度，得26第

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到曲线C2 D.把C1上各点的横坐标缩短到原来的到曲线C2

1π倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向左平移个单位长度，得212π【变式训练1】（2）【2015高考湖北】某同学用“五点法”画函数f(x)Asin(x)(0,||)在某一2个周期内的图象时，列表并填入了部分数据，如下表：

π3πx

π

0 2π

22π5π

x

36Asin(x)

0 5

5

0

（Ⅰ）请将上表数据补充完整，填写在答题卡上相应位置，并直接写出函数f(x)的解析式；

．．．．．．．．．．．（Ⅱ）将yf(x)图象上所有点向左平行移动(0)个单位长度，得到yg(x)的图象. 若yg(x)图5π象的一个对称中心为(,0)，求的最小值.

12

【方法小结】

(1)作三角函数图象的基本方法就是五点法，此法注意在作出一个周期上的简图后，应向两端伸展一下，以示整个定义域上的图象；(2)变换法作图象的关键是看x轴上是先平移后伸缩还是φx＋来确定平移单位. 先伸缩后平移，对于后者可利用ωx＋φ＝ωω探究二

求函数y＝Asin(ωx＋φ)的解析式

例2(1)(2011·江苏)f(x)＝Asin(ωx＋φ) (A，ω，φ为常数，A>0，ω>0)部分图象如图所示，则f(0)的值是______.

ππ(2)(2011·辽宁)f(x)＝Atan(ωx＋φ)(ω>0，|φ|<)，y＝f(x)的部分图象如图所示，则f()等于

(

) 2243

A.2＋3

B.3

C.

D.2－3 3【方法小结】

根据y＝Asin(ωx＋φ)＋k的图象求其解析式的问题，主要从以下四个方面来考虑：

最高点－最低点①A的确定：根据图象的最高点和最低点，即A＝；

2最高点＋最低点②k的确定：根据图象的最高点和最低点，即k＝；

22π③ω的确定：结合图象，先求出周期T，然后由T＝ω

(ω>0)来确定ω；

φ④φ的确定：由函数y＝Asin(ωx＋φ)＋k最开始与x轴的交点(最靠近原点)的横坐标为－ω(即令ωx＋φφ＝0，x＝－ω)确定φ. 【变式训练2】【2015高考新课标1】函数f(x)=cos(x)的部分图像如图所示，则f(x)的单调递减第

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区间为(

)

(A)(k1313,k),kZ

(B)(2k,2k),kZ

44441313(C)(k,k),kZ

(D)(2k,2k),kZ

4444探究三

三角函数模型的应用

【例3】【2015高考陕西】如上图，某港口一天6时到18时水深变化曲线近似满足函数y3sin(据此函数可知，这段时间水深（单位：m）最大值为（

）

A.5

B.6

C.8

D.10 【变式训练3】

如图所示，某地夏天从8～14时用电量变化曲线近似满足函数

y＝Asin(ωx＋φ)＋b，φ∈(0，π). (1)求这一天的最大用电量及最小用电量；(2)写出这段曲线的函数解析式.

【当堂检测】

6x)k，1.（2016全国III）ysinx3cosx图像可由y2sinx图像至少向右平移_________个单位长度得到. 2.（2016全国II）若将函数y2sin2x的图像向左平移3. (2007安徽高考)函数f(x)3sin(2x个单位长度，则平移后图象的对称轴为_______ 1231125对称;②图象C关于点(,0)对称;③函数f(x)在区间(,关于直线x)内是增函数;④由1231212)的图象为C,如下结论中正确的是 .①图象C个单位长度可以得到图象C. 3πx∈R，ω＞0，0＜φ＜的部分图象如图4. [2015·湖南卷] 已知函数f(x)＝Asin(ωx＋φ)2ππx－－fx＋的单调递增区间. 所示.(1)求函数f(x)的解析式；(2)求函数g(x)＝f1212y3sin2x的图象向右平移

5.（2016年山东高考）设f(x)23sin(πx)sinx(sinxcosx)2

. （I）求f(x)得单调递增区间；（II）把yf(x)的图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍（纵坐标不变），再把得到的图象向左平移

ππ个单位，得到函数yg(x)的图象，求g()的值. 36第

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