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第十七章

勾股定理小结 教学设计

玉峰山中学 徐波

一、教学目标

1．回顾本章的知识，重温这些知识尤其是勾股定理的获得和验证的过程；体会勾股定理及其逆定理的广泛应用．

2．了解勾股定理的历史，体验科学给人类带来的力量．

3.思考勾股定理及其逆定理的发现证明和应用过程，

体会出入相补思想、数形结合思想、转化思想在解决数学问题中的作用. 4.在回顾与思考的过程中，提高学生解决问题，反思问题的能力，鼓励学生具有创新精神．

二、教学重点

勾股定理及其逆定理的应用．

三、教学难点

1．勾股定理及其逆定理的广泛应用．

2．建立本章的知识框架图，

四、教学过程

（一）引入新课：观看雕像，引出数学联想。你想到了什么，想到了什么知识？

（二）回顾与思考

问题1：直角三角形的边、角之间分别存在着什么关系? 1.从直角三角形的边、角的特殊性角度全面地进行总结．从边的关系来说，当然就是勾股定理；

2.从角的关系来说，由于直角三角形中有一个特殊的角即直角，所以直角三角形的两个锐角互余．

3.直角三角形作为一个特殊的三角形，如果有一个锐角是30°，那么30°的角所对的直角边是斜边的一半．

问题2：如何判断一个三角形是直角三角形．

1.判断一个三角形是直角三角形可以从角去判断．

例如：①在△ABC中，∠B＝75°，∠C＝15°，根据三角形的内角和定理，可得∠A＝90°．根据定义可判断△ABC是直角三角形．

11 ②在△ABC中．∠A＝

∠B＝

∠C，由三角形的内角和定理可知∠A＋2∠A23＋3∠A＝180°，所以∠A＝30°，∠B＝2∠A＝60°，∠C＝3∠A＝90°，△ABC是直角三角形．

2.从边去判断一个三角形是直角三角形．依据就是判定直角三角形的条件(即勾股定理的逆定理)．

例如：①△ABC的三条边分别为a＝7，b＝25，c＝24，而a2＋c2＝72＋242＝625＝252＝b2，，即a2＋c2＝b2，根据勾股定理的逆定理可知△ABC是直角三角形．但这里要注意的是b所对的角∠B＝90°．

②△ABC三条边的比为a:b:c＝5:12:13，则可设a＝5k，b＝12k，c＝13k，a2＋b2＝25k2＋144k2＝169k2，c2＝(13k)2＝169k2，所以，a2＋b2＝c2，△ABC是直角三角形．

问题3：重温一下勾股定理的获得和验证的过程，体会验证过程中的数形结合的思想和方法，对于我们将来学习和研究数学会大有益处．

在方格纸上任意画出一个直角三角形，使它的每个顶点都在方格纸的交点上，然后以它的每个边为边长在外部长出三个正方形，我们通过讨论、计算、数格子的方法得到了三个正方形的面积，并且发现以斜边为边长的正方形的面积等于那两个以直角边为边长的正方形的面积和，我们设直角三角形的两直角边为a、b，斜边为c，大正方形的面积是c2，两个小正方形的面积为a2、b2，有直角三角形三边关系a2＋b2＝c2这个结论

（三）知识脉络框架图

（四）例题

例1 如图，每个小正方形的边长都为1．

（1）求四边形ABCD的面积与周长；（2）∠BCD是直角吗？

例2 如图所示，测得长方体的木块长4 cm，宽3 cm，高4 cm．一只蜘蛛潜伏在木块的一个顶点

A 处，一只苍蝇在这个长方体上和蜘蛛相对的顶点B处，蜘蛛究竟应该沿着怎样的路线爬上去，所走的路程会最短，并求最短路径．

（五）知识训练

1.在Rt△ABC中，已知a=1，b=3，∠B=90°，则第三边c的长为

．

2.在Rt△ABC中，已知a=1，b=3，则第三边c的长为

．

3.分别以下列四组数为一个三角形的边长：

①3，4，5；②5，12，13；③8，15，17；④4，5，6．其中能构成直角三角形的有

．

4.小明想知道学校旗杆的高，他发现旗杆上的绳子垂到地面还多1 m，当他把绳子的下端拉开5 m后，发现下端刚好接触地面，则旗杆的高为（ ）．

A．8 m

B．10 m

C．12 m

D．14 m （六）小结 1.两个定理（勾股定理及其逆定理）； 2. 两种重要思想（出入相补思想、数形结合思想）．

（七）作业：

学习指要 第24，25页

板书设计

本章小结

1．回顾与思考

问题1：直角三角形的边，角之间分别存在什么关系? 在Rt△ABC中，∠C＝90°，则有∠A＋∠B＝90°，a2＋b2＝c2．

问题2：举例说明，如何判断一个三角形是直角三角形? 在△ABC中．①如果∠A＋∠B＝90°，则△ABC是直角三角形．②如果a2＋b2＝c2，则△ABC是直角三角形．

2.脉络框架图