原（逆）命题、原（逆）定理教学创新设计

§17.2.1《勾股定理的逆定理（1）》教学设计

----原（逆）命题、原（逆）定理

一、教学目标

知识与技能

1. 理解原命题、逆命题、逆定理的概念. 2. 理解并能证明勾股定理的逆定理. 3.会认识并判断勾股数，掌握勾股定理的逆定理，并能灵活应用逆定理判定一个三角形是否为直角三角形. 过程与方法

1.通过对勾股定理的逆定理的探索，经历知识发生、发展和形成的过程. 2.通过用三角形的三边的数量关系来判断三角形的形状,体验数形结合方法的应用. 情感态度与价值观

1.通过用三边之间的数量关系来判断三角形的形状，体验数与形的内在联系，感受定理之间的和谐辩证统一的关系。

2.在对勾股定理的逆定理的探索中,培养学生的交流、合作的意识和严谨的学习态度，同时感悟勾股定理和逆定理的应用价值。

二、重点难点

重点:勾股定理的逆定理的应用. 难点:勾股定理的逆定理的证明. 三、教学过程

（一）复习引入

1.什么是勾股定理？

2.这个命题的题设和结论分别是什么？

3.

如果将这个命题的题设和结论反过来，这个命题还成立吗？

（二）新知探究

1.探究勾股定理的逆定理

同学们，你们是如何画直角的?想知道古埃及人是如何画直角的吗? 据说，古埃及人曾用下面的方法画直角：把一根长绳打上等距离的13 个结，然后以3 个结间距，4 个结间距、5 个结间距的长度为边长，用木桩钉成一个三角形，其中一个角便是直角．你认为结论正确吗？

（1）画一画：下列各组数中的两数平方和等于第三数的平方，分别以这些数为边长画出三角形(单位：cm).

① 1.5, 2, 2.5 ② 6，8，10；③

①5,12,13. （2）问题1：分别以每组数为三边长作出三角形，用量角器量一量，它们都是直角三角形吗？

（3）问题2 ：这三组数在数量关系上有什么相同点？

（4）问题3：古埃及人用来画直角的三边满足这个等式吗？

由前面几个例子，我们可以作出什么猜想？

如果△ ABC的三边长a，b，c满足a2+b2=c2，那么这个三角形是直角三角形．

2.互逆命题

把勾股定理记为命题1, 猜想的结论记为命题2,命题1和命题2的题设和结论分别是什么? 命题1的题设是直角三角形的两直角边长分分别为a，b，斜边长为c，结论是a2+b2=c2

；命题2的题设是三角形ABC的三边长a，b，c满足a2+b2=c2，结论是这个三角形是直角三角形。

观察：这两个命题的题设和结论有什么关系？

归纳：我们把像这样，题设和结论正好相反的两个命题叫做互逆命题.如果把其中一个叫做原命题，那么另一个叫做它的逆命题. 课堂练习：

（1）两条直线平行，内错角相等．

（2）如果两个实数相等，那么它们的平方相等．

（3）如果两个实数相等，那么它们的绝对值相等．

（4）全等三角形的对应角相等．

3. 勾股定理的逆定理的证明

思考：命题2正确吗？如何证明呢？

如果你认为是正确的，你能证明这个命题“如果三角形的三边长a.b.c满足a2+b2=c2，那么这个三角形是直角三角形”吗？

已知：如图，△ABC的三边长a，b，c，满足a2+b2=c2．

求证：△ABC是直角三角形．

分析：要证明△ABC是直角三角形，那么∠C是直角。就需要去构造两直角边分别为a,b的Rt△A′B′C′，证明△ABC≌

△

A′B′C′，那么就证明了△ABC是直接角三角形。

证明：作Rt△A′B′C′，使∠C′=90°，A′C′=b，B′C′=a，

则A′B′2= B′C′2 +A′C′2= a2+b2 ∵a2+b2=c2

∴A′B′2=c2，∴A′B′=c. 在△ABC和△

A′B′C′中，A′C′=AC,

B′C′=BC, A′B′=AB ∴△ABC≌

△

A′B′C′(SSS),

∴∠C= ∠C′=90°，即△ABC是直角三角形. 归纳总结:如果三角形的三边长a，b，c 满足a2+b2=c2，那么这个三角形是直角三角形．

提问：如何书写它的几何语言？

在△ABC中,

∵a2+b2=c2，∴△ABC是直角三角形

如果一个定理的逆命题经过证明是真命题,那么它也是一个定理, 这两个定理叫做互逆定理, 其中一个叫做另一个的逆定理. 思考：互逆命题与互逆定理有何关系? 4.知识运用

（1）判断由线段a,b,c 组成的三角形是不是直角三角形: ①a=9，b=12，c=15；②a=8，b=9，c=10. 分析:要判断一个三角形是不是直角三角形，可根据勾股定理及其逆定理,关键是对两条较小边长的平方和与最大边长的平方进行比较，只有相等时才是直角三角形. 解:①因为a2+b2= 92+122 = 225, c2

= 152= 225，

所以92+122= 152，

根据勾股定理的逆定理,这个三角形是直角三形

总结:①勾股定理的逆定理是直角三角形的判定方法之，利用它判定是否为直角三角形的一般步骤:①确定最大边长c;②计算a2+b2和c2的值,若a2+b2=c2,则此三角形是直角三角形;若a2+b2

,则此三角形是钝角三角形;若a2+b2

>c2，则此三角形是锐角三角形. (2)像9,12,15这样，能够成为直角三角形三条边长的三个正整数,称为勾股数. ②∵a2+b2=8+9=64+81=145，c2

=10

=100，

∴8+9≠10. ∴这个三角形不是直角三角形．

提问:同学们还知道哪些勾股数? 5.互问互答：（请说出一个命题，点名请另一位同学说出他的逆命题，并说出它的逆命题成是否立。）

6.综合应用

判断由线段a、b、c组成的三角形是不是直角三角形：

（1）

a= 41，b=4，c=5．

（2）a=m-n，b=2mn，c=m+n（m＞n，m、n是正整数）

（三）课堂小结

1.什么逆命题和逆定理？

2.什么是勾股定理的逆定理？

（四）我选我答

呈现遵义市的红色旅游景点以及贵州著名的旅游景点图片，每一张图片都有一个数学问题，请学生选择自己想去旅游的地方，然后回答问题。

（1）若△ABC的三边a,b,c满足

a:b: c=3:4:5，则△ABC是直角三角形

. （2）对顶角相等的逆命题是真命题

（3）原命题是成立，则它的逆命题也成立。

（4）全等三角形的对应角相等的逆命题是全等

三角形的对应边相等

。

（5）若a2

=（b+c）(b-c),则△ABC是直角三角形。

（6）如果直角三角形的两边长分别是3和4，则另一边长一定为5. （五）作业布置：

全体：基础题；B层：基础题+能力提升题；A层：基础题+能力提升题+拓展题.

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