2.3.1 变量之间的相关关系主要内容及教案内容

《两个变量的线性相关关系》教学设计说明

《两个变量的线性相关关系》是高中数学人教A版实验教科书必修三第二章第三节的内容。本节的设计以新课程的教学理念为指导思想，遵循“学生为主体，教师为主导，知识为主线，发展思维为主旨”的原则。

同时，结合我校承担全国教育科学“十二五”教育部规划课题“构建灵动课堂的教学实践研究”的指导精神，以学生发展为本，坚持“以学定教，先学后教，汇报展示，交流分享”的学与教原则，以学案导学为载体，课堂上充分让小组汇报交流、学生争论，教师适时加以组织、引导等学习方式，让学生在经历数学知识再发现的过程中获取知识，发展思维，感悟数学。

教学设计充分考虑了以下六方面内容

：

一、教学内容的数学本质

本节课作为问题解决课，将以人教A版必修三第二章第三节有关知识内容为基础，通过“用线性回归的统计分析方法，刻画两个变量之间的相关关系”的统计案例，让学生经历一个相对完整的统计过程，感受统计与实际生活的联系以及在解决实际问题中的作用。

对于具有线性相关关系的两个变量，应鼓励学生用多种方法探索确定线性回归直线方程，在此基础上，再引导学生体会最小二乘法思想，根据给出的公式求出线性回归直线方程。在学生“经历收集数据——画散点图——用不同估算方法描述两个变量线性相关关系”的过程后，解决好用数学方法刻画“从整体上看，各点与此直线的距离最小”，让学生在此基础上了解更为科学的数据处理方式——最小二乘法，有助于更好地理解核心概念，并最终体现回归方法的应用价值。

就统计学科而言，对不同的数据处理方法进行“优劣评价”是“假设检验”的萌芽，而后者是统计学学科研究的另一重要领域。了解“最小二乘法思想”，比较各种估算方法，体会它的相对科学性，既是统计学教学发展的需要，又在体会此思想的过程中促进了学生对核心概念的进一步理解。当然，由于统计本身的性质，决定了统计思维与确定性思维的差异，也决定了统计结果的随机性，因此，必须结合统计案例，让学生体会到统计推断的作用和可能所犯的错误。

考虑到本节课教学侧重点和新课标的要求，并充分注意到已有的相关教与学的的实践经验与教训，对线性回归方程系数的计算公式，可直接给出。由于公式的复杂性，一方面，既要通过教学设计合理体现知识发生过程，不搞“割裂”；另一方面，要充分利用计算机的Excel软件功能,简化繁琐的系数求解过程,简化过于形式化的证明说理过程。

基于以上分析，确定本节课的教学重点为知道“最小二乘法思想”，并能根据给出的线性回归方程的系数公式建立线性回归方程，且能应用该方程进行相关预测。

二、教学目标的整体确定

学情是确定教学目标的基础之一。本班为年级的七中网班，加之本期文理分科后，调整了三分之一的学生，班级数学科情况较上期有了一定的好转（分班后成都市高一上期末质量监测考试成绩：平均分108分，全部上中线）。立足于学情，结合课程标准的要求，参考全国数学统一考试大纲及考试说明对本节内容的要求，本课从“知识与技能”、“过程与方法”、“情感、态度与价值观”三方面拟定了立体化的教学目标。以过程与方法为平台，以情感、态度的体验与价值观为依托，让数学知识在课堂中得以传承，学生能力得到发展，力争做到知识与能力并重，认知与情感相融。因此本节的教学目标设置如下: 1. 经历一个相对完整的统计推断过程，了解“最小二乘法”，掌握根据给出的线性回归方程系数公式建立线性回归方程的方法，能用数学符号刻画出“从整体上看，各点与此直线的距离最小”的表达方式；

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2. 通过减少样本点个数，经历对表达式的展开，把“偏差最小”简化为“二次多项式”最小值问题。在此过程中理解线性回归方程概念和回归思想，通过简明说理，接受最小二乘法的科学性；

3. 经历数据处理步骤，结合具体案例，体会随机思想，体会“确定关系研究相关关系”的回归思想，领悟用数学思想处理问题的简洁美。

三、教学目标的分析诊断

经过调查，多数学生虽然具备初步的统计基础知识，但是良好的统计观念普遍尚未形成，统计经验比较缺乏，另外，学生的计算能力也比较欠缺。

基于此，如何把“从整体上看，各点与此直线的距离最小”用合适的代数符号刻画并化简，化几何问题为代数问题，是顺利了解“最小二乘法思想”的前提；而如何化简复杂的代数表达式，学生缺乏处理的经验，在计算能力的要求上也较高。在问题解决的教学过程上，要了解“最小二乘法思想”，接受“由系数公式得到的线性方程”为回归方程，理解此方程可作为“两个具有线性相关关系变量的代表”这一回归直线的概念本质，并体现相对于其它估算方法的优越性，又必须要求对给出的系数公式来源进行一定的说明。

知识发展的要求和学生能力和经验的欠缺成为本课将会遇到期的最大矛盾。教学中，要防止两种倾向：一是直接套用回归系数公式求解回归方程而回避说理过程;二是过多纠缠于数学刻画过程,甚至在课堂内花大量时间对回归系数公式进行证明说理.这两种倾向都脱离了学生的实际,前者忽略了“最小二乘法思想”,迷失了本节课的教学目标;后者人为拔高教材的要求,背离了本节课的教学要求. 所以,本节课的教学难点是:如何通过数学方法刻画“从整体上看，各点与此直线的距离最小”并在此过程中让学生了解最小二乘法思想、回归方程中的斜率和截距的计算公式，用Excel软件求出线性回归方程。通过大量的回归直线比较分析，体会回归思想和随机思想。

四、教学特点的预期效果

教学中充分发挥学生的主体地位和教师的主导作用。用新课程理念处理传统教材，以恰当的问题为纽带，给学生创设自主探究、合作交流的空间，指导学生类比探究形成解决问题的方法，引导学生经历数学知识再发现、再生长的过程。因此采用了探究发现式教学法，并在“灵动课堂”如何开展上作出探索。

（1）教学设计上，把数学知识的“学术形态”转化为数学课堂的“教学形态”，返璞归真，从一个的具体问题出发，让学生像数学家那样去“想数学”，“经历”发现、推导的过程，体现了以学生的发展为本，绝不是“教”教材，而是用教材“学”。

（2）针对学生的认知障碍和学习过程中可能遇到的困难，遵循新课程标准的基本理念特别是其中的第4点——注重提高学生的思维能力；第5点——发展学生的数学应用意识；第9点——注重信息技术与数学课程的整合的具体要求，本节课教师应提供较丰富的实例，大胆让学生动手，借助计算机Excel软件的专业功能,激趣、质疑、启发、讨论、说理、验证，使学生有充分的观察、思考、运算、操作、发现与交流的时间与空间，通过经历图像分析与数据处理的过程，把握两个变量间的线性相关。

（3）教学过程中，以课前预习，探究发现，归纳证明，例题自学，例题变式教学，小组争论、汇报，投影学生草稿展示练习成果，适当结合课件，教师也板书示范，学生书写（条理性）反馈，当堂检测，等等，并组织学生进行数学阅读，培养学生的自主学习、探索发现与合作交流能力。

（4）教学中，对不同层次的学生，提出不同的教学要求，并以小组学习方便于“兵教兵、兵带兵”，采取不同的教学方法进行情感激励。对学有困难的学生，小组更多地给予帮助和肯定，以激发他们学习数

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学的兴趣和信心。根据本班学情，分小组交流、汇报，能使学有余力的学生得到进一步的发展，尊重了学生的个体差异，让每位学生的数学才能都能获得更好的发展。

（5）课堂上，努力以数学文化滋养枯燥的数学课堂。让学生了解数学的科学价值、文化价值、应用价值，体会到数学的理性与严谨，激发起学生对数学知识的热爱，以“灵动课堂”的教学形态“灵活机敏”和校训“务实求真”的精魂引领学生养成实事求是的科学态度，进一步培养学生应用意识和创新意识，以形成正确的数学观，至少让学生要明白“数学是有用的”！

综上，本课的教学设计，符合学生认知规律，促进了学生的个性化学习，有利于学习目标的落实。

五、教学后记与反思

1、一个概念、定理的形成是螺旋式上升的，对新概念、定理的抽象不仅是对结果的抽象，更是对方法和过程的抽象。本小节要让学生理解“最小二乘法思想”，并能根据给出的线性回归方程的系数公式建立线性回归方程，且能应用该方程进行相关预测。本节教学设计上，把数学知识的“学术形态”转化为数学课堂的“教学形态”，返璞归真，从一个具体问题出发，引导学生经历了一个完整的数学概念、定理发生、发展的探究过程。学习存在困难的学生，可以在课后进行有针对性的辅导和答疑，并安排“小老师”传帮带，以自己喜欢的方式来学习数学。

2、提出问题、观察归纳、概括抽象和拓展概念让学生充分经历了从具体到抽象，特殊到一般，感性到理性，直观到严谨的知识再生过程，教师作为学生学习的组织者、引导者、合作者，要善于创设机会和空间，激活学生思维的最近发展区，倡导学生积极参与，自主探究，发现知识，培养能力。对小组学习中存在的问题，要实事求是，直面困难，想法解决，如学生的参与程度，需要教师在教学中更好的监控。

3、设计弹性化的选作题、探究题，并分层布置作业，既不影响主体知识建构,又能使学有余力的学生得到进一步的发展。对课堂学习、作业等方面的困难学生，安排小组帮带，“一对一”帮扶，教师个别辅导。

4、本课教师应提供较丰富的实例，大胆让学生动手，借助计算机Excel软件、“Z+Z平台”、几何画板的专业功能,激趣、质疑、启发、讨论、说理、验证，使学生有充分的观察、思考、运算、操作、发现与交流的时间与空间，通过经历图像分析与数据处理的过程，把握两个变量间的线性相关。

综上，体现了以学生的发展为本，不是“教”教材，而是用教材“教”；教学中不是重结论、搞题海演练，而是重知识产生的过程和方法；不是采用接受式的学习方式，而是采用探究发现、合作交流的学习方式；不是统一要求，而是因材施教，尊重个体差异。这样的设计符合学生认知规律，促进了学生的个性化学习，更好地实现了学习目标。

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六、教学流程与板书设计

1、教学流程：

学生自主学习

变式

教师板书

当堂检测（板书+投影）+课堂小结预习作业小组汇报

探究推导

小组合作学习

变式

PPT演示

2、板书设计：

【设计意图】本课使用了黑板板书、电脑投影屏幕、PPT（还可以使用作图工具探究，如用Z+Z平台探索正弦定理中的定值R），黑板上的板书保留勾勒本课知识发展的主要线索，呈现完整的知识结构体系，用彩色粉笔突出重点，强化学生对新信息的吸收，同时对新学的定理的规范使用进行示范，并批注学生板书的得分点。

板书设计：

两个变量的线性相关关系

例1变式。。。。。。

教师板书示范

知识要点

电子屏幕

探究1

例2变式。。。。。。

PPT演示过程

当堂检测：

学生甲板书

学生乙草稿投影

探究2

总结

课堂小结

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2.3.2两个变量的线性相关(教案) 一、学习目标

1、知识与技能：

知道最小二乘法和回归分析的思想；

能根据线性回归方程系数公式建立线性回归方程或根据给出的数据；

应用图形计算器建立线性回归方程。

2、过程与方法：

让学生从已有的统计知识出发，通过探究人体脂肪百分比和年龄之间的关系,引入描述两个变量之间关系的线性回归方程（模型）.教科书在探索用多种方法确定线性回归直线的过程中,向学生展示创造性思维的过程,帮助学生理解最小二乘法的思想.通过气温与饮料销售量的例子及随后的思考,使学生了解利用线性回归方程解决实际问题的全过程,体会线性回归方程作出的预测结果的随机性,并且可能犯的错误.进一步,教师可以利用计算机模拟和多媒体技术,直观形象地展示预测结果的随机性和规律性，引导学生通过观察、推导、比较并进行相应的实践操作。

3、情感态度与价值观： 通过合作学习，养成倾听别人意见和建议的良好品质

学习重点：

知道最小二乘法和回归分析的思想；

会求回归直线

4、学习难点：、

建立回归思想，理解回归直线与观测数据的关系

、二、教学情境设计

教学

环节

课

前

预

习

年龄

脂肪

年龄

脂肪

内容及说明

探究：在一次对人体脂肪含量和年龄关系的研究中，研究人员获得了一组样本数据：

23 9.5 53 29.6 27 17.8 54 30.2 39 21.2 56 31.4 41 25.9 57 30.8 师生活动

教师提问，学生

通过动手操作得

出散点图并回答

45 27.5 58 33.5 49 26.3 60 35.2 设计意图

以旧“探”新：对旧的知识进行简要的提问复习，为本节课学生能够更好的建构新的知识做好充分的准备；尤其为一些后进生能够顺利的完成本节课的内容提供必要的基础。

50 28.2 61 34.6 问题与引导设计

问题1.根据上述数据，人体的脂肪含量与年龄之间有怎样的关系？

问题2.利用图形计算器作出散点图，并指出上面的两个变量是正相关还是负相关？

教师引导：通过上节课的学习，我们知道散点图是研究两个变量相关关系的一种重要手段。下面，请同学们根据得出的散点图，思考下面的问题3.

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体

验

感

悟

问题3. 甲同学判断某人年龄在65岁时体内脂肪含量百分比可能为34，乙同学判断可能为25，而丙同学则判断可能为37，你对甲，

乙，丙三个同学的判断有什么看法？

学生能够表达自己的看法。有的学生可能会认为乙同学的判断是错误的；有的学生可能认为甲乙丙三个同学的判断都是对的，答案不唯一

在小组讨论的形式下和比较哪个小组提出的问题多，学生之间会充分的进行交流，提出问题

该问题具有探究性、启发性和开放性。鼓励学生大胆表达自己的看法。通过设计该问题，引导学生自己发现问题，注意到散点图中点的分布具有一定规律，体会观测点与回归直线的关系；进而引起学生的对本节课内容的兴趣。

通过小组讨论比较，调动学生的学习积极性和兴趣，活跃课堂气氛，达到学生自己提出问题的效果，培养学生的学生创新思维和问题意识。

学生的问题意识得以提高

课堂气氛达到高潮

问题4. 反思问题（3），你还可以提出哪些问题吗？小组讨论，看哪个小组提出的问题多

学生可能提出的问题：

①为什么甲、丙同学的判断结果正确的可能性较大，

而乙同学判断结果正确的可能性较小？

②某人年龄在65岁时体内脂肪含量百分比最可能是

多少？在其它年龄时呢？

③这些样本数据揭示出两个相关变量之间怎样的关

系呢？

④怎样用数学的方法研究变量之间的相关关系呢？

每个问题都是学生“火热的思考”成果

引出课题：两个变量的线性相关

新

课

导

航

口述：我们知道，散点图是研究相关变量特征的重要手段

问题5. 再看看散点图中点的分布有什么规律吗？

问题6. 请同学们阅读教材87页第一段，指出概念中应该注意哪些问题

引导学生思考

暴露思维过程

引导学生思考

培养思维品质

引导学生注意散点图中观测数据点的分布规律

通过指导学生阅读教材，分析概念培养自学能力和数学阅读能力

教师提问，学生回答

教师指导，学生通过阅读教材学习线性先关、回归直线、回归方程的概念，并通过自学分析概念中应注意的问题

启发式问题，不要求学生回答。

口述：如果能够求出回归方程，那么我们就可以比较清楚的了解年龄与体内脂肪含量的相关性

我们应当如何具体求出这个回归方呢？

暴露思维过程

引导学生思考

培养思维品质

自然引出下面指导学生阅读教材的环节

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问题7. 请同学们阅读教材87页的其余内容，并思考教材中的这些方法是不是真的可行？为什么不可行？

教师提问，学生回答

通过指导学生阅读教材，分析概念培养自学能力和数学阅读能力；

通过思考教材中的三个反例方案体会回归直线的特征

教师总结：被已知数据确定的直线；能反映数据整体特征，即散点图中的点到此直线距离最小的直线

问题8：接下来我们该思考什么问题？

教师提问，学生回答

思维暴露过程

引导学生思考

培养思维品质

为了让学生提出问题而提问题，培养学生问题意识。

学生的问题意识得以提高

自然引出下面求回归方程的方法

由学生提出下面的问题8：

怎样用数学的方法刻画“从整体上看，各点与此直线的距离最小”？

介绍用待定系数法求回归方程

问题9. 下面列出的三个方案，哪个方案比较可行？

方案一：学生提出问题

提问，学生竞答

体会如何选取恰当的计算方法建立回归方程过程，

(yy)最小；

ii1nn方案二：|yy|最小

ii1n方案三：(yy)ii12最小

进一步得出回归直线的系数公式和最小二乘法的定义，强调最小二乘法的思想在统计学中具有非常重要的地位

当

堂

检

测

指导学生用图形计算器：

①

作出回归直线

师生共同完成操作过程

所得到的直线解析式比教材给出的更为精确

数与形的结合让结果更有说服力

前面算法的知识7

②

验证得出的回归方程是否与教材一致；

③

利用程序功能验证回归直线系数公式是否正确

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学生亲身经历应用技术进行回归分析的过程；利用GC对教材中给的结论进行一一验证，而且GC得出的结果比教材的结果更精确，大大增强了学生对结论的可信度。尤其是对回归直线系数公式的验证，GC可以调用两个相关变量间的各种统计特征值，从而容易通过简单的程序验证公式，此功能是Excel软件很难做到的。另外，GC数与形的结合显示极大的调动了学生的学习兴趣

尽管有了老师的操作演示作为指导，但学生不免对GC的

④

推测某人65岁和37岁时体内脂肪含量百分比可能是多少

在本节课中得以体现；

得出和教材一样的结果，顺利完成了回归分析的过程，成就感得以体现

操作过程有疑问，通过师生互动、生生活动，学生能够克服困难，得出结论，增强了学习数学的自信心。

问题得到解决，可以引导学生回答前面问题3自己提出的问题了

课

堂

小

结

1）散点图中的点整体上分布在一条直线附近时，可以应用线性回归分析的方法分析数据；

2）回归直线是反映：“从整体上看，各点与此直线的距离的和最小”的一条直线，它反映了具有线性相关关系的两个变量之间的规律；

3）我们可以通过回归直线方程，由一个变量的值来推测另一个变量的值，解决生活中的实际问题；这种方法称为回归方法

4）技术的应用可以帮助我们高效的解决一些实际问题，我们应该重视应用技术解决问题；

5）“提出问题比解决问题更重要”

对前面环节的“收”的过程，教师进行小结。小结内容不仅关注学生的知识目标也要注意关注学生的情感目标。

提炼思想方法，深入数学本质，帮助学生建构知识体系，理清知识脉络，

例

题

学

习

例.根据所给数据，应用图形计算器学生动手操作得回答下面问题：有一个同学家开了出结论

一个小卖部，它为了研究气温对热

饮的影响，经过统计，得到一个卖出的人因杯数与当天气温的对比表。（表在教材91页略）

（1）作出散点图

（2）从散点图中发现气温与热饮销售杯数之间关系的一般规律

（3）求回归方程

（4）如果某天的气温是2摄氏度，预测这天卖出的热饮杯数

（1）完成课后练习2

（2）阅读教材89页，课后尝试应基础练习，复习巩固

8 进一步熟悉回归分析的过程，深化对回归分析思想的理解和观测数据与回归直线关系的理解

作

好的作业设计不仅注重对教材重点知识的复习，也应对

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业

布

置

用Excel软件进行线性回归分析

（3）以实验小组为单位，发现生活中的线性相关的变量，收集数据，进行回归分析，完成实验报告。

扩展学习，体会用多种方法建立回归方程

做生活中的数学，提高数学应用意识

一些学有余力的同学提出一些深入学习的建议和途径，关注学生个体差异

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