探究与发现 函数y=Asin（ωx+φ）及函数y=Acos（ωx+φ）的周期优秀教学实录

1.5正弦型函数y=Asin(ωx+φ) 的图象

学习目的：

1、理解振幅、周期、频率、初相的定义；

2、理解振幅变换、相位变换和周期变换的规律; 3、会用“五点法”画出y=Asin(ωx+φ)的简图，明确A、ω和对函数图象的影响作用；

4、培养学生数形结合的能力。

5、培养学生发现问题、研究问题的能力，以及探究、创新的能力。

学习重点：熟练地对y＝sinx进行振幅、周期和相位变换。

学习难点：理解振幅变换、周期变换和相位变换的规律。

学习方法：引导学生结合作图过程理解振幅和相位变化的规律。本节课采用作图、观察、归纳、启发探究相结合的学习方法，运用现代化多媒体学习手段，进行学习活动，首先按照由特殊到一般的认知规律，由形及数，数形结合，通过设置问题，引导学生观察、分析、归纳，形成规律，使学生在独立思考的基础上进行合作交流，在思考、探究和交流的过程中获得对正弦函数图象变换全面的体验和理解

授课类型：新授课

课时安排：1课时

教

具：多媒体、实物投影仪

学习环节

复习引入

复习正弦函数ysinx的图象和性质

学习内容

师生互动

设计意图

教师提出问题，为学生认识学生回答

正弦型函数奠定基础

1 / 12

概念形成及应用举例

通过观察、考虑观缆车，引出振幅、周期、1.教师演示观缆1.要求学生频率、初相的概念。

车旋转过程，指通过实例，在函数yRsin(t)中，点P旋转一周导学生认识和感将问题转化所需要的时间T2，叫做点P的转动受。

为数学问2.教师提问：通题，引出数过分析，R,,学概念，培周期。在1秒内，点P转动的周数f1，叫做转动的频率。OP0与xT2对观缆车的旋转养学生数学有什么影响？

3.学生回答。

来源于实践又指导实践轴正方向的夹角叫做初相。

4.教师引导归的辨证唯物纳。

主义观点及函数y＝勇于探索的Asin(ωx＋φ)，其创新精神。

中A0,0表

示一个振动量时，A就表示这个量振动时离开

1例1画出函数y=2sinx

xR；y=sinx

2平衡位置的最大xR的图象（简图

解：画简图，我们用“五点法”

距离，通常称为

这个振动的振

∵这两个函数都是周期函数，且周期为2π

幅；往复一次所

∴我们先画它们在［0，2π］上的简图，需的时间2.通过作列表：

T2，称为这图，使学生加强对“五x

sinx

2sinx

1sinx

20 0 0 0 

2

0 0 0 3

22

0 个振动的周期；点”法的理单位时间内往复解。

1 2 1

2-1 -2 1

20 振动的次数3.观察图象0 1，称间的关系，T2通过对比，为振动的频率；探求有关性f

2 / 12

作图：

x称为相质以及图象位；x0时的相间的变换。位φ称为初相。

4. 鼓励学5.学生在黑板上生大胆猜利用“五点法”画想，使学生图。

将直观问题

教师提问：抽象化，揭利用这类函数的周期性，我们把上面y=2sinx

xR示本质，培的简图向左、向右连续平移2,4就可1和y=sinx

养学生思维21的深刻性。

以得出y＝2sinx，x∈R，及y＝sinx，x∈RxR的图象与25.培养学生的简图

ysinx的图象由特殊到一(1)y＝2sinx，x∈R的值域是［－2，2］

间的关系怎样？

般的解决问图象可看作把y＝sinx，x∈R上所有学生回答：(1)y题方法，以点的纵坐标伸长到原来的2倍而得(横坐＝2sinx，x∈R及归纳概括标不变) 的值域是［－2，的能力。

111(2)y＝sinx，x∈R的值域是［－，］

2］

222图象可看作

图象可看作把y＝sinx，x∈R上所有点的把y＝sinx，x∈R

1纵坐标缩短到原来的倍而得(横坐标不上所有点的纵坐

2标伸长到原来的

变)

2倍而得(横坐标

一般地，函数yAsinx的值域

不变). 是A,A,最大值是A，最小值是A，

(2)y＝

由此可知，A的大小，反映曲线yAsinx1sinx，x∈R的

2波动幅度的大小。因此A也称为振幅。

1引导,观察,启发：与y=sinx的图象作值域是［－，

2比较，结论：

11.y=Asinx，xR(A>0且A1)的图象可以看2］

作把正数曲线上的所有点的纵坐标伸长图象可看作

3 / 12

(A>1)或缩短(0

把y＝sinx，x∈R

2.它的值域[－A, A] ，最大值是A, 最小值上所有点的纵坐

是－A

标缩短到原来的

13.若A<0 可先作y=－Asinx的图象

，再以倍而得(横坐

2x轴为对称轴翻折。

标不变). A称为振幅，这一变换称为振幅变换

教师提问：一般

例2

画出函数

地

y＝sin(x＋)，x∈R，y＝sin(x－)，y=Asinx的图象34

与y＝sinx的图

x∈R的简图

解：列表

-x 象间具有怎样的

关系呢？



30 

6275

363x+

33

21 

3

2

2sin(x+) 0 0 –1 0 学生回答：

y=Asinx，

xR(A>0且

A1)的图象可以

看作把正弦曲线

上的所有点的纵

坐标伸长(A>1)

或缩短(0

到原来的A倍得

到.

学生在黑板上利

)，和y3

描点画图：

用“五点法”画图。

教师提问：y＝

sin(x＋＝sin(x－

)的4

4 / 12

X 

40 35

4474

32

9

4图象与ysinx

x－

4sin(x–



21 

0 2

) 40 –1 0 引导,观察,启发：

的图象间的关系

怎样？

学生回答：

(1)函数y＝sin(x

＋)，x∈R的

3

图象可看作把正

弦曲线上所有的

点向左平行移动

个单位长度3

而得到.

(2)函数y＝

sin(x－)，4

可看作把正弦曲线上所有的点向左平行移x∈R的图象可

动个单位长度而得到. 3看作把正弦曲线

上所有点向右平(2)函数y＝sin(x－)，x∈R的图象

4行移动个单

可看作把正弦曲线上所有点向右平行移动4

位长度而得到. 个单位长度而得到.

4教师提问：一般

一般地，函数y＝sin(x＋)，x∈R(其地

中≠0)的图象，可以看作把正弦曲线上所y＝sin(x＋)的

有点向左(当＞0时)或向右(当＜0时)图象与y＝sinx

平行移动｜｜个单位长度而得到. (用平的图象间具有怎

移法注意讲清方向：“加左”“减右”)

y＝sin(x＋)与y＝sinx的图象只是在样的关系呢？

学生回答：

(1)函数y＝sin(x＋)，x∈R的图象3平面直角坐标系中的相对位置不一样，这一般地，函数y一变换称为相位变换.

5 / 12

＝sin(x＋)，

例3 画出函数y=sin2x

xR；x∈R(其中≠0)

的图象，可以看

作把正弦曲线上

解：函数y＝sin2x，x∈R的周期T

所有点向左(当2

＝＝π

＞0时)或向右2

我们先画在［0，π］上的简图,在[0, ](当＜0时)平

y=sinx

xR的图象（简图）. 12上作图,列表：

2x

x

y=sin2x

0 0 0 

2

4行移动｜｜个





23

23

42



0 1 作图：

0 -1 单位长度而得到

(用平移法注意

讲清方向：“加

左”“减右”)

学生在黑板上利

用“五点法”画

图。

教师提问：

y=sin2x和1函数y＝sinx，x∈R的周期T＝

21y=sinx的图象

22＝4π

1与ysinx的图

2

象间的关系怎我们画［0，4π］上的简图，列表：

样？

学生回答：

x3

2

0 

(1)函数y＝

222x

0 2

3

4



sin2x，x∈R的

sin

x20 1 0 -1 0 图象，可看作把

y＝sinx，x∈R上

所有点的横坐标

看作把y＝sinx，x∈R上所有点的横坐标

1缩短到原来的1缩短到原来的倍(纵坐标不变)而得到的. 2

2倍(纵坐标不变)

6 / 12

(1)函数y＝sin2x，x∈R的图象，可

1而得到的. x，x∈R的图象，可2(2)函数y＝看作把y＝sinx，x∈R上所有点的横坐标1sinx，x∈R的伸长到原来的2倍(纵坐标不变)而得到. 2(2)函数y＝sin

引导, 观察启发: 与y=sinx的图象作比图象，可看作把

较

y＝sinx，x∈R上

1．函数y=sinωx, xR (ω>0且ω1)所有点的横坐标

的图象，可看作把正弦曲线上所有点的横伸长到原来的2

1倍(纵坐标不变)坐标缩短(ω>1)或伸长(0<ω<1)到原来的

而得到.

倍（纵坐标不变）

2．若ω<0则可用诱导公式将符号“提出”再作图. ω决定了函数的周期，这一变换称为

教师提问：一般

地

y=sinωx的图象

周期变换.

与y＝sinx的图

例4

画出函数y＝3sin(2x＋)，象间具有怎样的3

关系呢？

x∈R的简图.

学生回答：

2解：(五点法)由T＝，得T＝π

列2函数y=sinωx,

表：

x –xR (ω>0且

ω1)的图象，可

5看作把正弦曲线6

上所有点的横坐

标缩短(ω>1)或

2π伸长(0<ω<1)到

1原来的倍（纵

0 

坐标不变）



60 

12

23 

3π

7

123

22x+

33sin(2x+) 3描点画图：

0 0 –3

7 / 12

这种曲线也可由图象变换得到：即：

左移个单位



y＝sinx

3

y＝sin(x＋) 3

纵坐标不变

1

y＝sin(2x＋) 横坐标变为倍

32

纵坐标变为3倍

横坐标不变



y3sin(2x)

3

一般地，函数y＝Asin(ωx＋)，x∈R(其中A＞0，ω＞0)的图象，可以看作

用下面的方法得到：

先把正弦曲线上所有的点向左

(当＞0时)或向右(当＜0时)平行移

动｜｜个单位长度，再把所得各点的横

坐标缩短(当ω＞1时)或伸长(当0＜ω＜1

1时)到原来的倍(纵坐标不变)，再把所



得各点的纵坐标伸长(当A＞1时)或缩短

(当0＜A＜1时)到原来的A倍(横坐标不

8 / 12

变). 另外，注意一些物理量的概念:

21A

：称为振幅；T＝：称为周期；f＝：

T称为频率；

ωx＋：称为相位x＝0时的相位，称为

初相

评述：由y＝sinx的图象变换出y＝sin(ωx＋)的图象一般有两个途径，只有

区别开这两个途径，才能灵活进行图象变

换.

途径一：先平移变换再周期变换(伸缩

变换)

先将y＝sinx的图象向左(＞0)或向

右(＜0)平移｜｜个单位，再将图象上

各点的横坐标变为原来的得y＝sin(ωx＋)的图象. 倍(ω＞0)，便



1途径二：先周期变换(伸缩变换)再平

移变换. 先将y＝sinx的图象上各点的横坐标

1变为原来的倍(ω＞0),再沿x轴向左(



||＞0)或向右(＜0)平移个单位，便得y

＝sin(ωx＋)的图象. 课堂练习：

1若将某函数的图象向右平移以后

2学生在黑板上利所得到的图象的函数式是y＝sin(x＋)，4用“五点法”画

9 / 12

则原来的函数表达式为(

) 3Ay＝sin(x＋) 4图。

By＝sin(x＋) 2教师提问：y＝

3sin(2x＋)，的

3图象与ysinx的图象间的关系怎样？

学生回答：由y＝sinx左移

Cy＝sin(x－) 4Dy＝sin(x＋)－

44答案：A 2函数y＝3sin(2x＋)的图象，可由y3＝sinx的图象经过下述哪种变换而得到

(

)

A.向右平移的个单位，横坐标缩小到原来31倍，纵坐标扩大到原来的3倍

2B.向左平移的个单位，横坐标缩小到原来31倍，纵坐标扩大到原来的3倍

2C.向右平移个单位，横坐标扩大到原来变，得到

6y3sin(2x个

3

单位，得到y＝

sin(x＋)的图

3

象，纵坐标不变，

1

横坐标变为2

倍，得到y＝

sin(2x＋)的图

3

象，纵坐标变为

3倍，横坐标不

1的2倍，纵坐标缩小到原来的倍

33)巩固本节课所学习内容

个单位，横坐标缩小到原来

6

11的倍，纵坐标缩小到原来的倍

23D.向左平移答案：B 3.已知函数y＝Asin(ωx＋

的图象。

教师提问：一般地y＝Asin(ωx＋)，在同一周期

10 / 12

内，当x＝4时函数取得最小值－2，则该函数的解有怎样的关系9呢？

析式为(

) )的图象与y＝时函数取得最大值2，当x＝9sinx的图象间具A.y＝2sin(3x－) 6B.y＝2sin(3x＋C.y＝2sin(D.y＝2sin(学生讨论并回答

) 6x＋) 36x－) 36解析：由题设可知，所求函数的图象如图所示，点(4，2)和点(，－2)都是

99

图象上的点，且由“五点法”作图可知，这

两点分别是“第二点”和“第四点”，所以应

有：

学生自己完成。



3912解得

答43692案：B 由y＝Asin(ωx＋)的图象求其函数式：

一般来说，在这类由图象求函数式的问题中，如对所求函数式中的A、ω、不加限制(如A、ω的正负，角的范围等)，那么所求的函数式应有无数多个不同的形式(这是由于所求函数是周期函数所致)，我们解这类题的方法往往因题而异，但逆用“五点法”作图的思想却渗透在各不同解法之中.

11 / 12

小结

平移法过程：

作y=sinx（长度为2的某闭区间）

沿x轴平

移|φ|个单位

得y=sin(x+φ) 横坐标伸

长或缩短

得y=sin(ωx+φ) 纵坐标伸

长或缩短

横坐标

伸长或缩短

得y=sinωx

沿x轴平

移||个单位

得y=sin(ωx+φ) 纵坐标伸

长或缩短

得y=Asin(ωx+φ)的图象，先在一个周期闭区间上再扩充到R上

布置作业

复习回顾

12 / 12