小结课时教案

平面向量的数量积与平面向量应用举例

1．向量的夹角

定义

已知两个非零向量a―→―→和b，作OA＝a，OB＝b，则∠AOB就是a与b的夹角

2．平面向量的数量积

定义

设两个非零向量a，b的夹角为θ，则数量|a||b|cos θ叫做a与b的数量积，记作a·b

|a|cos θ叫做向量a在b方向上的投影，

|b|cos θ叫做向量b在a方向上的投影

数量积a·b等于a的长度|a|与b在a的方向上的投影|b|cos θ的乘积

设θ是a与b的夹角，则θ的取值范围是0°≤θ≤180°

θ＝0°或θ＝180°⇔a∥b，θ＝90°⇔a⊥b

图示

范围

共线与垂直

投影

几何

意义

3．向量数量积的运算律

(1)a·b＝b·a．

(2)(λa)·b＝λ(a·b)＝a·(λb)．

(3)(a＋b)·c＝a·c＋b·c．

4．平面向量数量积的有关结论

已知非零向量a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，a与b的夹角为θ．

结论

模

夹角

a⊥b的充要条件

|a·b|与|a||b|的关系

[小题体验]

1．已知|a|＝2，|b|＝6，a·b＝－63，则a与b的夹角θ为(

) 几何表示

|a|＝a·a a·bcos θ＝

|a||b|a·b＝0

|a·b|≤|a||b| 坐标表示

2|a|＝x21＋y1

cos θ＝x1x2＋y1y2222x21＋y1·x2＋y2

x1x2＋y1y2＝0 222|x1x2＋y1y2|≤x21＋y1x2＋y2

ππ2π5πA．

B．

C．

D．

6336答案：D 2．已知|a|＝5，|b|＝4，a与b的夹角为120°，则a·b＝_____．

答案：－10 3．(2016·山东高考)已知向量a＝(1，－1)，b＝(6，－4)．若a⊥(ta＋b)，则实数t的值为________．

解析：∵a＝(1，－1)，b＝(6，－4)，

∴ta＋b＝(t＋6，－t－4)．

又a⊥(ta＋b)，则a·(ta＋b)＝0，

即t＋6＋t＋4＝0，解得t＝－5．

答案：－5

1．数量积运算律要准确理解、应用，例如，a·b＝a·c(a≠0)不能得出b＝c，两边不能约去一个向量．

2．两个向量的夹角为锐角，则有a·b>0，反之不成立；两个向量夹角为钝角，则有a·b<0，反之不成立．

3．a·b＝0不能推出a＝0或b＝0，因为a·b＝0时，有可能a⊥b．

4．在用|a|＝a2求向量的模时，一定要把求出的a2再进行开方．

[小题纠偏]

1．给出下列说法：

①向量b在向量a方向上的投影是向量；

②若a·b>0，则a和b的夹角为锐角，若a·b<0，则a和b的夹角为钝角；

③(a·b)c＝a(b·c)；

④若a·b＝0，则a＝0或b＝0．

其中正确的说法有________个．

答案：0 2．(2016·北京高考)已知向量a＝(1，3)，b＝(3，1)，则a与b夹角的大小为________．

解析：由题意得|a|＝1＋3＝2，|b|＝3＋1＝2，

a·b＝1×3＋3×1＝23．

233设a与b的夹角为θ，则cos θ＝＝．

2×22π∵θ∈[0，π]，∴θ＝．

6

π答案：

6

考点一

平面向量的数量积的运算基础送分型考点——自主练透

[题组练透]

1．(易错题)设a＝(1，－2)，b＝(－3,4)，c＝(3,2)，则(a＋2b)·c＝(

) A．(－15,12)

C．－3

B．0 D．－11 解析：选C

∵a＋2b＝(1，－2)＋2(－3,4)＝(－5,6)，

∴(a＋2b)·c＝(－5,6)·(3,2)＝－3．

―→―→―→2．已知AB＝(2,1)，点C(－1,0)，D(4,5)，则向量AB在CD方向上的投影为(

) 32A．－

232C．

2B．－35 D．35 ―→―→―→―→解析：选C

因为点C(－1,0)，D(4,5)，所以CD＝(5,5)，又AB＝(2,1)，所以向量AB在CD方向上的投影为

―→―→AB·CD1532―→―→―→|AB|cos〈AB，CD〉＝―＝＝．

→252|CD|3．已知向量a与b的夹角为60°，且a＝(－2，－6)，|b|＝10，则a·b＝________．

解析：因为a＝(－2，－6)，

所以|a|＝－22＋－62＝210，

又|b|＝10，向量a与b的夹角为60°，

1所以a·b＝|a|·|b|·cos

60°＝210×10×＝10．

2答案：10 4．如图，在等腰直角三角形ABC中，∠C＝90°，AC＝2，D为BC的中点，―→―→则AB·AD＝________．

解析：法一：由题意知，AC＝BC＝2，AB＝22，

―→―→―→―→―→∴AB·AD＝AB·(AC＋CD) ―→―→―→―→＝AB·AC＋AB·CD

―→―→―→―→＝|AB|·|AC|cos 45°＋|AB|·|CD|cos 45°

＝22×2×22＋22×1×＝6．

22法二：建立如图所示的平面直角坐标系，

由题意得A(0,2)，B(－2,0)，

D(－1,0)，

―→∴AB＝(－2,0)－(0,2)＝(－2，－2)，

―→AD＝(－1,0)－(0,2)＝(－1，－2)，

―→―→∴AB·AD＝－2×(－1)＋(－2)×(－2)＝6．

答案：6 [谨记通法]

向量数量积的2种运算方法

方法

定义法

运用提示

当已知向量的模和夹角θ时，可利适用题型

适用于平面图形中的向量数量积用定义法求解，即a·b＝|a|·|b|cos θ

的有关计算问题

当已知向量的坐标时，可利用坐标适用于已知相应向量的坐标求解坐标法

法求解，即若a＝(x1，y1)，b＝(x2，数量积的有关计算问题，如“题组y2)，则a·b＝x1x2＋y1y2

练透”第1题易错

考点二

平面向量数量积的性质题点多变型考点——多角探明

[锁定考向]

平面向量的夹角与模的问题是高考中的常考内容，题型多为选择题、填空题，难度适中，属中档题．

常见的命题角度有：

(1)平面向量的模；

(2)平面向量的夹角；

(3)平面向量的垂直．

角度一：平面向量的模

11．已知e1，e2是单位向量，且e1·e2＝．若向量b满足b·e1＝b·e2＝1，则|b|＝________．

21解析：∵e1·e2＝，

2

∴|e1||e21e1，e2＝，∴2e1，e2＝60°．

b，e2＝30°．

123＝．

332又∵b·e1＝b·e2＝1＞0，∴b，e1＝由b·e1＝1，得|b||e1|cos 30°＝1，∴|b|＝23答案：

3

角度二：平面向量的夹角

2．(2017·山西四校联考)已知|a|＝1，|b|＝2，且a⊥(a－b)，则向量a与向量b的夹角为(

) πA．

6πC．

3πB．

4D．2π

3a，b＝0，∴a，b＝解析：选B

∵a⊥(a－b)，∴a·(a－b)＝a2－a·b＝1－22，∴2πa，b＝．

4―→―→3．(2017·江西八校联考)在△ABC中，AB＝(2，3)，AC＝(1，2)，则△ABC的面积为________．

―→―→―→―→―→―→―→―→―→解析：由题意得，(|AB|· |AC|)2＝(|AB|·|AC|·cos〈AB，AC〉)2＋(|AB|·|AC|·sin〈AB，―→AC〉)2，

―→―→―→―→―→―→―→―→即(|AB|·|AC|)2＝(AB·AC)2＋(|AB|·|AC|·sin〈AB，AC〉)2，

―→―→―→―→∴|AB|·|AC|·sin〈AB，AC〉＝2－3，

1―3→―→―→―→∴S△ABC＝|AB|·|AC|·sin〈AB，AC〉＝1－．

22答案：1－

角度三：平面向量的垂直

14．(2016·山东高考)已知非零向量m，n满足4|m|＝3|n|，cos〈m，n〉＝，若n⊥(t m＋n)，3则实数t的值为(

) A．4

9C．

4B．－4 9D．－

43

2解析：选B

∵n⊥(t m＋n)，∴n·(t m＋n)＝0，

即t m·n＋|n|2＝0，

∴t|m||n|cos〈m，n〉＋|n|2＝0．

31又4|m|＝3|n|，∴t×|n|2×＋|n|2＝0，

43解得t＝－4．故选B．

平面向量数量积求解问题的策略

(1)求两向量的夹角：cos θ＝a·b，要注意θ∈[0，π]．

|a|·|b|(2)求向量的模：利用数量积求解长度问题的处理方法有：

①a2＝a·a＝|a|2或|a|＝a·a．

②|a±b|＝a±b2＝a2±2a·b＋b2．

③若a＝(x，y)，则|a|＝x2＋y2．

(3)两向量垂直的应用：两非零向量垂直的充要条件是：a⊥b⇔a·b＝0⇔|a－b|＝|a＋b|．

[演练冲关]

1．(2017·合肥质检)已知不共线的两个向量a，b满足|a－b|＝2且a⊥(a－2b)，则|b|＝(

) A．2

C．22

B．2 D．4 解析：选B

由a⊥(a－2b)得，a·(a－2b)＝|a|2－2a·b＝0，则|a－b|＝a－b2＝|a|2－2a·b＋|b|2＝|b|＝2，故选B．

12．已知单位向量e1与e2的夹角为α，且cos α＝，向量a＝3e1－2e2与b＝3e1－e2的夹角3为β，则cos β＝________．

1解析：a·b＝(3e1－2e2)·(3e1－e2)＝9＋2－9×1×1×＝8．

31∵|a|2＝(3e1－2e2)2＝9＋4－12×1×1×＝9，

3∴|a|＝3．

1∵|b|2＝(3e1－e2)2＝9＋1－6×1×1×＝8，

3∴|b|＝22，

a·b822∴cos β＝＝＝．

|a|·|b|3×22322答案：

3―→―→―→―→―→―→―→―→3．已知向量AB与AC的夹角为120°，且|AB|＝3，|AC|＝2．若AP＝λ

AB＋AC，且AP

―→⊥BC，则实数λ的值为________．

―→―→―→―→―→解析：BC＝AC－AB，由于AP⊥BC，

―→―→所以AP·BC＝0，

―→―→―→―→即(λAB＋AC)·(AC－AB) ―→―→―→―→＝－λAB2＋AC2＋(λ－1)AB·AC

1－

＝－9λ＋4＋(λ－1)×3×2×2＝0，解得λ＝7答案：

12考点三

平面向量与三角函数的综合重点保分型考点——师生共研

[典例引领]

已知函数f(x)＝a·b，其中a＝(2cos x，－3sin 2x)，b＝(cos x,1)，x∈R．

(1)求函数y＝f(x)的单调递减区间；

(2)在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，f(A)＝－1，a＝7，且向量m＝(3，sin B)与n＝(2，sin C)共线，求边长b和c的值．

π2x＋，

解：(1)f(x)＝a·b＝2cos2x－3sin 2x＝1＋cos 2x－3sin 2x＝1＋2cos3π令2kπ≤2x＋≤2kπ＋π(k∈Z)，

3ππ解得kπ－≤x≤kπ＋(k∈Z)，

63ππkπ－，kπ＋(k∈Z)．

所以f(x)的单调递减区间为63π2A＋＝－1，

(2)∵f(A)＝1＋2cos3π2A＋＝－1．

∴cos3ππ7π又<2A＋＜，

333ππ∴2A＋＝π，即A＝．

33∵a＝7，

由余弦定理得a2＝b2＋c2－2bccos A＝(b＋c)2－3bc＝7．①

∵向量m＝(3，sin B)与n＝(2，sin C)共线，

7．

12

所以2sin B＝3sin C．由正弦定理得2b＝3c，②

由①②，可得b＝3，c＝2．

[由题悟法]

平面向量与三角函数的综合问题的解题思路

(1)题目条件给出向量的坐标中含有三角函数的形式，运用向量共线或垂直或等式成立等，得到三角函数的关系式，然后求解．

(2)给出用三角函数表示的向量坐标，要求的是向量的模或者其他向量的表达形式，解题思路是经过向量的运算，利用三角函数在定义域内的有界性，求值域等．

[即时应用]

(2017·临沂模拟)已知向量m＝(sin α－2，－cos α)，n＝(－sin α，cos α)，其中α∈R．

(1)若m⊥n，求角α；

(2)若|m－n|＝2，求cos 2α的值．

解：(1)若m⊥n，则m·n＝0，

即为－sin α(sin α－2)－cos2α＝0，

1π5π即sin α＝，可得α＝2kπ＋或α＝2kπ＋，k∈Z．

266(2)若|m－n|＝2，即有(m－n)2＝2，

即(2sin α－2)2＋(2cos α)2＝2，

即为4sin2α＋4－8sin α＋4cos2

α＝2，

3即有8－8sin α＝2，可得sin α＝，

491即有cos 2α＝1－2sin2α＝1－2×＝－．

168