小结教学设计实例

题型一

数形结合思想在向量中的运用

→→→→→例1

已知向量OB＝(2,0)，OC＝(2,2)，CA＝(2cos α，2sin α)，则OA与OB夹角的范围是(

) ππ5ππ5π5ππ0，

B.，

C.，

D.，

A.44121212122答案

C 解析

建立如图所示的直角坐标系．

→→∵OC＝(2,2)，OB＝(2,0)，

→CA＝(2cos α，2sin α)，

∴点A的轨迹是以C(2,2)为圆心，2为半径的圆．

→→过原点O作此圆的切线，切点分别为M，N，连接CM、CN，如图所示，则向量OA与OB的→→夹角范围是∠MOB≤〈OA，OB〉≤∠NOB. →→→1→∵|OC|＝22，∴|CM|＝|CN|＝|OC|，

2ππ知∠COM＝∠CON＝，但∠COB＝. 64π5π∴∠MOB＝，∠NOB＝，

1212π5π→→故≤〈OA，OB〉≤. 1212反思与感悟

数形结合是求解数学问题最常用的方法之一，其大致有以下两条途径：

(1)以数解形，通过对数量关系的讨论，去研究图形的几何性质．

(2)以形助数，一些具有几何背景的数学关系或数学结构，如能构造与之相应的图形分析，则能获得更直观的解法，这种解题思想在不少章节都有广泛的应用．

跟踪训练1

已知向量a＝(1,1)，b＝(1，a)，其中a为实数，O为原点，当此两向量夹角在0，π变动时，a的范围是(

) 12A．(0,1)

B.C.3，3

33∪(1，3)

D．(1，3) 3，1答案

C

π→解析

已知OA＝(1,1)，即A(1,1)，如图所示，当点B位于B1和B2时，a与b夹角为，即12πππππππ3∠AOB1＝∠AOB2＝，此时，∠B1Ox＝－＝，∠B2Ox＝＋＝，故B11，，B(1，1241264123323)，又a与b夹角不为零，

故a≠1，由图易知a的范围是3∪(1，3)．

3，1题型二

基底思想在解题中的应用

→→例2

设点O是△ABC的外心，AB＝13，AC＝12，则BC·AO＝________. 25答案

－

2解析

→→设{AB，AC}为平面内一组基底．如图所示，O为△ABC的外心，设M为BC中点，连接OM、AM、OA，

则易知OM⊥BC. →→→又由BC＝AC－AB，

→→→1→→→AO＝AM＋MO＝(AB＋AC)＋MO. 2→→→→→→→→→∴BC·AO＝BC·(AM＋MO)＝BC·AM＋BC·MO

→→→→＝BC·AM(其中BC·MO＝0) →→1→→＝(AC－AB)·(AB＋AC) 21→125→＝(AC2－AB2)＝×(122－132)＝－. 222反思与感悟

平面向量基本定理是平面向量坐标表示的基础，它表明同一平面内的任一向量都可表示为其他两个不共线向量的线性组合．

能够在具体问题中适当地选取基底，使其他向量都能够用基底来表示．这样，几何问题就转化为代数问题．

→1→→→2→跟踪训练2

如图所示，在△ABC中，AN＝NC，P是BN上的一点，若AP＝mAB＋AC，311则实数m的值为________．

答案

3

11→→解析

设BP＝λBN，

→→→→→2→则BP＝BA＋AP＝－AB＋mAB＋AC

11→2→＝(m－1)AB＋AC. 11→→→→1→BN＝BA＋AN＝－AB＋AC. 4123→→∵BP与BN共线，∴(m－1)＋＝0，∴m＝. 41111

题型三

向量坐标法在平面几何中的运用

例3

已知在等腰△ABC中，BB′，CC′是两腰上的中线，且BB′⊥CC′，求顶角A的余弦值的大小．

解

建立如图所示的平面直角坐标系，设A(0，a)，C(c,0)，则B(－c,0)，

→→→→OA＝(0，a)，BA＝(c，a)，OC＝(c,0)，BC＝(2c,0)．

因为BB′、CC′为AC、AB边的中线，

3ca1→→→所以BB′＝(BC＋BA)＝2，2，

23ca→－，. 同理CC′＝22→→→→因为BB′⊥CC′，所以BB′·CC′＝0，

9c2a2即－＋＝0，a2＝9c2，

44→→2222AB·ACa－c9c－c4又cos A＝＝＝＝. →→a2＋c29c2＋c25|AB||AC|4即顶角A的余弦值为. 5反思与感悟

把几何图形放到适当的坐标系中，就赋予了有关点与向量具体的坐标，这样就能进行相应的代数运算和向量运算，从而解决问题．这种解题方法具有普遍性．

→1→2→→→跟踪训练3

若等边△ABC的边长为23，平面内一点M满足CM＝CB＋CA，则MA·MB＝63________.

答案

－2 解析

建立如图所示的直角坐标系，根据题设条件即可知

A(0,3)，B(－3，0)，M(0,2)，

→∴MA＝(0,1)，

→MB＝(－3，－2)．

→→∴MA·MB＝－2. [呈重点、现规律]

1．由于向量有几何法和坐标法两种表示方法，它的运算也因为这两种不同的表示方法而有两种方式，因此向量问题的解决，理论上讲总共有两个途径，即基于几何表示的几何法和基于坐标表示的代数法，在具体做题时要善于从不同的角度考虑问题．

2．向量是一个有“形”的几何量，因此，在研究向量的有关问题时，一定要结合图形进行分析判断求解，这是研究平面向量最重要的方法与技巧．