探究与发现 函数y=Asin（ωx+φ）及函数y=Acos（ωx+φ）的周期教案板书设计

1.4.2正弦、余弦函数的性质(一) 教学目的：

知识目标：要求学生能理解周期函数，周期函数的周期和最小正周期的定义；

能力目标：掌握正、余弦函数的周期和最小正周期，并能求出正、余弦函数的最小正周期。

德育目标：让学生自己根据函数图像而导出周期性，领会从特殊推广到一般的数学思想，体会三角函数图像所蕴涵的和谐美，激发学生学数学的兴趣。

教学重点：正、余弦函数的周期性

教学难点：正、余弦函数周期性的理解与应用

教学过程：

一、复习引入：

1．问题：（1）今天是星期一，则过了七天是星期几？过了十四天呢？……

（2）物理中的单摆振动、圆周运动，质点运动的规律如何呢？

2．画出正（余）弦函数的草图，观察图象总结规律：

二、新课讲授：

1. 正弦函数、余弦函数的性质之一：定义域、值域

(1) 定义域：y=sinx, y=cosx的定义域为R. (2) 值域：

y=sinx, y=cosx的值域为[-1, 1]. 1°|sinx|≤1, |cosx |≤1

(有界性) . 2 对于ysinx当且仅当x2k当且仅当x2k2(kZ)时，ymax1;(kZ)时，ymin1.

2对于ycosx当且仅当x2k(kZ)时，ymax1;

当且仅当x2k(kZ)时，ymin1.2. 正弦函数、余弦函数的性质之二：对称轴和对称中心

正弦函数y=sinx的对称轴：有无数条，每条相差

的整数倍：

正弦函数y=sinx的对称中心：有无数个，每个相差

的整数倍：（

）

余弦函数y=cosx的对称轴：有无数条，每条相差

的整数倍：

余弦函数y=cosx的对称中心：有无数个，每个相差

的整数倍：（

）

3. 正弦函数、余弦函数的性质之三：周期性

.

正弦函数f(x)sinx性质如下：

（观察图象）

1

正弦函数的图象是有规律不断重复出现的；

2

规律是：每隔2重复出现一次（或者说每隔2k,kZ重复出现）

3

这个规律由诱导公式sin(2k+x)=sinx可以说明

结论：象这样一种函数叫做周期函数。

文字语言：正弦函数值按照一定的规律不断重复地取得；

1

符号语言：当x增加2k（kZ）时，总有f(x2k)sin(x2k)sinxf(x)．

也即：（1）当自变量x增加2k时，正弦函数的值又重复出现；

（2）对于定义域内的任意x，sin(x2k)sinx恒成立。

余弦函数也具有同样的性质，这种性质我们就称之为周期性。

周期函数定义：对于函数f (x)，如果存在一个非零常数T，使得当x取定义域内的每一个值时，都有：f (x+T)=f (x)那么函数f (x)就叫做周期函数，非零常数T叫做这个函数的周期。

22)sin，能否说是它的周期？

6363（2）正弦函数ysinx，xR是周期函数，周期是2k，kZ且k0）

（1）对于函数ysinx，xR有sin(（3）若函数f(x)的周期为T，则kT，kZ也是f(x)的周期

（4）不是所有的周期函数都有最小正周期

（f(x)c没有最小正周期）

（5）若无特别说明, 周期指函数的最小正周期

从图象上可以看出ysinx，xR；ycosx，xR的最小正周期为2；

（6）

或

的周期只与

有关，一般有：T=3、例题讲解 *. 例1.

求下列三角函数的周期: (1)

y3cosx,xR

(2) ysin2x,xR

xπ (3)y3sin(),xR25

练习1：求下列三角函数的周期：

1 y=sin(x+x) 2 y=cos（-2x ） 3 y=3sin(+) 253

例2：求下列函数的周期： 1y=sin(2x+解：1 y1=sin(2x+)+2cos(3x-) 2 y=|sinx| 64) 最小正周期T1= 42 y2=2cos(3x-) 最小正周期 T2=

63-

∴T为T1 ,T2的最小公倍数2 ∴T=2

2 T= 作图 

2

3

注意：①两个函数和或差的周期=两个周期的最小公倍数。②加绝对值后周期减半。

练习2：函数

的最小正周期为

，则

。

2

练习3：已知f(x)是以

为周期的偶函数，且

有

求当

时，f(x)的解析式。

三、巩固与练习

结论：函数f (x)，如果当x取定义域内的每一个值时，都有：

①若f (x+2a)=f (x)，那么函数f (x)的周期为2a(a不为0)，

②若f (x+a)=- f (x)，那么函数f (x)的周期为2a(a不为0)，

③若f (x+a)=

，那么函数f (x)的周期为2a(a不为0)，

例题：已知函数函数f (x)，如果当x取定义域内的每一个值时，都有

(1)、证明：f(x)是周期函数，

(2)、若f(1)=-5，求f(f（5）)的值。

四、教学小结：

本节课学习了以下内容：

①正余弦的定义域和值域；

②正余弦的对称轴、对称中心；

③周期函数的定义，周期，最小正周期。

五、课后作业：

六、教学后记：

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