二次根式应用教学实录及点评

华章文化

第十六章

二次根式

16．1 二次根式

习题word版

第1课时

二次根式的概念

基础题

知识点1 二次根式的定义

1．下列式子不是二次根式的是(B) A.5

B.3－π

C.0.5

D.1

32．已知a是二次根式，则a的值可以是(C) A．－2

B．－1

C．2

D．－5 3．(2018·唐山丰南区期中)下列各式一定是二次根式的是(D) A.a

B.x＋1

C.1－x

D.x＋1 4．若－3x是二次根式，则x的值可以为答案不唯一，如：－1(写出一个即可)．

知识点2 二次根式有意义的条件

5．x取下列各数中的哪个数时，二次根式2x－4有意义(D) A．－3

B．0

C．1

D．4 6．(2018·怀化)使x－3有意义的x的取值范围是(C) A．x≤3

B．x<3

C．x≥3

D．x>3 7．当x是怎样的实数时，下列各式在实数范围内有意义？

(1)－x；

解：由－x≥0，得x≤0.

(2)2x＋6；

解：由2x＋6≥0，得x≥－3.

(3)x；

2解：由x≥0，得x为全体实数．

(4)；

4－3x123224解：由4－3x>0，得x<. 3

(5)x－4. x－3x－4≥0，解：由得x≥4. x－3≠0，

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知识点3 二次根式的实际应用

28．已知一个表面积为12 dm的正方体，则这个正方体的棱长为(B) A．1 dm

B.2 dm

C.6 dm

D．3 dm 29．若一个长方形的面积为10 cm，它的长与宽的比为5∶1，则它的长为52cm，宽为2cm. 易错点

考虑不全造成答案不完整

10．(2018·保定竞秀区二模)使代数式x－2有意义的x的取值范围是(D) x－3A．x＞2 B．x≥2 C．x＞3 D．x≥2且x≠3 中档题

11．下列各式：①A．1个

13；②2x；③x；④－5.其中，二次根式有(A) 2B．2个

C．3个

D．4个

12．(2017·济宁)若2x－1＋1－2x＋1在实数范围内有意义，则x满足的条件是(C) 1111A．x≥

B．x≤

C．x＝

D．x≠

222213．使式子1x＋3A．5个

＋4－3x在实数范围内有意义的整数x有(C) B．3个 1ab

C．4个

D．2个

14．如果式子a＋有意义，那么在平面直角坐标系中点A(a，b)的位置在(A) B．第二象限

D．第四象限

2A．第一象限

C．第三象限

15．使式子－（x－5）有意义的未知数x的值有1个．

216．要使二次根式2－3x有意义，则x的最大值是．

317．当x是怎样的实数时，下列各式在实数范围内有意义？

(1)3；

2x－11解：x>. 2

2(2)；

1－x解：x≥0且x≠1.

(3)1－|x|；

解：－1≤x≤1.

(4)x－3＋4－x. 解：3≤x≤4.

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综合题

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18．已知a，b分别为等腰三角形的两条边长，且a，b满足b＝4＋3a－6＋32－a，求此三角形的周长．

解：∵3a－6≥0，2－a≥0，

∴a＝2，b＝4. 当边长为4，2，2时，不符合实际情况，舍去；

当边长为4，4，2时，符合实际情况，

∴此三角形的周长为4×2＋2＝10.

19．(2018·唐山古冶区期中)若8a是整数，则最小的正整数a的值是2．

第2课时

二次根式的性质

基础题

知识点1 a≥0(a≥0)

1．(2017·荆门)已知实数m，n满足|n－2|＋m＋1＝0，则m＋2n的值为3．

2．当x＝2__018时，式子2 019－x－2 018有最大值，且最大值为2__019．

知识点2 (a)2＝a(a≥0) 3．把下列非负数写成一个非负数的平方的形式：

(1)5＝(5)2;__ (2)3.4＝(3.4)2；

(3)116＝(6)2;__ (4)x＝(x)2(x≥0)．

4．计算：(2 018)2＝2__018．

5．计算：

(1)(0.8)2；

解：原式＝0.8.

(2)(－34)2；

解：原式＝34.

(3)(52)2；

解：原式＝25×2＝50.

(4)(－26)2. 解：原式＝4×6＝24.

知识点3 a2＝a(a≥0) 6．计算（－2）2的结果是(B) A．－2

B．2

C．－4

D．4 7．【分类讨论思想】(2018·石家庄赵县期末)如果x2＝4，那么x等于(D) A．2 B．±2 C．4 Dwww.sjhzhb.com

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．±4

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8．(2018·杭州)下列计算正确的是(A) 222

2习题word版

A.2＝2

B.2＝±2

C.4＝2

D.4＝±2 29．(2018·唐山丰南区期中)若等式（8－x）＝x－8成立，则x的取值范围是x≥8．

10．计算：

(1)49；

解：原式＝7.

(3)12（－）；

3

(4)6. －2

(2)（－5）；

解：原式＝5. 21解：原式＝.

31解：原式＝. 6

知识点4 代数式

11．下列式子不是代数式的是(C) A．3x

3B.

x

C．x>3

D．x－3 12．下列式子中属于代数式的有(A) ①0；②x；③x＋2；④2x；⑤x＝2；⑥x>2；⑦x＋1；⑧x≠2. A．5个

B．6个

C．7个

D．8个

易错点

运用a＝a(a≥0)时，忽略a≥0 13．计算：（1－2）＝2－1．

中档题

14．(2018·无锡)下列等式正确的是(A) A．(3)＝3 3C.3＝3

15．已知a＜1，化简A．a－2

2222

B.（－3）＝－3 2

D．(－3)＝－3 2（a－1）－1的结果是(D) B．2－a

C．a

2D．－a 16．【数形结合思想】(2015·河北)在数轴上标注了四段范围，如图，则表示8的点落在(C)

A．段① B．段②

C．段③ D．段④

17．若等式（x－2）＝(x－2)成立，则x的取值范围是x≥2．

218．【数形结合思想】(2018·石家庄桥西区校级期末)实数a，b在数轴上的位置如图所示，则|a＋b|＋（b－a）2－b＝－b．

219．若a＝3，b＝2，且ab＜0，则a－b＝－7．

20．计算：

(1)－212（－）；

8

221解：原式＝－2×

81＝－. 4

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(2)4×10；

－2解：原式＝2×10.

(3)(23)－(42)；

解：原式＝12－32 ＝－20.

(4)12（2）＋312（－2）. 322－4

习题word版

11解：原式＝2＋2

332＝4. 321．先化简a＋1＋2a＋a，然后分别求出当a＝－2和a＝3时，原代数式的值．

22解：a＋1＋2a＋a＝a＋（a＋1）＝a＋|a＋1|，

当a＝－2时，原式＝－2＋|－2＋1|＝－2＋1＝－1；

当a＝3时，原式＝3＋|3＋1|＝3＋4＝7.

综合题

22．有如下一串二次根式：

①5－4；②17－8；③37－12；

22④65－16…

(1)求①，②，③，④的值；

(2)仿照①，②，③，④，写出第⑤个二次根式；

(3)仿照①，②，③，④，⑤，写出第个二次根式，并化简．

解：(1)①原式＝9＝3. ②原式＝225＝15. ③原式＝1 225＝35. ④原式＝3 969＝63. 22(2)第⑤个二次根式为101－20＝99. 222(3)第个二次根式为（4n＋1）－（4n）. 2222222化简：（4n＋1）－（4n）＝（4n－4n＋1）（4n＋4n＋1）＝（2n－1）（2n＋1）＝(2n－1)(2n＋1)．

23．(2018·石家庄桥西区校级期末)阅读材料：小明在学习二次根式后，发现一些含根号的式子可以写成另一个式子的平方，如3＋22＝(1＋2).善于思考的小明进行了以下探索：设a＋b2＝(m＋n2)(其中a，b，m，n均为2222整数)，则有a＋b2＝m＋2n＋2mn2，∴a＝m＋2n，b＝2mn.这样小明就找到了一种把类似a＋b2的式子化为平方式的方法．请你仿照小明的方法解决下列问题：

(1)当a，b，m，n均为正整数时，若a＋b3＝(m＋n3)，用含m，n的式子分别表示a，b，得a＝m＋3n，b＝2mn；

(2)利用所探索的结论，找一组正整数a，b，m，n填空：

4＋23＝(1＋13)；(答案不唯一) 2(3)若a＋43＝(m＋n3)，且a，m，n均为正整数，求a的值；

(4)试化简7＋43. www.sjhzhb.com

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2222222222222

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(1)4×225；

(2)300；

解：原式＝4×225

解：原式＝103. ＝2×15 ＝30.

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(3)16y；

(4)9xyz. 2解：原式＝4y.

解：原式＝3xyyz.

13．计算：

(1)36×212；

2解：原式＝66×2＝362.

(2)12ab·522510a. b解：原式＝2ab＝a2b.

易错点

忽视被开方数不能小于零

14．化简：（－4）×（－9）. 解：原式＝－4×－9＝(－2)×(－3)＝6. 以上解答过程正确吗？若不正确，请改正．

解：不正确．

原式＝36＝6.

中档题

15.50·a的值是一个整数，则正整数a的最小值是(B) A．1

B．2

C．3

D．5 16．(2018·山西)计算：(32＋1)(32－1)＝17．

17．计算：

(1)75×20×12；

解：原式＝25×3×4×5×3×4 ＝605.

(2)（－14）×（－112）；

解：原式＝14×112 22＝2×7×4

22＝2×7×4

＝282.

(3)－3×4×2；

解：原式＝－3×16×22 ＝－962.

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(4)200abc(a＞0，c＞0)．

222222解：原式＝2×10·（a）·a·（b）·c·c 22＝10abc2ac.

543

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18．交通警察通常根据刹车后车轮滑过的距离估计车辆行驶的速度，所用的经验公式是v＝16df，其中v表示车速(单位：km/h)，d表示刹车后车轮滑过的距离(单位：m)，f表示摩擦因数，在某次交通事故调查中，测得d＝20 m，f＝1.2，肇事汽车的车速大约是多少？(结果精确到0.01 km/h) 解：当d＝20 m，f＝1.2时，

v＝16df＝16×20×1.2＝1624＝326≈78.38. 答：肇事汽车的车速大约是78.38 km/h.

19．一个底面为30 cm×30 cm的长方体玻璃容器中装满水，现将一部分水倒入一个底面为正方形、高为10 cm的长方体铁桶中，当铁桶装满水时，容器中的水面下降了20 cm，铁桶的底面边长是多少厘米？

解：设铁桶的底面边长为x cm，则

2x×10＝30×30×20，

2x＝30×30×2，

x＝30×30×2＝302. 答：铁桶的底面边长是302 cm. 综合题

20．(教材P16“阅读与思考”变式)阅读：古希腊的几何家海伦，在数学史上以解决几何测量问题而闻名，在他的a＋b＋c著作《度量》一书中，给出了一个公式：如果一个三角形的三边长分别为a，b，c.记：p＝，则三角形的面2积S＝p（p－a）（p－b）（p－c），此公式称为“海伦公式”．

思考运用：已知李大爷有一块三角形的菜地，如图，测得AB＝7 m，AC＝5 m，BC＝8 m，你能求出李大爷这块菜地的面积吗？试试看．

解：∵AB＝7 m，AC＝5 m，BC＝8 m，

7＋5＋8∴p＝＝10(m)．

2∴S＝10×（10－7）×（10－5）×（10－8）

＝10×3×5×2 2＝103(m)．

2∴李大爷这块菜地的面积为103 m.

第2课时

二次根式的除法

基础题

知识点1 ab＝a(a≥0，b＞0) b

1．计算：10÷2＝(A) A.5

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B．5

C.5

2D.10

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＝＝

5212xy2

y

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53xy. y217．如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，S△ABC＝18 cm，BC＝3 cm，AB＝33 cm，CD⊥AB于点D.求AC，CD的长．

11解：∵S△ABC＝AC·BC＝AB·CD，

222S△ABC218∴AC＝＝＝26(cm)，

BC32S△ABC2182CD＝＝＝6(cm)．

AB333综合题

18．阅读下面的解题过程，根据要求回答下列问题．

a化简：b－ab－2ab＋ab(b

ab（b－a）①

ab②

a2322a解：原式＝b－a＝a（b－a）b－a1＝a·ab③

a＝ab.④

(1)上述解答过程从哪一步开始出现错误？请写出代号②；

(2)错误的原因是什么？

(3)请你写出正确的解法．

解：(2)∵b

ab

a21＝－a·(－ab) a＝ab.

周测(16.1～16.2)

(时间：40分钟

满分：100分)

一、选择题(每小题4分，共32分) www.sjhzhb.com

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小专题(一) 二次根式的性质及运算

习题word版

类型1 二次根式的非负性

1．(2018·广东)已知a－b＋|b－1|＝0，则a＋1＝2．

2．已知x，y为实数，且y＝x－9＋9－x＋4，则x－y的值为5．

13．当x＝时，5x－1＋4的值最小，最小值是4．

5类型2 二次根式的估值

4．(2014·河北)a，b是两个连续整数，若a＜7＜b，则a，b分别是(A) A．2，3

B．3，2 C．3，4

D．6，8 5．(2018·唐山路北区三模)若a＝10，则实数a在数轴上对应的点的大致位置是(C)

A．点E

B．点F

C．点G

D．点H

6．【数形结合思想】(2018·河北模拟)如图，数轴上有A，B，C，D四点，则所表示的数与5－11最接近的是(D)

A．A点

B．B点

C．C点

D．D点

类型3 与二次根式有关的计算

7．计算：

1(1)62×6；

31解：原式＝(6×)2×6 3＝212 ＝43.

(2)(－45)÷541；

535解：原式＝－45÷(5×) 5＝－45÷35 4＝－. 3(3)(25＋3)×(25－3)；

22解：原式＝(25)－(3)

＝20－3 ＝17.

(4)(2018·沧州青县期中)93＋712－548＋2解：原式＝93＋143－203＋23 31. 3www.sjhzhb.com

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＝1.

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