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八年级数学·下

新课标[人]

勾股定理全章质量检测

(时间:90分钟

满分:120分)

一、选择题(每小题3分,共30分)

221.若一个直角三角形的三边长分别为a,b,c,且a=144,b=25,则c等于

(

)

A.169

B.13 C.169或119

D.13或

2.如图所示,所有的四边形都是正方形,所有的三角形都是直角三角形,其中最大的正方形的边长为10 cm,正方形A的边长为6 cm,B的边长为5 cm,C的边长为5 cm,则正方形D的边长为

(

)

A. cm

B.4 cm

C. cm

D.3 cm 3.满足下列条件的△ABC不是直角三角形的是

(

)

A.∠A=∠B-∠C

B.∠A∶∠B∶∠C=1∶1∶2

C.a∶b∶c=1∶2∶2

222D.b=a-c

4.下列说法正确的是

(

)

A.每个命题都有逆命题

B.每个定理都有逆定理

C.真命题的逆命题也是真命题

D.假命题的逆命题也是假命题

5.如图所示,点A所表示的数是

(

)

A.1.5

B.

C.2

D. 6.D是△ABC中BC边上一点,若AC-CD=AD,那么下列各式中正确的是

(

)

2222A.AB-BD=AC-CD

222B.AB=AD-BD

222C.AB+BC=AC

2222D.AB+BC=BC+AD

7.已知△ABC的三边长分别为a,b,c,且a+b=4,ab=1,c=,则△ABC的形状是

(

)

A.等腰三角形

B.直角三角形

C.锐角三角形

D.无法确定

8.已知一个三角形的三条边长分别是15 cm,20 cm,25 cm,则这个三角形最长边上的高是

(

)

A.12 cm

B.11 cm C.10 cm

D.9 cm 9.如图所示,将边长为8 cm的正方形ABCD折叠,使点D落在BC边的中点E处,点A落在F处,折痕为NM,则线段CN的长是

(

)

222

A.3 cm

B.4 cm C.5 cm

D.6 cm

10.(2014·钦州中考)如图所示,6个边长为1的小正方形及其部分对角线所构成的图形中,如果从A点到B点只能沿图中的线段走,那么从A点到B点的最短距离的走法共有

(

)

A.1种

B.2种

C.3种

D.4种

二、填空题(每小题4分,共32分)

11.小明将一副三角板按如图所示摆放在一起,发现只要知道其中一边的长就可以求出其他各边的长,若已知CD=2,则AC的长为

.

12.如图所示的是由4个边长为1的正方形构成的“田字格”.只用没有刻度的直尺在这个“田字格”中最多可以作出长度为的线段

条.

13.如图所示,三个村庄A,B,C之间的距离分别是AB=5 km,BC=12 km,AC=13 km.要从B修一条公路BD直达AC.已知公路的造价为26000元/km,则修这条公路的最低造价是

元.

14.如图所示,在四边形ABCD中,已知四条边的比为AB∶BC∶CD∶DA=2∶2∶3∶1,且∠B=90°,则∠DAB的度数为

.

15.(2014·甘孜中考)如图所示,我国古代数学家得出的“赵爽弦图”是由四个全等的直角三角形和一个小正方形密铺成的大正方形.若小正方形与大正方形的面积之比为1∶13,则直角三角形较短的直角边a与较长的直角边b的比值为

.

16.如图所示,已知△ABC是腰长为1的等腰直角三角形,以Rt△ABC的斜边AC为直角边,画第二个等腰直角三角形ACD,再以Rt△ACD的斜边AD为直角边,画第三个等腰直角三角形ADE,…,依此类推,则第2013个等腰直角三角形的斜边长是

.

17.如图所示,已知圆柱底面的周长为4 dm,圆柱高为2 dm,在圆柱的侧面上,过点A和点C嵌有一圈金属丝,那么这圈金属丝的周长最小为

dm.

18.(2014·黄冈中考)如图所示,在一张长为8 cm,宽为6 cm的长方形纸片上,现要剪下一个腰长为5 cm的等腰三角形(要求:等腰三角形的一个顶点与长方形的一个顶点重合,其余的两个顶点在长方形的边上),则剪下的等腰三角形的面积为

cm.

2

三、解答题(共58分)

19.(8分)(2015·天津中考节选)在每个小正方形的边长为1的网格中,点A,B,C,D均在格点上,点E,F分别为线段BC,DB上的动点,且BE=DF.如图所示,当BE=时,计算AE+AF的值.

20.(8分)如图所示,四边形ABCD中,AB=a,BC=b,CD=c,DA=d,AC与BD相交于O,且AC⊥BD,则a,b,c,d之间一定有关系式:a+c=b+d,请说明理由.

2222

21.(10分)如图所示,一个工人师傅要将一块正方形ABCD的余料修剪成四边形ABEF的零件,其中CE=BC,F是CD的中点.

(1)若正方形的边长为a,试用含a的代数式表示AF+EF的值;

(2)连接AE,则△AEF是直角三角形吗?为什么?

22

22.(10分)如图所示,在Rt△ABC中,∠C=90°,BD平分∠ABC,交AC于D,将△ADE沿DE所在直线折叠,使点A恰好与点B重合,若CD=2,求AB的长.

23.(10分)若△ABC的三边长a,b,c满足a+b+c+338=10a+24b+26c,试判断△ABC的形状.

24.(12分)如图(1)所示,一架长4米的梯子AB斜靠在与地面OM垂直的墙壁ON上,梯子与地面的倾斜角α为60°.

(1)求AO与BO的长.

(2)若梯子顶端A沿NO下滑,同时底端B沿OM向右滑行.如图(2)所示,设A点下滑到C点,B点向右滑行到D点,并且AC∶BD=2∶3,试计算梯子顶端A沿NO下滑多少米.

222

【答案与解析】

1.D(解析:由于已知条件中没有说明哪条边是斜边,因此c的取值可能有两种情形:①c==13;②c==.)

2.A(解析:根据勾股定理的几何意义,得SA+SB+SC+SD=S最大正方形,设正方形D的边长为x cm.则6×6+5×5+5×5+x=100,解得x=.故选A.)

3.C(解析:A.∠A=∠B-∠C,△ABC是直角三角形;B.∠A∶∠B∶∠C=1∶1∶2,△ABC是直角三角222222形;C.a∶b∶c=1∶2∶2,△ABC不是直角三角形;D.由b=a-c得b+c=a,△ABC是直角三角形.故选C.)

4.A(解析:每一个命题都有逆命题,A选项正确;每个定理的逆命题不一定成立,所以每个定理不一定有逆定理,B选项错误;真命题的逆命题有可能是假命题,C选项错误;假命题的逆命题有可能是真命题,D选项错误.故选A.)

2

5.D(解析:由图知两直角边长为1,2,根据勾股定理,得=,以原点为圆心,

为半径画弧,与数轴正半轴的交点所表示的数为.故选D.) 6.A(解析:∵AC-CD=AD,∴△ACD是直角三角形,∴AD⊥BC,∴△ABD是直角三角形,∴AB-BD=AC-CD.故选A.)

2222222

7.B(解析:由a+b=4,ab=1可得a+b=(a+b)-2ab=14=c,所以△ABC是直角三角形.)

8.A(解析:因为15+20=625=25,所以这个三角形是直角三角形,25 cm长的边为斜边,运用等面积法可得斜边上的高为=12(cm).)

9.A(解析:对折问题即对称问题,设CN=x cm,则DN=NE=(8-x)cm.在Rt△CEN中,(8-x)=4+x,解得x=3.故选A.) 10.C(解析:从A点到B点,若只走小正方形的边,则最短距离为5;若走一条对角线,其余走边,则最短距离为3+;若走两条对角线,其余走边,则最短距离为1+2.∵1+2<3+<5,∴最短距离为1+2.走两条对角线,其余走边的方法共有3种:A→C→F→B,A→E→F→B,A→E→D→B.故选C.)

2222222222

11.(解析:∵BD=CD=2,∴BC==2.设AB=x,则AC=2x,∴x+(2)=(2x),∴x=(负值舍去),AC=2AB=.)

12.8(解析:根据勾股定理得=,所以直角边长为1和2的直角三角形的斜边长为,一个“日”字中能作出2条,4个“日”字中能作出8条,故答案为8.)

13.120000(解析:∵BC+AB=12+5=169,AC=13=169,∴BC+AB=AC,∴∠ABC=90°.当BD⊥AC时,BD最短,造价最低.∵S△ABC=AB·BC=AC·BD,∴BD==(km).∴最低造价为×26000=120000(元).)

14.135°(解析:这道题涉及角度的求解,需要利用勾股定理的逆定理,连接AC.设DA=m(m>0),则AB=2m,BC=2m,CD=3m.在Rt△ABC中,由AB=BC=2m,得∠BAC=45°,又由勾股定理得AC2=AB2+BC2=(2m)2+(2m)2=8m2,22222222222则AC+AD=8m+m=9m,又CD=(3m)=9m,∴AC+AD=CD,从而∠DAC=90°,∴∠DAB=∠DAC+∠CAB=90°+45°=135°.)

222222222222

15.(解析:由于小正方形与大正方形的面积之比为1∶13,故可分别用a,b表示小正方形与大正方形的面积得(b-a)=k(k>0),a+b=13k,即a+b-2ab=k,a+b=13k,所以ab=6k.可得(a+b)=25k,所以b-a=k,a+b=5k,解得22222222222222a=2k,b=3k,所以直角三角形较短的直角边a与较长的直角边b的比值为.)

16.()2013(解析:等腰直角三角形的斜边长为直角边长度的倍,第一个三角形(也就是Rt△ABC)的斜边长为1×=;2第二个三角形的直角边长是第一个三角形的斜边长,所以它的斜边长为×=();…;第n个三角形的直角边长是第(n-1)个三角形的斜边长,所以其斜边长为().则第2013个等腰直角三角形的斜边长是()n2013.)

17.4(解析:根据题意得AB=2 dm,BC=×4=2(dm),由勾股定理,得AC=2 dm,∴这圈金属丝的周长最小为4 dm.)

18.或5或10(解析:有三种可能图形.(1)如图(1)所示,面积=×5×5=(cm).(2)如图(2)所示,面积=×5×4=10(cm).(3)如图(3)所示,面积=×5×2=5(cm).)

222

19.解:当BE=时,AE= =,又DF=BE=,由勾股定理得BD==5,所以BF==AF,所以AE+AF=+=.

20.解:∵AC⊥BD,∴a2=OA2+OB2,b2=OB2+OC2,c2=OD2+OC2,d2=OA2+OD2,∴a2+c2=OA2+OB2+OC2+OD2,b2+d2=OA2+OB2+OC2+OD2,∴a2+c2=b2+d2.

21.解:(1)AF+EF=a+a=a.

(2)△AEF是直角三角形.理由如下:∵AE=AB+BE=a=AF+EF,∴△AEF是直角三角形.

22222222222

22.解:∵将△ADE沿DE所在直线折叠得到△BDE,∴△ADE≌△BDE,∴AD=BD,AE=BE,∠AED=∠BED=90°,∠ADE=∠BDE.又∵BD平分∠ABC,∠C=90°,∴CD=ED=2,易证Rt△BDC≌Rt△BDE,∴BC=BE,∠BDC=∠BDE,∴∠ADE=∠BDE=∠BDC=60°,∴∠CBD=30°,∴在Rt△BDC中,BD=2CD=4,则BC==2,∴AB=2BE=2BC=4.

23.解:原式可变形为(a-5)+(b-12)+(c-13)=0.因为平方具有非负性,所以可得a=5,b=12,c=13.又因为5+12=13,所以△ABC是一个直角三角形.

24.解:(1)Rt△AOB中,∠O=90°,α=60°,∴∠OAB=30°,又AB=4米,∴OB=AB=2米,由勾股定理得OA====2(米).

(2)设AC=2x米,则BD=3x米.在Rt△COD中,OC=(2-2x)米,OD=(2+3x)米,CD=4米.根据勾股定理得222222OC2+OD2=CD2,∴(2-2x)2+(2+3x)2=42,∴13x2+(12-8)x=0,∵x≠0,∴13x+12-8=0,∴x=,∴AC=米.即梯子顶端A沿NO下滑米.