习题训练ppt课件教学实录

1.会运用勾股定理解决简单问题.

2.会运用勾股定理的逆定理判定直角三角形.

3.通过具体的例子,了解逆命题、逆定理的概念,知道原命题成立其逆命题不一定成立.

通过整理与复习直角三角形的有关知识,形成直角三角形的性质与判定方法的知识体系.

能灵活运用分类讨论思想和数形结合思想,提高运用勾股定理及其逆定理解决问题的能力.

【重点】

运用勾股定理及其逆定理解决问题.

【难点】

会运用勾股定理的逆定理判定直角三角形.

专题一

用勾股定理计算线段的长

【专题分析】

用勾股定理计算线段的长这类问题,可以以选择题、填空题或解答题的形式出现,单独考查这一个知识点的情况较少,一般与其他知识点综合考查.

(2014·淮安中考)如图(1)所示,在边长为1个单位长度的小正方形组成的网格中,点A,B都是格点,则线段AB的长度为

(

)

A.5

B.6

C.7

D.25

〔解析〕

如图(2)所示,在Rt△ABC中,AC=4,BC=3,由勾股定理得AB===5.故选A.

[方法归纳]

在解决此类问题时,应善于挖掘图中的隐含条件,即将所求的边放进直角三角形中,并根据图示,求出直角三角形的两边长,最后就容易根据勾股定理来求第三边了.同时在用勾股定理运算时注意常用的勾股数,如:3,4,5;6,8,10;9,12,15;8,15,17;7,24,25;9,40,41等等.

【针对训练1】

如图(1)所示,在平面直角坐标系中,长方形OABC的顶点A,C的坐标分别为(10,0),(0,4),点D是OA的中点,点P在BC上运动,当△ODP是腰长为5的等腰三角形时,点P的坐标为

.

〔解析〕

由题意,当△ODP是腰长为5的等腰三角形时,有三种情况:(1)如图(2)所示,PD=OD=5,点P在点D的左侧.过点P作PE⊥x轴于点E,则PE=4.在Rt△PDE中,由勾股定理得DE===3,∴OE=OD-DE=5-3=2,此时点P坐标为(2,4).(2)如图(3)所示,OP=OD=5.过点P作PE⊥x轴于点E,则PE=4.在Rt△POE中,由勾股定理得OE===3,此时点P坐标为(3,4).(3)如图(4)所示,PD=OD=5,点P在点D的右侧.过点P作PE⊥x轴于点E,则PE=4.在Rt△PDE中,由勾股定理得DE===3,∴OE=OD+DE=5+3=8,此时点P坐标为(8,4).综上所述,点P的坐标为(2,4)或(3,4)或(8,4).故填(2,4)或(3,4)或(8,4).

[易错提示]

如果一个三角形是等腰三角形,在已知条件中没有说明哪条边为腰时,要注意分类讨论思想在几何图形中的应用,符合题意的等腰三角形有三种情形,注意不要遗漏.

专题二

应用勾股定理建立方程

【专题分析】

应用勾股定理建立方程多见于解决折叠类问题,大多以填空题或选择题的形式出现,有时也以解答题的形式出现,单独出现时分值在3分左右.

(2014·安徽中考)如图所示,Rt△ABC中,AB=9,BC=6,∠B=90°,将△ABC折叠,使A点与BC的中点D重合,折痕为MN,则线段BN的长为

(

)

A.

B.

C.4

D.5

〔解析〕

设BN=x,由折叠的性质可得DN=AN=9-x,∵D是BC的中点,∴BD=3,在Rt△BDN中,x+3=(9-x),解得x=4.故线段BN的长为4.故选C.

222

[方法归纳]

折叠类问题中一定存在相等的线段或角,要充分挖掘折叠中隐含的数量关系.利用勾股定理建立方程也是一种常用的方法.

【针对训练2】

(2014·青岛中考)如图所示,将长方形ABCD沿EF折叠,使顶点C恰好落在AB边的中点C'处,若AB=6,BC=9,则BF的长为

(

)

A.4

B.3

C.4.5

D.5

〔解析〕

∵折叠前后两个图形的对应线段相等,∴CF=C'F,设BF=x.∵BC=9,∴CF=9-x,∴C'F=9-x,又BC'=3,222222在Rt△C'BF中,根据勾股定理可得C'F=BF+C'B,即(9-x)=x+3,解得x=4,因此BF的长是4.故选A.

专题三

实际问题中应用勾股定理

【专题分析】

勾股定理应用广泛,题目形式不限,既可以有单独考查该知识点的题目出现,又可与其他知识点综合进行考查.

(2014·东营中考)如图(1)所示,有两棵树,一棵高12米,另一棵高7米,两树相距12米.一只鸟从一棵树的树梢飞到另一棵树的树梢,小鸟至少飞行

米.

〔解析〕

如图(2)所示,过点B作BC⊥AC于C,依题意有AC=5,BC=12,则AB==13(米).故填13.

[方法归纳]

勾股定理的实际应用时遇到求线段长度类问题,通常可以通过构造直角三角形,从而利用勾股定理求解.

【针对训练3】

(2014·湘潭中考)如图所示,修公路遇到一座山,于是要修一条隧道.为了加快施工进度,想在小山的另一侧同时施工.为了使山的另一侧的开挖点C在AB的延长线上,设想过C点作直线AB的垂线l,过点B作一直线(在山的旁边经过),与l相交于D点,经测量∠ABD=135°,BD=800米,求在直线l上距离D点多远的C处开挖?(≈1.414,精确到1米)

解:∵CD⊥AC,∴∠ACD=90°,

∵∠ABD=135°,∴∠DBC=45°,

∴∠D=45°,∴CB=CD,

22222在Rt△DCB中,CD+BC=BD,即2CD=800,

∴CD=400≈566(米).

答:在直线l上距离D点566米的C处开挖.

专题四

用勾股定理的逆定理判定一个三角形是不是直角三角形

【专题分析】

一般以选择题的形式考查,题目较为基础.有时给出含有a,b,c三个字母的等式,以解答题形式出现时难度较大一些,主要是学生对等式变形较难,或对问题考虑不全面.

(2014·滨州中考)下列长度的四组线段中,可以构成直角三角形的是

(

)

A.4,5,6

B.1.5,2,2.5

C.2,3,4

D.1,,3

〔解析〕

∵4=16,5=25,6=36,∴4+5≠6,∴长为4,5,6的线段不能构成直角三角222222形;∵1.5=2.25,2=4,2.5=6.25,∴1.5+2=2.5,∴长为1.5,2,2.5的线段能构成直角三角形.故选B.

222222

[方法归纳]

给出三条线段的长度,判定能否构成直角三角形的步骤:(1)分别计算三条线段长的平方;(2)看是否满足两线段长的平方和等于第三条线段长的平方;(3)做出判断.

222244

【针对训练4】

已知a,b,c为△ABC的三边,且满足ac-bc=a-b,试判定△ABC的形状.

222244

解:∵ac-bc=a-b,

442222

∴(a-b)-(ac-bc)=0,

2222222

∴(a+b)(a-b)-c(a-b)=0,

22222

∴(a+b-c)(a-b)=0.

222222

得a+b=c或a=b或a+b=c且a=b,

即△ABC为直角三角形或等腰三角形或等腰直角三角形.

专题五

勾股定理与勾股定理的逆定理的综合应用

【专题分析】

勾股定理与勾股定理的逆定理综合应用题目,难度较大.一般以解答题的形式出现,常常与其他知识点综合起来考查.

如图(1)所示,三块正方形形状的土地面积分别是74英亩、116英亩、370英亩,三个正方形恰好围着一个池塘.现要将这560英亩的土地拍卖,如果有人能计算出池塘的面积,则池塘不计入土地面积白白奉送,英国数学家巴尔教授曾经巧妙地解答了这个问题,你能解决吗?

〔解析〕

利用三个正方形的面积可得出相应三角形三边的平方,进而利用74=5+7,116=4+10,370=9+17,利用勾股定理的逆定理求出即可.

22

解:如图(2)所示,∵74=5+7,∴AB是两直角边长分别为5和7的直角三角形的斜边,作出这个直角三角形,得Rt△ABE.同理,作出Rt△BCF,其中BF=4,FC=10.延长AE,CF交于D,则AD=9,CD=17,

22222

而AC=370=9+17=AD+CD,

∴△ACD是直角三角形,∠ADC=90°.

∴S△ABC=S△ADC-S△AEB-S△BCF-S长方形EDFB

222222

=×17×9-×7×5-×10×4-4×7

=11(英亩).

即池塘的面积为11英亩.

[解题关键]

解决本题的关键是运用勾股定理和它的逆定理构造新图形.用构造法解题,有助于提高运用数学知识解决实际问题的能力.巴尔教授解决这个问题时首先发现三个正方形的面积74,116,370相当于池222222塘的三条边长的平方,因而联想到勾股定理,得74=5+7,116=4+10,370=9+17.于是作出图,运用勾股定理的逆定理,问题就得以解决.

【针对训练5】

已知△ABC中,AB=13 cm,BC=10 cm,BC边上的中线AD=12 cm,求证AB=AC.

证明:∵AD为中线,∴BD=DC=5 cm.

222在△ABD中,∵AD+BD=169,AB=169,

222∴AD+BD=AB,

∴∠ADB=90°,

222∴AC=AD+DC=169,∴AC=13 cm,

∴AB=AC.

专题六

用勾股定理计算最短路径

【专题分析】

此类题目常以选择题或填空题的形式出现,几何体多以正方体、长方体、圆柱体出现,题目的分值一般在3分左右.

cm.

如图所示,圆柱形玻璃杯高为12 cm,底面周长为18 cm,在杯内离杯底4 cm的点C处有一滴蜂蜜,此时一只蚂蚁正好在杯外壁,离杯上沿4 cm与蜂蜜相对的点A处,则蚂蚁到达蜂蜜的最短距离为

〔解析〕

将圆柱侧面展开,将A,C两点放在同一平面内,然后利用勾股定理进行计算.如图所示,将圆柱侧面展开(沿点A竖直剖开)后,侧面是一个长18 cm,宽12 cm的长方形,作A关于MN的对称点B,连接BC交MN于点P,过点C作AB的垂线交剖开线MA于点D.由对称性和三角形的三边关系知AP+PC为蚂蚁到达蜂蜜的最短距离,且AP=BP.由已知和长方形的性质,得DC=9,BD=12.在Rt△BCD中,由勾股定理得BC===15,∴AP+PC=BP+PC=BC=15,即蚂蚁到达蜂蜜的最短距离为15 cm.故填15.

[方法归纳]

在曲面上求两点之间的最短距离,根据“两点之间线段最短”和“化曲面为平面”两种思想,利用勾股定理解决.解决本题时要注意展开后有一直角边长为9 cm,而不是18 cm.

【针对训练6】

(2014·枣庄中考)如图(1)所示的正方体木块棱长为6 cm,沿其相邻三个面的对角线(图中虚线)剪掉一角,得到如图(2)所示的几何体,一只蚂蚁沿着图(2)的几何体表面从顶点A爬行到顶点B的最短距离为

cm.

〔解析〕

要求蚂蚁爬行的最短距离,需将图(2)的几何体表面展开,进而根据“两点之间线段最短”得出结果.部分展开图如图所示,△BCD是等腰直角三角形,△ACD是等边三角形,连接AB,交CD于E,则AB⊥CD.在Rt△BCD中,CD==6 cm,∴BE=CD=3 cm.在Rt△ACE中,AE==3 cm,∴从顶点A爬行到顶点B的最短距离为(3+3)cm.故填(3+3).

专题七

数形结合思想

【专题分析】

勾股定理是已知三角形是直角三角形(形),得到三角形三边的数量关系(数);勾股定理的逆定理是由三角形三边的数量关系(数),得到这个三角形是直角三角形(形).二者相互结合,能使抽象的数量关系直观化,有效地分析问题和解决问题.

如图所示,已知四边形ABCD中,∠B=90°,AB=3,BC=4,CD=12,AD=13.则四边形ABCD的面积是

.

〔解析〕

由题意联想勾股数,可连接AC,把四边形的问题转化为三角形的问题.连接AC,在Rt△ABC中,AC=AB+BC=3+4=25,∴AC=5.在△ACD中,∵AC+CD=5+12=169,AD=13=169,∴AC+CD=AD,∴∠22222222222222ACD=90°.∴S四边形ABCD=S△ABC+S△ACD=AB·BC+AC·CD=×3×4+×5×12=6+30=36.故填36.

[方法归纳]

勾股定理及其逆定理是沟通代数、几何知识的桥梁,在计算中往往会多次运用这两个定理.

【针对训练7】

有一直立标杆,它的上部被风吹折,杆顶着地,离杆脚20 cm,修好后又被风吹断,且新断处比前次低了5 cm,标杆顶着地处比前次远10 cm,求标杆的高.

解:如图所示,设第一次吹断后下段AB的长为x

cm,上段BC的长为y

cm,则第二次断后下段AD的长为(x-5)cm,上段DE的长为(y+5)cm.

依题意得

②-①得10(x+y)=500,

∴x+y=50,

故标杆的高为50 cm.

专题八

分类讨论思想

【专题分析】

在研究三角形的高时,应分直角三角形、锐角三角形和钝角三角形三种情况去考虑;在计算中遇到直角边和斜边不能确定的时候,要考虑分类讨论.常以解答题的形式出现,解决这些问题时,容易遗忘另外的情况,一定要根据题目分类讨论,讨论要全面,不能重复和遗漏.

已知Rt△ABC中,两边的长分别是3,5,求第三边的长.

〔解析〕

已知的两边可能是直角边,也可能一条是直角边而另一条是斜边,因此需要分类讨论.

解:当已知两条边是直角边时,由勾股定理得第三条边的长为=;

当已知两条边中有一条是直角边而另一条是斜边时,第三边长为=4.

∴第三边的长为或4.

[易错提示]

在利用勾股定理时不可盲目,需要明确哪条边是斜边,否则会遗漏情况,造成丢解的错误.

【针对训练8】

如图所示的是一块长、宽、高分别为6厘米、4厘米、3厘米的长方体木块.一只蚂蚁要从木块上的一定点A处,沿着长方体的表面到长方体上和A相对的顶点B处吃食物,那么它需要爬行的最短路径的长是

(

)

A.(3+2)厘米

B.厘米

C. 厘米

D.9厘米

〔解析〕

这个问题是个空间问题,应该把其平面化.所以将长方体展开是解决本题的关键.分三种情况:(1)如图(1)所示,可得AB=10+3=109.(2)如图(2)所示,可得AB=7+6=85.(3)如图(3)所示,可得AB=4+9=97.比较222222222可以发现沿图(2)的爬行路径路程最短,为厘米.故选C.

专题九

建模思想

【专题分析】

能运用勾股定理解决简单的实际问题,建立直角三角形的模型,将其转化为数学问题.勾股定理中的直角三222角形三边满足a+b=c(c为斜边长),这本身就是一个等量关系,所以在有关的计算中设未知数列方程是我们解决问题的一种方法.以解答题的形式出现较多,常常找到或构建直角三角形,根据勾股定理直接计算或建立方程计算.

如图所示,AB为一棵大树,在树上距地面10米的D处有两只猴子,它们同时发现C处有一筐苹果,一只猴子从D往上爬到树顶A又沿滑绳AC滑到C处,另一只猴子从D滑到B,再由B跑到C.已知两只猴子所经路程都是15米.试求大树AB的高度.

〔解析〕

由题意不妨设AD=x米,则AC=(15-x)米,又BD=10米,∴BC=15-10=5(米),Rt△ABC的三边满足勾股定理,因此可列方程解得AD,进而求AB的长.

解:设AD=x米,则AC=(15-x)米,

又BD=10米,∴BC=15-10=5(米),

222

在Rt△ABC中,根据勾股定理得AB+BC=AC,

222

∴(10+x)+5=(15-x),解得x=2.

∴大树AB的高度为10+2=12(米).

【针对训练9】

如图所示的是长为40 cm,宽为16 cm的长方形纸片,M点为一边上的中点,沿过M的直线翻折.若中点M所在边的一个顶点不能落在对边上,那么M点在

(填“长”或“宽”)上,若M点所在边的一个顶点能落在对边上,那么折痕长度为

cm.

〔解析〕

若中点M所在边的一个顶点不能落在对边上,通过折叠就可发现答案.过M作ME⊥AD于E,可得出四边形ABME为长方形,利用长方形的性质得到AE=BM,AB=EM.分两种情况考虑:(1)如图(1)所示,过M作ME⊥AD于E,G在AB上,B'落在AE上,可得四边形ABME为长方形,∴EM=AB=16,AE=BM,又∵BC=40,M为BC的中点,∴由折叠可得B'M=BM=MC=20.在Rt△EMB'中,根据勾股定理得B'E==12,∴AB'=AE-B'E=20-12=8.设AG=x,则GB'=GB=16-x.在Rt△AGB'中,根据勾股定理得GB'2=AG2+AB'2,即(16-x)2=x2+82,解得x=6,∴GB=16-6=10,在Rt△GBM中,根据勾股定理得GM==10(cm).(2)如图(2)所示,过M作ME⊥AD于E,G在AE上,B'落在ED上,可得四边形ABME为长方形,∴EM=AB=16,AE=BM,又BC=40,M为BC的中点,∴由折叠可得B'M=BM=MC=20.在Rt△EMB'中,根据勾股定理得B'E==12,∴AB'=AE+B'E=20+12=32.设AG=A'G=y,则GB'=AB'-AG=32-y,A'B'=AB=16.在Rt△A'B'G中,根据勾股定理得A'G+A'B'=GB',即y+16=(32-y),解得y=12,∴AG=12,∴GE=AE-AG=20-12=8,在Rt△GEM中,222222根据勾股定理得GM==8(cm).综上,折痕MG=10 cm或8 cm.

〔答案〕

宽

10或8