二次根式应用优质课教案

《二次根式》教案

【教学目标】

1.知识与技能

（1）理解二次根式的概念；

（2）理解二次根式中被开方数在实数范围内有意义的条件。

2.过程与方法

发展观察、归纳、概括等能力，发展有条理的思考能力以及语言表达能力。

3.情感态度和价值观

通过师生共同活动，促进学生在学习活动中培养良好的情感，合作交流，主动参与的意识，在独立思考的同时能够认同他人。

【教学重点】

从算术平方根的意义出发理解二次根式的概念。

【教学难点】

二次根式有意义的条件。

【教学方法】

自学与小组合作学习相结合的方法。

【课前准备】

教学课件。

【课时安排】

1课时

【教学过程】

一、复习导入

在之前的学习中，我们学***方根的知识，我们知道平方根有这样的性质：

正数a有

2个

平方根，它们互为

相反数

；0的平方根是

0

；负数

没有平方根

。

根据这样的性质，大家来快速回答一下下边的问题吧。

求下列各数的平方根：

（1）36；（2）

；（3）6.25；（4）−

【过渡】同学们的知识掌握都不错，那么今天，我们就来学***方根有一定关系的新知识，二次根式。

二、新课教学

1．二次根式

【过渡】从刚刚的问题中，我们得到了一个算术平方跟，现在，大家看课本思考的内容，并进行填空吧。

（1）面积为3 的正方形的边长为_______，面积为S 的正方形的边长为_______。

（2）一个长方形围栏，长是宽的2 倍，面积为130m2，则它的宽为______m。

（3）一个物体从高处自由落下，落到地面所用的时间

t（单位：s）与开始落下的高度h（单位：m）满足关系

h =5t2，如果用含有h 的式子表示

t ，则t= _____。

【过渡】从刚刚的结果中，我们可以总结出这几个结果分别有什么意义呢？又有什么共同的特点吗？结合之前学***方根的知识，大家谁能回答一下呢？

（学生讨论回答）

【过渡】结合之前的知识，我们知道，这几个式子都是表示一个非负数（包括字母或式子表示的非负数）的算术平方根。今天，我们就给这样的式子下一个定义：二次根式。

二次根式的定义：一般地，我们把形如

（a≥0）的式子叫做二次根式，“

”称为二次根号。

【过渡】从二次根式的定义上，我们可以知道二次根式的一些特点：

（1）表示a的算术平方根；

（2）a可以是数，也可以是式；

（3）形式上含有二次根号；

（4）a≥0，

≥0，双重非负性；

（5）既可表示开方运算，也可表示运算的结果。

【过渡】其中，我们需要注意的最重要的是二次根式的双重非负性，这也是我们判断一个式子是否为二次根式的重要依据。现在，我们就来练习一下吧。

练习：判断下列代数式中哪些是二次根式？

（1）

；（2）

- ；（3）

；（4）

-

；（5）

（学生快速回答，并说明理由）

【过渡】现在，请大家思考这样一个问题，

+1这样的式子属不属于二次根式呢？结合二次根式的定义，我们可以知道，它不属于二次根式，而是含有二次根式的代数式。

【过渡】根据我们刚刚所学的双重非负性性质，我们知道，被开方数必须大于0，因此，（2）不是二次根式，这也就说明了，在实数范围内，负数没有平方根。

根据这个性质，我们还可以求解字母的取值范围，下边，我们看一下课本例1的内容。

例题讲解，例1。

【过渡】例1是简单的根据a≥0进行求解范围，性质，我们来看一下思考内容，并思考二次根式有意义需要满足什么样的条件呢？

课本P2思考内容。

【过渡】从思考题中，我们可以看出，对于二次根式来说，有意义的条件即为被开方数不能为负数，具体的情况则需要具体分析。

【典题精讲】1、求下列a的取值范围。

（1）

；（2）

-

；（3）

-

解：（1）由a+1≥0，得

a≥-1；

（2）由1-2a＞0，得

a＜1/2 ；

（3）由

(a-1)2 ≥0，得a为任何实数. 2、| − |

-

+(c-4)2=0，则a-b+c=

3

。

【过渡】从这个例题中，我们能够清楚的看到，在解决求取值范围这一类的问题时，所依据的主要就是二次根式的被开方数不能为负数。

在被开方数为分式的形式时，我们需要牢记分母不能等于0。

【知识巩固】1、下列各式中不是二次根式的是（

B

）

A．

B．

-

C．

D．

-

。

2、当x是多少时，在实数范围内有意义。

-

解：依题意有x≥0且2x-1≠0，

解得x≥0且x≠。

故当x≥0且x≠

时，

在实数范围内有意义。

-

【拓展提升】1、已知y=

-

+

-

-2，求xy的值。

解：由题意得，3-x≥0且x-3≥0，

解得x≤3且x≥3，所以，x=3，

y=-2，所以xy=3-2=

。

2、已知a，b分别为等腰三角形的两条边长，且 • 满足b=4+

-

+3

-

，求此三角形的周长。

解：由题意得，3a-6≥0，2-a≥0，

解得，a≥2，a≤2，则a=2，

则b=4，

∵2+2=4，∴2、2、4不能组成三角形，

∴此三角形的周长为2+4+4=10。

【板书设计】

1、二次根式的定义：

一般地，我们把形如

（a≥0）的式子叫做二次根式，“

”称为二次根号

2、二次根式有意义的条件：

各个二次根式中的被开方数都必须是非负数；

如果所给式子中含有分母，则除了保证被开方数为非负数外，还必须保证分母不为零。

【教学反思】

整堂始终把学生摆在第一位，让他们主动去学习。真正把课堂交给学生，让他们变成学习的主体。层层的问题给学生提供自主探索的机会，让学生的学习过程成为一个再探索、再发现的过程。在这种学习活动中，学生的创新意识和主动探求知识的兴趣得到了培养，同时使所有学生都能在数学学习中获得发现的乐趣、成功的愉悦，树立了自信心，增强了克服困难的勇气和毅力。