二次根式的混合运算教学设计和教学实录

二次根式的混合运算

一、教材分析

1、内容解析：

在二次根式性质和乘除运算的基础上，本课进一步学习二次根式的混合运算，二次根式的运算方法与数的运算方法本质上是一致的，实数的运算律对二次根式的运算仍然适用。与整式合并同类项不同的是，二次根式的加减先化简，再合并“同类二次根式”。二次根式加减运算的基本依据是二次根式的性质和分配律。

2、地位和作用：

在知识的应用上它将为勾股定理、一元二次方程、二次函数等内容的学习做好准备；在初中阶段“数与式”中，使学生进一步体会运算律在数的扩充过程中的一致性；本节课对课标中提到的数感、符号意识、运算能力、推理能力等这些能力的培养有着重要的作用。

3、学习目标：

知识与技能：探索二次根式混合运算的步骤与方法；会进行二次根式的加减运算。

过程与方法：通过具体实例观察--思考--猜想--验证--归纳出运算的法则，体会从特殊到一般的总结过程。

情感态度与价值观：体会二次根式与整式的联系，感受“数与式”乃至整个代数学的整体性。

4、重、难点：

重点：应用分配律进行二次根式见见你运算。

难点：数感的逐渐形成和良好运算习惯的养成。

二、学情分析:

八年级学生在思维上有一定的迁移和类比的能力，也有一定的归纳能力。由于前面学习二次根式的乘除运算都是利用二次根式的性质，从具体数字的运算中发现规律进而归纳得出二次根式乘除法则。类比这种从特殊到一般的归纳方法和整式中合并同类项的方法，学生应不难得出加减法运算的法则。

但在学习过程中也会出现一些问题。比如：几个二次根式是否可以合并应先化简，这与整式的合并同类项不同，会造成学生学习困难；法则√a•√b=√ab可能在本内容学习中产生负迁移，出现√a+√b=√a+b,√a+√b=√ab的错误。克服第一个难点，可以引导学生总结运算规律，得出”一化简，二判断，三合并”的运算步骤，并在运用中加强算理的说明；克服第二的难点，一是加强计算过程中说算理，二是用具体数值带入检验。

在课标中，把本章学习对象限定了“根号下为数的二次根式”，但这是最低要求。由于学生存在个体差异，可以让那些学有余力的学生能够学到“根号下为字母的二次根式”，为高中学习做准备。

三、教学方法和学法指导：

教学方法：由于本节内容与以前所学的实数内容有较多联系，在思考问题的方法上与整式的内容又有很多相同之处。因此，教学中一定要从联系上多作文章，体会代数问题的贯通性。还有就是用启发式和“问题串”的方式让学生通过观察、思考、归纳得到知识。

学法指导：根据教材编写的特点，让学生通过观察、思考、讨论等，经历从特殊到一般的过程，归纳得出有关结论。所以本节课采用以下学法指导：合作探究、交流讨论、分析归纳。

四、教学流程：

1、创设情境，提出问题

问题：现有一块长7.5dm、宽5dm的木板，能否采用如图所示的方式，在这块木板上截出两个面积分别是8dm和18 dm 的正方形木板？

教师先引导学生分析出“长够、宽也够”的条件，并把条件表示为数学式子：√18+√8≤7.5，

√18≤5，√8≤3，从而，把问题转化为判断√18+√8≤7.5是否成立，这就要计算√18+√8. 再让学生思考怎样计算？学生可能会想到直接取近似值。教师可以引导学生分析其中存在的问题（例如，两次取近似值，影响精确度），并寻求解决问题的方法，即先化简再求近似值，从而提出本节课学习任务。

设计意图：用实际问题引入的目的是让学生体会二次根式加减运算的应用价值，体会学习加减运算的必要性。

2、合作探究，形成知识

对于如何化简√18+√8，教师可以先让同学类比合并同类项化简3√2+√2？在这过程中引导学生回忆合并同类项的方法，并说明算理（分配律）：3√2+√2=（3+1）√2=4√2 接着让学生观察这两个二次根式有什么共同特征？能得到像这样的二次根式加减的方法吗？学生通过分析得出共同特征是二次根式的被开方数相同。这样的二次根式的加减，与合并同类项类似，可以利用分配律对它们进行合并。

根据以上的运算过程让学生思考如何计算√18+√8？通过教师的引导学生得到“先化为最简二次根式，再合并”的运算步骤。即：√18+√8=3√2+2√2=（3+2）√2=5√2.得出数据后，让学生思考上面实际问题，全班交流。

设计意图：逐步引导学生研究二次根式合并的运算。

为了让学生更直观清晰的总结运算步骤，出示例题中√9a-√25a，学生独立完成计算，并说出计算依据。√9a-√25a=3√a-5√a=(3-5)√a=-2√a 由此总结，步骤：一化简，二判断，三合并

依据：二次根式的性质和分配律

设计意图：将具体数字的运算推广到含有字母的一般二次根式加减运算。在探究的过程中，关注特殊化与一般化及转化思想的渗透，同时强化算理教学。

3、初步应用，巩固知识

例1、计算（1）√80-√45

（2）2√12-6√1/3+3√48

（3)(√12+√20)+(√3-√5) 设计意图：加强运算步骤和算理教学，掌握二次根式加减运算的步骤、方法和依据。

4、当堂练习，深化提高

练习1、下列计算正确吗？为什么？

（1）√8-√3=√8-3

（2）√4+√9=√4+9

（3）√9×√16=√9×6

（4)√75-√3=4√3 设计意图：引导学生辨析计算中的常见错误。

练习2、教科书13页练习2、3题。

练习3、化简：

x√x+√x2+√4x3 设计意图：巩固二次根式混合运算步骤。

5、小结

二次根式混合运算的步骤是什么？每一步的依据是什么？在运算中，那些地方易出错？怎么避免？

设计意图：优化知识结构，实现记忆的结构化、简约化。

6、布置作业

教材习题16.3第1、2、3题