6.圆的面积公式及简单应用教案教学设计

《圆的面积》教学预案

南通市经济技术开发区实验小学

周明新

教学内容：苏教版课程标准实验教科书五年级（下册）第103～105页。

教学目标：

1．让学生经历猜想、操作、验证、讨论和归纳等数学活动的过程，探索并掌握圆的面积公式，能正确计算圆的面积，并能应用公式解决简单的相关问题。

2．借助信息技术让学生经历圆的面积公式的推导过程，进一步体会“转化”的数学思想，增强空间观念，发展数学思考。

3．感悟数学知识内在联系的逻辑之美，体验发现新知识的快乐，增强学生的合作交流意识和能力，提高学生学习数学的兴趣，培养学生信息技能和素养。

教学重点：正确掌握圆面积的计算公式。

教学难点：圆面积计算公式的推导过程。

教学准备：

教具：多媒体课件，圆片若干。

学具：计算器；圆片、剪刀；文具盒；学习纸。

教学过程：

课前谈话

师：（课件：停止界面音乐，进入空白页面）唐老师在给自己的学生上课时，经常会在课前来一段热身，讲个小故事。我们班同学说这是“小故事，大道理”，今天咱们也来试一试。（课件：曹冲称象画面）《曹冲称象》的故事，你们都知道吧？

生：知道。

师：石头的重量和大象的重量有什么关系呢？

生：石头的重量和大象的重量相等。

师：你说的这点很关键，这样称出石头的重量也就是大象的重量。那曹冲为什么不直接称大象呢？

生：因为大象太重，不能直接称出大象的重量。

师：所以曹冲就把大象的重量转化成石头的重量。（板书：转化）小小的故事讲完了，同学们，准备好上课了吗？（课件：空白页）

一、回忆旧知，揭示课题。

1．师：（课件：出示圆）前些日子我们已经认识了圆，还研究了圆的周长（指一指周长），关于圆，你还想研究什么呢？

2．师：（板书：圆的面积）哦，圆的大小就是圆的面积。

二、

探究圆面积与半径的关系。

（一）猜想

1．师：（课件：出示涂色）有的圆面积大一些，有的圆面积小一些，你认为圆的

面积与什么有关？

2．师：圆的面积与半径到底有什么样的关系呢？为了便于研究，老师请来了我们熟悉的正方形。（课件：正方形）

3．师：我们以正方形的一个顶点为圆心，以正方形的一条边为半径画一个圆。（课件：闪烁、声音，画黄色填充圆）同学们，大胆的猜一猜，圆面积大约是正方形面积的几倍？

生：不到4倍。

师：你是怎么想的？

师：你说的是这个意思吗？（课件：正方形内接圆）从这幅图中我们可以看出，圆的面积比正方形面积的4倍少。（板书：4倍少一些）这位同学不仅会猜测，而且能讲出其中的道理，了不起！还有不同的猜测吗？

生：比3倍多。

师：好的！（板书：3倍多一些）同学们对圆面积的范围做了估计，我们的估计准确吗？

（二）数方格

1．师：我们通过数方格的方法来作一个初步的验证。（课件：圆整个覆盖方格纸，标1cm）

师：这里的每一个小格表示1平方厘米，（课件：变色显示8个接近整格的格子）像这些非常非常接近一格的，我们就把它们看成一格，其余不满一格的就看做半格。

师：哇，这么多格子呀！都要数出来吗？有没有简单点的办法？

生：可以先数四分之一圆的方格数。

师：怎么样？金点子！（课件：变色显示四分之一圆被方格盖住）

2．师：那我们就来数一数。先数？（课件：标1—10）还有几个半格？

那这四分之一圆的面积是多少格？也就是12.5平方厘米！（课件：1/4圆的面积≈12.5平方厘米）同学们，能算出整个圆的面积吗？多少？一起说！（课件：圆的面积≈50平方厘米）

正方形的面积是多少？（课件：正方形的面积=16平方厘米）这里正方形的边长就是圆的？所以，正方形的面积也就是？（板书：r2（r×r））

接下来你能算出圆的面积是正方形面积的多少倍吗？怎么算？

拿出计算器算一算，结果保留一位小数。大约是？（课件：算式）下面让我们把刚才的研究成果填写在下表中。（课件：表格，倍数红色）

3．师：同学们，你会按这样的方法数出下面两个圆的面积吗？（课件：两个圆）拿出你们的作业纸，先数一数，再把你们的研究填在表格中。（8分钟）

生操作，师巡视。（10分钟）

看来同学们都数好了。第一个半径3厘米的圆，谁来说说？（课件：填表，

倍数红色）结论一样吗？半径5厘米的圆谁来说？（课件：表格，倍数红色）都一样的吗同学们？

4．师：仔细观察这样的表格，看看你有什么发现？

生：边长等于半径。

生：都是3倍多一点。

师：是呀！这些圆的半径虽然不一样，但我们发现，圆的面积都是与它对应正方形面积的3倍多一点。看来，这个猜测准确一点。（板书：3倍多下划线）

但是这3倍多一些到底又多多少呢？（板书：？倍）有的同学研究的结果是3.1，有的同学研究的结果是3.3。看来要想得到更精确的结果，我们要换一换思路了！

三、探究面积计算公式。

（一）第一次剪，明确思路，体会转化。

1．师：以前我们研究一个新图形的面积时，用到过什么好的方法？

生1：可以把新图形转化成已学过的图形，比如平行四边形可以通过剪拼转化成长方形求出面积。（课件：演示推导过程）

生2：两个完全一样的三角形通过旋转、平移拼成平行四边形，三角形的面积是平行四边面积的一半。（课件：演示推导过程）

师：用同样的办法，还可以推导出梯形的面积。

你有没有发现这些方法都有一个共同点？

生：都是将没有学过的图形转化成了已学过的图形。

2．师：那圆是不是也能转化成学过的图形呢？怎么转化呢？

生：剪一剪。

师：嗯，沿着什么剪？

生：沿着半径或直径剪。

师：那我们试试看，好吗？

师：老师先将圆，平均分成两份。（课件剪）现在你能把它拼成什么学过的平面图形吗？

师：那怎么办？

3．师：好的！（课件剪）现在我们一起来试一试。（课件拼）第2个怎么放呢？

师：这个图形好像有点意思。像什么？

生：平行四边形；像平行四边形；接近于平行四边形。

师：我发现我班的同学说话一个比一个准确，真了不起！像平行四边形吗？它就是平行四边形吗？

生：不是。

师：不是平行四边形，但是已经有点轮廓了。看来这思路不错！怎么样才能更像平行四边形呢？

生：再剪。

师：怎么剪？（平均分成8份）

4．师：一起来看！（课件出示）和刚才第一幅图相比有什么变化呢？

生：更像一个平行四边形。

（二）第二次剪，明确方法，体验极限。

1．师：

刚才我们将圆片分别剪成4等份、8等份再拼成新的图形是想干什么呀？

生：想把圆形转化成平行四边形。

师：那还能更像吗？比它们还像。

生：可以继续分剪成16等份。

师：大家想不想照着这种方法试一试？好，拿出课前已经剪成16等份的圆，大家试着去拼一拼。（20分钟）

生操作，师巡视。（22分钟）

2．师：看来同学们都拼好了，我们来看一看。（课件出示）

师：和前两次拼成的图形比，又有什么变化？

生：更像平行四边形了。

师：从哪儿可以看的出来更接近平行四边形了？

生：边更直了。

师：化曲为直！那是什么方法使得边越来越直了？

生：分的份数越来越多。

师：如果还要更接近呢？怎么办？

生：可以继续分下去，分成32份。

师：再接近呢？

生：把圆平均分成64份，128份……

师：现在如果老师就让同学们拿出一个圆剪成128份，再拼一拼，有什么感觉？

3．师：很麻烦，是吗？没关系！我们有电脑，我们有白板，我们有信息技术，（课件：先32等分然后变成长方形）请看屏幕。

师：如果平均分成32份，拼成的图形有什么新的发现? 生3：有点像平行四边形又有点像长方形。

师：你很会思考。有了新的感觉是不是？如果平均分成64份呢？（课件：先64等分然后变化）

生3：更接近长方形。

师：如果平均分成128份，那拼成的图形会怎么样呢？（课件：先128份，停顿，然后变化）

我们将圆片平均分成的份数越来越多，所拼成的图形也就越来越？

生：越来越接近长方形。

4．师：如果平均分的份数足够多，那么拼成的图形？（课件：128份圆、箭头、长方形）我们把圆转化成了长方形，形状是变了，什么没有变？求圆的面积转化成求？换句话说，咱们求出了长方形的面积也就求出了什么？

（三）第三次探究，深化思维，推导公式。

1．师：现在请同学们仔细观察这转化后的长方形，和原来的圆有什么联系？小组里互相说一说。（27分钟学生开始回答）

生1：面积相等。

生2：长方形的宽等于圆的半径。（课件：声音，闪烁）

生3：长等于圆周长的一半。（课件：声音，闪烁）

师：那长方形的长和圆有什么关系？（如果学生说不出来，就在课件上标出C/2、πr）

师：真是一群善于观察的好孩子！谁能把这些联系完整的说一遍。

师：说的怎么样？我觉得此处应该有掌声！

师：长方形的宽就是圆的半径，用字母r表示，那长怎么表示呢？你是怎么想的？（课件：声音；出示r、πr）

2．师：长方形的长和宽都有了，你能求出长方形的面积吗？

师：（课件：推导公式）我们以前计算长方形的面积是用？现在长就是？宽就是？所以就用πr去乘r。也就是πr2？这里长方形的面积也就是今天研究的？这说明圆的面积就是πr2。如果我们用s表示圆的面积，（板书：公式）大声告诉我，s等于？这里的π是？r是？同学们，回过头来看一看。现在你知道圆的面积到底是他半径平方的多少倍？真理终于浮出了水面。（板书：π）原来圆的面积就是他半径平方的π倍。

3．师：刚才通过我们的共同研究，终于推导出了圆的面积计算公式，更重要的是，同学们学会了把圆这个新图形转化成了一个？大家以后遇到新问题的时候，都可以用转化这种方法尝试一下。（指一指板书）

（四）课堂小结。

1．师：接下来让我们一起来回顾一下刚才的研究过程。

我们先通过猜一猜，发现圆的面积是它半径平方的4倍少一些，3倍多一些。（课件：猜一猜）

接着我们通过数一数，知道了圆的面积是半径平方的3倍多一点。（课件：数一数）

然后我们又通过剪一剪、拼一拼，将圆形转化成了长方形。（课件：拼一拼）

最后我们又通过算一算，成功的推导出了圆的面积计算公式s=πr2。（课件：算一算）

2．师：同学们，你说现在要求圆的面积只要知道什么条件？

如果一个圆的半径是3厘米，你能算出它的面积是多少？怎么求？一起说。

这种含有平方的计算，我们还是第一次遇到，是不是？知道先算什么吗？

四、解决问题。

1．师：在我们的生活中有许多数学问题与圆的面积有关，瞧！（课件：例9练习）

仔细读题，你能获得哪些信息？

想像一下这个喷水龙头所喷出的水会形成一个什么图形？圆心在哪里？半径是多少？你能求出它面积吗？算一算。

2．师：知道圆的半径可以求出圆的面积，那么，知道直径和周长能不能求出圆的面积呢？在今后的学习中，老师还会与同学们作进一步的研究。

五、拓展延伸。

1．师：刚刚我们学习的这一过程，我国古代数学家早就进行过深入的研究，（课件：卷轴）

2．师：数学家的这些思想、方法和执着的探索精神，让我们深受启发！那圆还能不能转化成其他图形推导出面积公式呢？有兴趣的同学可以课后去剪一剪，拼一拼，想一想，算一算，相信你一定有更大的收获！

这节课就上到这儿，好吗？下课！

【资料链接】在半径为R的圆中，当内接正多边形的边数不断地成倍增加时，正多边形的面积就越来越接近于圆的面积。

如左图，AB是圆O的内接正n边形的一边，OD垂直于AB（它的长度用r表示）。所以△AOB的面积等于(1/2) AB·r。正n边形的面积等于△AOB面积的n倍，因此，正n边形的面积= (1/2) AB·r

·n= (1/2) (AB·n)

·r。因为正n边形的周长p=AB·n，所以正n边形的面积=(1/2)p·r。

当正n边形的边数不断地成倍增加时；正n边形的面积n越来越接近于圆的面积；同时，正n边形的周长p也越来越接近于圆的周长2πR；r也越来越接近于圆的半径R。因此，圆的面积S=(1/2)pR=(1/2)×2πR×R=πR2。