复习参考题公开课教案

平面向量的综合运用---最值问题

一、教学目标：

知识与技能：

1．通过向量的几何意义，归纳总结出用向量方法解决平面几何问题的“三步曲”．

2．明了平面向理中的有关性质，如平移、全等、相似、长度、夹角等可以由向量的线性运算及数量积表示．

过程与方法：

通过本节学习，让学生深刻理解向量在处理有关最值问题中的优越性，活跃学生的思维，发展学生的创新意识，激发学生的学习积极性，并体会向量在几何和现实生活中的意义．教学中要求尽量引导学生使用信息技术这个现代化手段．

情感、态度与价值观

通过学习体会类比的数学思想和方法，进一步培养学生抽象概括、推理论证的能力．进行辩证唯物主义思想教育、数学审美教育，提高学生学习数学的积极性．

二．重点难点 重点：用向量方法解决实际问题的基本方法；向量法解决几何问题的“三步曲”．

难点：如何将向量问题化归为向最值问题．

三、教材与学情分析

1．本节的目的是让学生加深对向量的认识，更好地体会向量这个工具的优越性．对于向量方法，就思路而言，几何中的向量方法完全与几何中的代数方法一致，不同的只是用“向量和向量运算”来代替“数和数的运算”．这就是把点、线、面等几何要素直接归结为向量，对这些向量借助于它们之间的运算进行讨论，然后把这些计算结果翻译成关于点、线、面的相应结果．代数方法的流程图可以简单地表述为：

则向量方法的流程图可以简单地表述为：

这就是本节给出的用向量方法解决几何问题的“三步曲”，也是本节的重点．

2．研究几何可以采取不同的方法，这些方法包括：

综合方法——不使用其他工具，对几何元素及其关系直接进行讨论；

解析方法——以数(代数式)和数(代数式)的运算为工具，对几何元素及其关系进行讨论；

向量方法——以向量和向量的运算为工具，对几何元素及其关系进行讨论；

分析方法——以微积分为工具，对几何元素及其关系进行讨论，等等．

前三种方法都是中学数学中出现的内容．有些平面几何问题，利用向量方法求解比较容易．使用向量方法要点在于用向量表示线段或点，根据点与线之间的关系，建立向量等式，再根据向量的线性相关与无关的性质，得出向量的系数应满足的方程组，求出方程组的解，从而解决问题．使用向量方法时，要注意向量起点的选取，选取得当可使计算过程大大简化．

四、教学方法

问题引导，主动探究，启发式教学．

五、教学过程

（一）创设问题情境，引出新课（提出问题）

思路1.(直接导入)向量的概念和运算都有着明确的物理背景和几何背景，当向量和平面坐标系结合后，向量的运算就完全可以转化为代数运算．这就为我们解决物理问题和几何研究带来了极大的方便．本节专门研究平面几何中的向量方法．

思路2.(情境导入)由于向量的线性运算和数量积运算具有鲜明的几何背景，平面几何图形的许多性质，如平移、全等、相似、长度、夹角等都可以由向量的线性运算及数量积表示出来，因此，可用向量方法解决平面几何中的一些问题．下面通过几个具体实例，说明向量方法在平面几何中的运用．

1.已知向量a＝(cos θ

，sin θ)，b＝(1，2.已知直角三角形ABC中，B的取值范围．

练习:

在ABC中，AD二

问题探究

AB,BC3

)，求|a-b|的最小值

在线段AC上运动(含端点)，求ADDB900,AB若点D2,BC1，3BD,|AD|1,则ACAD=________．

①平行四边形是表示向量加法和减法的几何模型，你能观察、发现并猜想出平行四边形对角线的长度与两邻边长度之间有什么关系吗？

②你能利用所学知识证明你的猜想吗？能利用所学的向量方法证明吗？试一试可用哪些方法？

③你能总结一下利用平面向量解决平面几何问题的基本思路吗？

活动：应用1:向量a,b是平面内互相垂直的单位向量，若c向量满足（a-c).(b-c)=0,求|c|的最小值

三

问题拓展

四

问题深化

已知A(-1,0),C(3,0),动点D满足|CD|=1,请尝试设计一个向量最值问题,并选择相应的方法加以解决

五

问题反思

1．由学生归纳总结本节学习的数学知识有哪些：平行四边形向量加、减法的几何模型，用向量方法解决平面几何问题的步骤，即“三步曲”．特别是这“三步曲”，要提醒学生理解领悟它的实质，达到熟练掌握的程度．

2．本节都学习了哪些数学方法：向量法，向量法与几何法、解析法的比较，将平面几何问题转化为向量问题的化归的思想方法，深切体会向量的工具性这一特点．

六

备选题

七、教学反思

1．本节是对研究平面几何方法的探究与归纳，设计的指导思想是：充分使用多媒体这个现代化手段，引导学生展开观察、归纳、猜想、论证等一系列思维活动．本节知识方法容量较大，思维含量较高，教师要把握好火候，恰时恰点地激发学生的智慧火花．

2．由于本节知识方法在高考大题中得以直接的体现，特别是与其他知识的综合更是高考的热点问题．因此在实际授课时注意引导学生关注向量知识、向量方法与本书的三角、后续内容的解析几何等知识的交汇，提高学生综合解决问题的能力．

3．平面向量的运算包括向量的代数运算与几何运算．相比较而言，学生对向量的代数运算要容易接受一些，但对向量的几何运算往往感到比较困难，无从下手．向量的几何运算主要包括向量加减法的几何运算，向量平行与垂直的充要条件及定比分点的向量式等，它们在处理平面几何的有关问题时，往往有其独到之处，教师可让学有余力的学生课下继续探讨，以提高学生的思维发散能力．