2.3.2 平面向量的正交分解及坐标表示教学实录与评析

2.3.2 平面向量的正交分解及坐标表示 2.3.3 平面向量的坐标运算

【学习目标】

1.了解平面向量的正交分解，掌握向量的坐标表示；掌握两个向量和、差及数乘向量的坐标运算法则。 【知识点一】

平面向量的坐标表示

(1)向量的正交分解： 。

(2)向量的坐标表示：在平面直角坐标系中，分别取与x轴、y轴方向相同的两个单位向量i，j作为基底，对于平面内的一个向量a，有且只有一对实数x，y使得a＝xi＋yj，则有序数对(x，y)叫做向量a的坐标，a＝(x，y)叫做向量的坐标表示．

【知识点二】

平面向量的坐标运算

(1)若a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，则a＋b＝(x1＋x2，y1＋y2)， (2)若a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，则a－b＝(x1－x2，y1－y2)。 (3)若a＝(x，y)，λ∈R，则λa＝(λx，λy)， (4)已知向量→AB的起点A(x1，y1)，终点B(x2，y2)，则→AB＝(x2－x1，y2－y1)．

【题型分析】

题型一

平面向量的坐标表示

例1 已知边长为2的正三角形ABC，顶点A在坐标原点，AB在x轴上，C在第一象限，D为AC的中点，分别求→AB，→AC，→BC，→BD的坐标．

题型二

平面向量的坐标运算

例2 已知平面上三点A(2，－4)，B(0,6)，C(－8,10)，求(1)→AB－→AC；(2)→AB＋12→BC；(3)→BC－→AC. 2

题型三

平面向量坐标运算的应用

例3 已知点A(2,3)，B(5,4)，C(7,10)．若→AP＝→AB＋λ→AC(λ∈R)，试求λ为何值时，(1)点P在一、三象限角平分线上；(2)点P在第三象限内．

【课堂巩固】

1、在例1的基础上，若E为AB的中点，G为三角形的重心时，如何求向量→CE，→AG，→BG，→GD的坐标？

2、已知a＝(－1,2)，b＝(2,1)，求：

11(1)2a＋3b；(2)a－3b；(3)a－b. 23

3、已知平行四边形的三个顶点的坐标分别为(3,7)，(4,6)，(1，－2)，求第四个顶点的坐标．

【课堂小结】[来源:学科网ZXXK]

向量和、差的坐标就是它们对应向量坐标的和、差，数乘向量的坐标等于这个实数与原来向量坐标的积．

【课堂追踪】

1、设平面向量a＝(3,5)，b＝(－2,1)，则a－2b等于(

) A．(7,3) B．(7,7) C．(1,7) D．(1,3) 12、已知向量→OA＝(3，－2)，→OB＝(－5，－1)，则向量→AB的坐标是(

) 211A.－4， B.4，－ C．(－8,1) D．(8,1) 223、已知四边形ABCD的三个顶点A(0,2)，B(－1，－2)，C(3,1)，且→BC＝2→AD，则顶点D的坐标为(

) 71A.2， B.2，－ C．(3,2) D．(1,3)

2214、已知a－b＝(1,2)，a＋b＝(4，－10)，则a等于(

) 2A．(－2，－2) C．(－2,2) B．(2,2) D．(2，－2) [来源:学科网ZXXK]5、已知点A(1,3)，B(4，－1)，则与向量→AB同方向的单位向量为________．

6、已知向量a＝(2，－3)，b＝(1,2)，p＝(9,4)，若p＝ma＋nb，则m＋n＝________. 1→→1→→7、已知点A(－1,2)，B(2,8)及AC＝AB，DA＝－BA，求点C、D和→CD的坐标．

33

8、已知点A(3，－4)与B(－1,2)，点P在直线AB上，且|→AP|＝2|→PB|，求点P的坐标．

导学案21 【2.3.2平面向量的正交分解及坐标表示 2.3.3平面向量的坐标运算】

参考答案

【题型分析】参考答案

例1：解

如图，正三角形ABC的边长为2，则顶点A(0,0)，B(2,0)，C(2cos 60°，2sin 60°)，

13∴C(1，3)，D(，)，∴→AB＝(2,0)，→AC＝(1，3)，

221333→BC＝(1－2，3－0)＝(－1，3)，→BD＝(－2，－0)＝(－，)．

2222反思与感悟

1.向量的坐标等于终点的坐标减去起点的相应坐标，只有当向量的起点在坐标原点时，向量的坐标才等于终点的坐标．

2．求向量的坐标一般转化为求点的坐标，解题时常常结合几何图形，利用三角函数的定义和性质进行计算．

例2：解

∵A(2，－4)，B(0,6)，C(－8,10)．[来源:Zxxk.Com]

∴→AB＝(0,6)－(2，－4)＝(－2,10)，

→AC＝(－8,10)－(2，－4)＝(－10,14)，

→BC＝(－8,10)－(0,6)＝(－8,4)．

∴(1)→AB－→AC＝(－2,10)－(－10,14)＝(8，－4)．

(2)→AB＋2→BC＝(－2,10)＋2(－8,4)＝(－18,18)．

11(3)→BC－→AC＝(－8,4)－(－10,14)＝(－3，－3)．

22反思与感悟

(1)已知两点求向量的坐标时，一定要注意是终点坐标减去起点坐标；(2)向量的坐标运算最终转化为实数的运算．

例3：解

设点P的坐标为(x，y)，

则→AP＝(x，y)－(2,3)＝(x－2，y－3)，

→AB＋λ→AC＝(5,4)－(2,3)＋λ[(7,10)－(2,3)] ＝(3,1)＋λ(5,7)＝(3＋5λ，1＋7λ)．

∵→AP＝→AB＋λ→AC，

x－2＝3＋5λ，∴y－3＝1＋7λ，

x＝5＋5λ，则y＝4＋7λ.

1(1)若P在一、三象限角平分线上，则5＋5λ＝4＋7λ，∴λ＝. 25＋5λ<0，(2)若P在第三象限内，则4＋7λ<0，

∴λ<－1. 1∴λ＝时，点P在第一、第三象限角平分线上；λ<－1时，点P在第三象限内．

2反思与感悟

1.待定系数法是最基本的数学方法之一，实质是先将未知量设出来，建立方程(组)求出未知数的值，是待定系数法的基本形式，也是方程思想的一种基本应用．

2．坐标形式下向量相等的条件：相等向量的对应坐标相等；对应坐标相等的向量是相等向量．由此可建立相等关系求某些参数的值．

【课堂巩固】参考答案

1、解

由于B(2,0)，E(1,0)，C(1，3)，D(，1233)，G(1，)，

23所以→CE＝(1－1,0－3)＝(0，－3)，

3→AG＝(1，)，

333→BG＝(1－2，－0)＝(－1，)，

3313313→GD＝(－1，－)＝(－，)．

223262、解

(1)2a＋3b＝2(－1,2)＋3(2,1) ＝(－2,4)＋(6,3)＝(4,7)．

(2)a－3b＝(－1,2)－3(2,1) ＝(－1,2)－(6,3)＝(－7，－1)．

1111(3)a－b＝(－1,2)－(2,1) 232312172＝－，1－，＝－，.23363[来源:学科网]

3、解

不妨设A(3,7)，B(4,6)，C(1，－2)．第四个顶点为D(x，y)．

则A、B、C、D四点构成平行四边形有以下三种情形．

(1)当平行四边形为ABCD时，→AB＝→DC，

设点D的坐标为(x，y)，

∴(4,6)－(3,7)＝(1，－2)－(x，y)，

1－x＝1，∴－2－y＝－1，∴D(0，－1)；

(2)当平行四边形为ABDC时，仿(1)可得D(2，－3)；

(3)当平行四边形为ADBC时，仿(1)可得D(6,15)．

综上所述，第四个顶点的坐标可能为(0，－1)，(2，－3)或(6,15)．

【课堂追踪】参考答案

1、答案

A 2、答案

A

x＝0，

∴y＝－1.

11解析

∵→AB＝→OB－→OA＝(－8,1)，∴→AB＝－4，. 223、答案

A 解析

设D点坐标为(x，y)，则→BC＝(4,3)，→AD＝(x，y－2)，

4＝2x，→→由BC＝2AD得y－3＝4、答案

D ，

x＝2∴7y＝2

7，∴D(2，)．

2435、答案

，－

55解析

∵→AB＝→OB－→OA＝(4，－1)－(1,3)＝(3，－4)，

∴与→AB同方向的单位向量为6、答案

7 43＝，－. 55|→AB|A→B2m＋n＝9解析

由－3m＋2n＝4

m＝2，解得n＝5

7、解

设点C(x1，y1)，D(x2，y2)，

由题意可得→AC＝(x1＋1，y1－2)，→AB＝(3,6)，

→DA＝(－1－x2,2－y2)，→BA＝(－3，－6)．

11∵→AC＝→AB，→DA＝－→BA，

331∴(x1＋1，y1－2)＝(3,6)＝(1,2)．

3

1∴(－1－x2,2－y2)＝－(－3，－6)＝(1,2)，

3x1＋1＝1，则有y1－2＝2x1＝0，解得y1＝4

－1－x2＝1，和2－y2＝2，

x2＝－2，和y2＝0.

∴C，D的坐标分别为(0,4)和(－2,0)，∴→CD＝(－2，－4)．[来源:学科网ZXXK]8、解

设P点坐标为(x，y)，|AP→|＝2|PB→|. 当P在线段AB上时，→AP＝2→PB. ∴(x－3，y＋4)＝2(－1－x,2－y)，

∴x－3＝－2－2x，x＝1y＋4＝4－2y，

解得3，y＝0.

∴P点坐标为(13，0)．

当P在线段AB延长线上时，→AP＝－2→PB. ∴(x－3，y＋4)＝－2(－1－x,2－y)，

∴x－3＝2＋2x，y＋4＝－4＋2y，

解得x＝－5，y＝8.

综上所述，点P的坐标为(13，0)或(－5,8)．