复习参考题教学设计及教案分析

正、余弦定理及解三角形——三角形中的三角函数

成都八中数学组 贺久林

教学目标：1.掌握正、余弦定理，并能解决一些简单的三角函数度量问题

2．能够运用正、余弦定理等知识和方法解决一些与测量,几何计算相关的实际问题

教学重点：利用正、余弦定理解三角形

教学难点：利用正、余弦定理解决实际问题

教学过程：

一．知识梳理

（1）

△ABC中，ABC__________；C_____________；

sinC_______________；cosC______________ （2）△ABC中，两边之和大于第三边，两边之差小于第三边，即____________；_____________ （3）△ABC中，大边对大角，即AB________________ （4）（正弦定理）△ABC中，abc2R（R是△ABC的外接圆半径）

sinAsinBsinC1a2RsinA,b2RsinB，c_________；a:b:c_____________________ 变形式：○ sinAab;sinB;sinc__________________

2R2R112△ABC的面积SabsinCbcsinA__________________ ○22abc1==(abc)r(R是△ABC的外接圆半径；r是△ABC的内切圆半径) 4R2222222（5）（余弦定理）abc2bccosA；bac2accosB；

c2 ________________ b2c2a2a2c2b21cosA变形式：○；cosB；cosC____________________ 2bc2ac2abcC是直角；abcC是___角；○

abcC是_____角; 222222222A,B是锐角△ABC是锐角三角形；

AB23（射影定理）△ABC的三边是a,b,c，它们所对的角分别是○cosCc·cosB, A,B,C，则有 ab·bc·cosAa·cosC, ca·cosBb·cosA

（6）实际生活中的常用角

1仰角与俯角：○在同一铅垂平面内的水平视线与目标视线的夹角，目标视线在水平视线的上方叫仰角，目标视线在水平视线的下方的叫俯角；

2方位角：从正北方向起按顺时针方向旋转到目标方向线之间的水平夹角叫方位角；

○3方向角：正北或者正南方向线与目标方向线所成的锐角；

○4坡度：坡面与水平面所成的二面角的正切值。

○

二．尝试训练

判断正误：（1）在三角形中，三边之比等于相应的三内角之比。 （ ）

（2）在三角形中，ABsinAsinB。 （ ）

oscosAnsiBnsiAB,则此三角形是钝角三角形。（3）在△ABC中，若c（ ）

三．深化分析

考点一、利用正、余弦定理解三角形

例1. 在△ABC中，角A,B,C的对边分别是a,b,c，则：

（1）

若a23,b6,A4，则角C=______________________ （2）

若(abc)(abc)ac，则角C=______________________

小结：_________________________________________________________________

跟踪训练1.（2015.江西卷）设△ABC的内角A,B,C的对边分别是a,b,c，若c2(ab)26,C

3，则△ABC的面积是____________________

考点二、利用正、余弦定理判断三角形的形状

例2、在△ABC中，内角A,B,C的对边分别是a,b,c，且2c2a2bab，则△ABC是（ ）

A.钝角三角形 B.直角三角形 C.锐角三角形 D.等边三角形

小结：________________________________________________________________

跟踪训练2.在△ABC，内角A,B,C的对边分别是a,b,c，若222ccosA，则△ABC是（ ）

bA.钝角三角形 B.直角三角形 C.锐角三角形 D.等边三角形

考点三、正余弦定理在实际生活中的应用

例3.（2015.湖北卷）如图，一辆汽车在一条水平公路上向正西行驶，到A处时测得公路北侧一山顶D在西偏北30°方向上，行驶600米后到达B处，测得此山顶在西偏北75°方向，仰角为30°，则此山的高度CD=_________________米。

小结：___________________________________________________________________ 跟踪训练3.如图，在海岸A处发现北偏东 45°方向距A为(31)海里的B处有一艘走私船，在A处北偏西75°方向，距A为2海里的C处的缉私船奉命以103海里每小时的速度追截走私船，此时走私船正以10海里每小时的速度从B处向北偏东30°的方向逃窜，则缉私船最快追上走私船的所需时间为________________。

四．能力提升

例4.(1)（2015.全国卷）在四边形ABCD中，ABC75°，BC2,则AB的取值范围是_________________

(2)(2015全国卷)△ABC中，D是BC上的点，AD平分BAC,△ABD的面积是△ADC的面积的2倍；

1求○sinB; sinC2若AD1,DC○2,求BD和AC的长。

2

五．课堂小结

六．课后作业