2.3.2 平面向量的正交分解及坐标表示优秀说课稿

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嘉兴第五高中校级公开课招标活动材料. 高一数学备课组6/20/2018 “§2.3平面向量基本定理及坐标表示”教学设计

高一数学备课组

[教学内容] [教村内容分析]

必修4第二章

§2.3.1平面向量基本定理、§2.3.2平面向量正交分解与坐标表示。

平面向量基本定理是以平面向量的线性运算为基础，又是平面的向量坐标表示及坐标运算的基础。

平面向量基本定理的内容是：用两个不共线的基向量来表示平面上的任何一个向量，即：

这是本小节的教学重点，又是教学难点，重要在，使几何范畴的向量与向代数范畴的有序数对建立起对应关系成为可能，难在学生更本想不到，对“任何”一个向量都可以分解到两个不同方向的基向量上，因为其思维方向是与求“和”相反，对此没有任何心理准备，特别是其中一对有序实数1、2为什么存在且唯一？定理给出后，没有相应的例题及配套的练习，加以应用。既然是重、难点，为什么没有配套的训练？，我们可以理解为教材对此降低要求。

平面向量正交分解与坐标表示，可以看成是平面向量基本定理的一个应用，即当两个基向量互相垂直时的一种特例。

对此结论，课本仅给出一个例题，也没有相应的练习，其应用是综合在下一节教学训练之中，从以后的教学内容看，平面向量基本定理基本上没有得到应用，而平面的向量坐标表示及坐标运算是本章应重点掌握的知识。

但是，平面向量基本定理是本章的一个转折点，是向量的几何运算转化为数量运算的重要基础，是使向量成为沟通代数与几何的桥梁。平面向量的基本定理不仅建立了向量的代数表示及向量运算的代数化问题，同时，它还用基本要素（基底、元）表达事物，并把对事物的研究转化为对事物的基本要素的研究的典型范例，这对于人们掌握认识事物的方法，提高研究事物的水平，有着重要的地位与作用。我们可以从这个意上去正确认识平面向量的基本定理的作用。

[教学目标解析] 知识目标：

1. 理解平面向量基本定理，特别是两个向量能成为基底的条件。

2．了解向量的正交分解，掌握平面向量的坐标表示。

能力目标：

给定基底，能用基底表示向量。在给定直角坐标系中，能用坐标表示向量。

情感态度：

了解用基本要素（基底、元）表达事物，转化问题的思想方法。

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嘉兴第五高中校级公开课招标活动材料. 高一数学备课组6/20/2018 [教学对象分析]

平面向量的基本定理，本质上是已知和向量，求解在两个不共线向量上的分向量，并用数乘向量运算加以伸缩，需要的是向量和的几何意义“平行四边形”法则的逆向运用，学生自己是想不到的。

在§2.2平面向量的线性运算中，学生已初步掌握向量的加、减法、数乘向量运算及其几何意义，学生有作出形如a2b等向量的经验(§2.2例6)，也有用a、b表示其它向量的经验(§2.2例7)，但这样经验还是不足，教学时必需根据情况进行适当的复习，并引导学生去联想与类比，并思考反过来的问题。

定理中的两个基底为什么必须不共线？理解起来不难，但学生往往不重视,过后就忘。

有序实数对1、2为什么唯一？课本未作证明，证明过程学生理解有困难，即使学生提出来，也只能课后处理，不宜课上证明，但应运用几何画板等软件加强直观理解。

平面向量的坐标(x,y)对许多学生来说，很可能与点的坐标分不清，因为，当表示向量的有向线段的起点在原点时，它就是终点坐标，我们的学生往往忘记“有向线段的起点在原点”这一前是条件，这是在学习向量的坐标表示，特别注意的。

[教学过程设计] 一、引入课题

问题1：我们知各种各样的颜色，都可以用三种基本颜色调配出，三种基本颜色指什么？

意图：关注依附于平面向量基本定理上的重要数学思想。通过类比用基本颜色（基底、元）表示一般颜色的思维方法，引出两个基本向量（基底）其它向量的思想方法，引起学生兴趣，为用基底表示向量作铺垫，将要学习的知识与思想寓于学生感兴趣的问题中。

问题2：取一个与数轴方向相同的向量记为a，那么与数轴平行的所有向量与向量a有什么关系？

意图：引导学生回顾共线向量定理：

并重新解析共线向量定理的意义与作用，体会共线向量的“基底”及用基底表示共线向量的方法，为探究平面向量基本定理作铺垫。

另问：向量b与数轴不平行，那么向量b能用a表示吗？

问题3: 如图平行四边形ABCD，记aAB，bAD，你能用向量a、b来表示向量AC、BD、OC、OB吗？

意图：复习向量的加、减法、数乘向量的几何意义，但思维的方向是逆向的，意在与基本定理思维方向相一致

。

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嘉兴第五高中校级公开课招标活动材料. 高一数学备课组6/20/2018 二、探究基本定理

问题4：就下面的图进行探究，你能用作图的方法将向量a用向量e1和e2表示出来吗？

意图：在问题3的基础上，学生独立探究，引导学生得出平面向量基本定理的内容，并给出证明。

评注：1.

基底e1和e2不共线（能表示平面上任何向量的前题）

2. 有序数对1、2唯一确定，即基底e1和e2确定后，任一向量有且只有一种表示，如果有两种，则1、2一定相同。

问题5：如图所示，D、E、F分别是ABC的边BC、CA、AB的中点，

G是ABC的重心，BAe1、BCe2，

以e1、e2为基底表向量BF、CG.

意图：平面向量基本定理的应用，给定基底，能用基底表示向量。

FGBDCEA

问题6：如图，在直角坐标系中，点A(2,1)、B(4,4)，

分别取与x轴、y轴方向相同的两个单位

向量i、j作为基底，则向量AB可

表示为

。

意图：平面向量基本定理的中两基底互相垂直的特殊应用，给定基底，能用基底表示向量，同时为平面向量的坐标表示准备。

AB2i3j，

另，如果将AB的起点平移到原点，得向量OC，则OC

，C点的坐标是

。

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嘉兴第五高中校级公开课招标活动材料. 高一数学备课组6/20/2018 三、坐标表示

问题7：平面内的任一向量a是不都可以象上面一样用可基底i、j来表示？

意图：引出平面向量的坐标表示：依平面向量基本定理，有且只有一对实数x、y，使得

axiyj。这样

特别有：i(1,0)，j(0,1)，

如果将向量a的起点平移到原点O，得向量OAa，则OA(x,y)与A点的坐标一致。

结论：直角坐标系内，以原点为起点的向量的坐标，就是终点坐标。

评注：

原点为起点是前题，

问题8：课本

意图：巩固平面向量的坐标表示，在给定直角坐标系中，能用坐标表示向量，其方法可以是引出平面向量基本定理所用的方法，也是对基本定理的巩固。

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嘉兴第五高中校级公开课招标活动材料. 高一数学备课组6/20/2018 四、课堂小结

关于平面向量基本定理: 1 特别注意的是：两个向量能成为基底的前题是不共线。

2. 给定基底，能用基底表示向量。

3. 了解用基本元素（基底）表达一般元素的思想方法，一般元素分为基本元素的思想。

关于平面向量的坐标表示:

1. 特别注意：表示向量的有向线段以原点为起点时，终点坐标才是向量的坐标。

2. 在给定直角坐标系中，能用坐标表示向量。

3. 了解向量的正交分解(P107，自学)，掌握平面向量的坐标表示。

五、自学解疑

1. 学生复习与自学未祥讲的教材内容

2. 解答学生的疑问。

有时间可思考下列问题(不作统一要求)：

思考：P114，习题2.3 B组题3

评注：此题可由“平面向量基本定理中有序数对1、2唯一确定”加以说明，严格的讲要用向量共线的定理加以证明。

拓展：P115，习题2.3 B组题4 评注：(1)可用直角三角形边角关系求解此题，须添线。

(2)只要说明这样定义的坐标“有且只有一个”即可。

六、补充习题

补充题：

1. 已知向量e1，e2

求作向量a3e1-e2。

2. OA，OB不共线，AP=3AB，用OA,OB表示OP

参考：OP

=-2OA+ 3OB

3. 已知点A(2,0),B(3,5)，

则向量AB坐标为

。

O P B A 5)

参考：

(5，4. 已知a的方向向上，与x轴的正向所成的角为120，且|a|6，则a的坐标为

。

参考：(3,33)，