阅读与思考 向量的运算（运算律）与图形性质教学设计实例

平面图形中的向量数量积计算

高一数学备课组：郑宗桥

教学目标：

1.在理解平面向量数量积定义的基础上，理解数量积的几何意义. 通过学习，将进一步巩固平面向量数量积的计算. 2.在学习的基础上，通过对平面几何图形的认识，在寻找各有关直线位置关系的基础上，熟练进行平面图形中的向量数量积计算. 3.通过学习，培养学生对知识的迁移能力、综合分析问题和解决问题的综合能力. 4.通过学习，养成学生爱学习、勤钻研的良好学习习惯，锻炼学生的数学思维能力、以及遇到困难不气馁的坚强意志和勇于创新的精神. 教学重点：

平面图形中有关平面向量数量积的计算是本节课的重点. 教学难点：

通过对几何图形的分析，合理转化向量间的关系，有效进行数量积计算是本节课的难点. 教学过程：

一、温故

1.基础知识复习

（1）平面向量的夹角：已知两个非零向量a,b（如图），作OAa,OBb，则AOB(001800)叫做向量a与b的夹角.

a

b

O

a



A

b

B

（2）平面向量数量积定义：

已知两个非零向量a,b,我们把

数量abcos叫做向量a与b的数量积，记作ab，

即ababcos.其中是a与b的夹角. 若两个非零向量a,b的坐标分别是a(x1,y1),b(x2,y2)，

则abx1x2y1y2，这就是平面向量数量积的坐标表示. 规定：零向量于任一向量的数量积为零. （3）平面向量数量积的运算律：已知平面向量a,b,c和实数，

则abba；ababab；abcacbc. 2.基本题型训练

练习题1.已知单位向量e1,e2的夹角为60，

且ae12e2，b3e1e2，求ab. 0

练习题2.已知a(1,3),b(2,2)，求(a2b)(2ab). 二、知新

在体现平面向量形的特征时，我们总是用平面内的有向线段来表示它，这里有向线段的长度又揭示了平面向量数的特性. 所以，平面向量是一个最好的、最能展示数形结合思想的知识载体. 这节课我们就一起来探究平面几何图形中的平面向量数量积计算. 例题1.

如图，在矩形ABCD中，AB2，BC2，点E为BC的中点，点F在边CD上，若ABAF2，则AEBF的值是 ．

分析：本题考查向量的计算，矩形的性质，三角形外角性质，锐角三角函数定义。

BAF解：由ABAF2，得AocsFAB2，由矩形的性质，得AFcosFAB=DF。

∵AB2，∴2DF2，∴DF1。∴CF21。

记AE和BF之间的夹角为，AEB,FBC，则。

又∵BC2，点E为BC的中点，∴BE1。

∴AEBF=AEBFcos=AEBFcos=AEBFcoscossinsin

=AEcosBFcosAEsinBFsin=BEBCABCF122212。

 说明：

本题也可建立以AB, AD为坐标轴的直角坐标系，求出各点坐标后求解. 热蒸现卖：已知菱形ABCD的边长为a，ABC60，则BDCD

(A)a2

(B) a2

(C) 3234323a

(D) a2

42解析：由菱形ABCD的边长为a，ABC60可知BAD18060120，

23BDCD(ADAB)(AB)ABADABaacos120a2a2，答案选(D) 2CD是弧AB的AB是半圆O的直径，例题2. 如图，三等分点，M,N是线段AB的三等分点，若MDNC26，则OA____.

分析：思路1：连接OD,OC，分别用向量OM、向量

OD、向量ON、向量OD表示向量MD、向量NC，再利用数量积运算律即可计算.

思路2：以直径AB所在直线为x轴，圆心O为原点建立平面直角坐标系，分别计算点M、N、C、D的坐标，利用坐标计算也可以。

解：略

表现一下：等边ABC的边长为23，平面内一点M满足CM1CBCA，若6MAMB21，则实数___.=1或=

33例题3：已知正方形ABCD的边长为1，点E是AB边上的动点，则DECB的值为_______DEDC的最大值为______. 解析：根据平面向量的数量积公式DECBDEDA|DE||DA|cos，由图可知，|DE|cos|DA|，因此DECB|DA|21，

DEDC|DE||DC|cos|DE|cos，而|DE|cos就是向量DE在DC边上的射影，要想让DEDC最大，即让射影最大，此时E点与B点重合，射影为DC，所以长度为1．

小试牛刀：如图，ABC中，AB2,ABC，AD是边BC上的高.当求ADAC得最大值和最小值. 略解：ADACAD(ABBC)ADABADBC

,时，

63A

ADABAD(ADDB)ADADDB

AD4sin因为三、小结

222B



D

C

. ,，所以ADAC得最大值是3，最小值是1. 63通过我们的一起努力发现，平面图形中的平面向量数量积计算，主要有两种基本思路：

一是用题中的已知向量，去表示所要求的各个向量，利用数量积的运算律进行相关计算；

二是建立适当的平面直角坐标系，用坐标表示所要求的各个向量，用数量积的坐标运算解决.

通过本节课学习，我们掌握了三种数学思想：数形结合思想、方程的思想、函数思想

向量问题的两种解决思路：基底法和坐标法.

跃跃欲试战高考

1.（2015天津卷）在等腰梯形ABCD中,已知ABDC,AB2,BC1,ABC60,

点E21BC,DFDC,

则AEAF的值为

．

361解析：在等腰梯形ABCD中,由ABDC,AB2,BC1,ABC60,得ADBC,21ABAD1,DCAB

,所以AEAFABBEADDF

2和点F分别在线段BC和CD上,且BE22121111129ABBCADABABADBCADABBCAB131231218331818

2.(2004年湖北卷)在Rt△ABC中，已知BC=a．若长为2a的线段PQ以点A为中点，问PQ与BC的夹角θ取何值时BPCQ的值最大？并求出这个最大值．

解法一：ABAC,ABAC0.

APAQ,BPAPAB,CQAQAC,BPCQ(APAB)(AQAC)APAQAPACABAQABACa3APACABAP

aAP(ABAC)2

1a2PQBC2a2a2cos.故当cos1即0（PQ与BC方向相同）时，BPCQ最大，其最大值为0 解法二：以直角顶点A为坐标原点，两直角边所在直线为坐标轴建立如图所示的平面直角坐标系．

设|AB|c,|AC|b，则A(0,0),B(c,0),C(0,b)，

且|PQ|2a,|BC|a.

设点P的坐标为(x,y)，则Q(x,y).

BP(xc,y),CQ(x,yb),BC(c,b),PQ(2x,2y).BPCQ(xc)(x)y(yb)(x2y2)cxby.cosPQBCcxby.2a|PQ||BC|

cxbya2cos.BPCQa2a2cos.故当cos1即0（PQ与BC方向相同）时，BPCQ最大，其最大值为0 3.（2012年上海卷）在矩形ABCD中，边AB、AD的长分别为2、1，若M、N分别是边BC、CD上的点，且满足BMBCCNCD，则AMAN的取值范围是

BM解析：设BCCNCD=（0≤≤1），

则BMBC=AD,DN(1)DC=(1)AB，

则AMAN=(ABBM)(ADDN)=

=ABAD+(1)AB+AD+(1)ADAB,

又∵ABAD=0，

∴AMAN=43，

∵0≤≤1，∴1≤AMAN≤4，即AMAN的取值范围是[1,4].

2015年12月29日

教后反思：1.在基础知识的复习过程中浪费了时间，这一块的处理最好是老师引导学生快速的复习，因为基础知识较为简单（大概浪费了3分钟）

2.例题2对应的练习题就算稍微复杂一点，学生在练习时也占用了时间，也反映了学生的运算能力不足，以后需要进一步强化训练。

3.整体例题与练习题都是近几年的高考试题，对学生的要求提高了，主要是想让学生早接触高考的难度与要求，可还是有点过早，因为高一学生的综合能力还达不到那种高的要求，这在以后的基础教学中还要处处提醒自己，不要过早的拔高，有时会适得其反. 22