复习参考题国家优质课一等奖

专题五

统计与概率

一、真题感悟

1、通过对近三年《统计与概率》真题的阅读，谈谈你对该考点的三点感悟：

（1）

（2）

（3）

（2016全国1卷）19．（本小题满分12分）某公司计划购买1台机器，该种机器使用三年后即被淘汰。机器有一易损零件，在购进机器时，可以额外购买这种零件作为备件，每个200元.在机器使用期间，如果备件不足再购买，则每个500元.现需决策在购买机器时应同时购买几个易损零件，为此搜集并整理了100台这种机器在三年使用期内更换的易损零件数，得下面柱状图：

频数2420161060161718192021更换的易损零件数

记x表示1台机器在三年使用期内需更换的易损零件数，y表示1台机器在购买易损零件上所需的费用（单位：元），n表示购机的同时购买的易损零件数. （I）若n=19，求y与x的函数解析式；

（II）若要求“需更换的易损零件数不大于n”的频率不小于0.5，求n的最小值；

（III）假设这100台机器在购机的同时每台都购买19个易损零件，或每台都购买20个易损零件，分别计算这100台机器在购买易损零件上所需费用的平均数，以此作为决策依据，购买1台机器的同时应购买19个还是20个易损零件？

（2017全国1卷）19．（12分）

为了监控某种零件的一条生产线的生产过程，检验员每隔30 min从该生产线上随机抽取一个零件，并测量其尺寸（单位：cm）．下面是检验员在一天内依次抽取的16个零件的尺寸：

抽取次序

1 2 3 4 5 6 7 8 零件尺寸

9.95 10.12 9.96 9.96 10.01 9.92 9.98 10.04 抽取次序

9 10 11 12 13 14 15 16 零件尺寸

10.26 169.91 10.13 10.02 116169.22 11610.04 10.05 169.95 经计算得x16116i1xi9.97，si1(xix)2(xi16x)0.212i122，16i1(i8.5)218.439，i1(xix)(i8.5)2.78，其中x为抽取的第i个零件的尺寸，ii1,2,,16．

i（1）求(x,i)(i1,2,,16)的相关系数r，并回答是否可以认为这一天生产的零件尺寸|0.25不随生产过程的进行而系统地变大或变小（若|r程的进行而系统地变大或变小）．

，则可以认为零件的尺寸不随生产过（2）一天内抽检零件中，如果出现了尺寸在(x3s,x3s)之外的零件，就认为这条生产线在这一天的生产过程可能出现了异常情况，需对当天的生产过程进行检查．

（ⅰ）从这一天抽检的结果看，是否需对当天的生产过程进行检查？

（ⅱ）在(x3s,x3s)之外的数据称为离群值，试剔除离群值，估计这条生产线当天生产的零件尺寸的均值与标准差．（精确到0.01）

n附：样本(xi(xix)(yiy)n,yi)(i1,2,,n)的相关系数rni1，(yiy)20.0080.09

．i1(xix)2i1【解析】（1）由样本数据得(xi,i)(i1,2,,16)的相关系数为

16r16i1(xix)(i8.5)1622.780.2121618.4390.18. i1(xix)i1(i8.5)2由于|r小. |0.25，因此可以认为这一天生产的零件尺寸不随生产过程的进行而系统地变大或变（2）（i）由于(x3s,x3s)x9.97,s0.212，由样本数据可以看出抽取的第13个零件的尺寸在以外，因此需对当天的生产过程进行检查. 115(169.979.22)10.02（ii）剔除离群值，即第13个数据，剩下数据的平均数为生产线当天生产的零件尺寸的均值的估计值为10.02. 16，这条i1xi160.21222169.9721591.134，

11522剔除第13个数据，剩下数据的样本方差为(1591.1349.221510.02)0.008，

这条生产线当天生产的零件尺寸的标准差的估计值为

0.0080.09. 19．（2018全国1卷）（12分）某家庭记录了未使用节水龙头50天的日用水量数据（单位：m3）和使用了节水龙头50天的日用水量数据，得到频数分布表如下：

未使用节水龙头50天的日用水量频数分布表

日用水量

频数

0，0.1

0.1，0.2

0.2，0.3

0.3，0.4

0.4，0.5

0.5，0.6

0.6，0.7

2 4 9 26 5 1 3 使用了节水龙头50天的日用水量频数分布表

日用水量

频数

0，0.1

0.1，0.2

0.2，0.3

0.3，0.4

0.4，0.5

0.5，0.6

1 5 13 10 16 5

（1）在答题卡上作出使用了节水龙头50天的日用水量数据的频率分布直方图：

（2）估计该家庭使用节水龙头后，日用水量小于0.35 m3的概率；

（3）估计该家庭使用节水龙头后，一年能节省多少水？（一年按365天计算，同一组中的数据以这组数据所在区间中点的值作代表．）

解：（1）

（2）根据以上数据，该家庭使用节水龙头后50天日用水量小于0.35m3的频率为

0.2×0.1+1×0.1+2.6×0.1+2×0.05=0.48，

因此该家庭使用节水龙头后日用水量小于0.35m3的概率的估计值为0.48．

（3）该家庭未使用节水龙头50天日用水量的平均数为

x1150(0.0510.1530.2520.3540.4590.55260.655)0.48．

该家庭使用了节水龙头后50天日用水量的平均数为

x2150(0.0510.1550.25130.35100.45160.555)0.35．

．

估计使用节水龙头后，一年可节省水(0.48

0.35)36547.45(m)32、总结反思：《统计与概率》的解答题通常是以什么为载体去呈现的？

（1）

（2）

（3）

二、典例剖析

【备考建议】

《概率与统计》包括必修3的第二章统计、第三章概率及统计案例。高考命题解答题放在19题，总分12分。该题注重把生产与生活中遇到的问题联系起来，考查学生运用数据整理和分析，用统计知识解决实际问题的能力。

1.根据以往的经验，某建筑工程施工期间的降水量N(单位：mm)对工期的影响如表：

降水量N 工期延误

天数X N<400 0 400≤N<600 1 600≤N<1 000 N≥1000 3 6 根据某气象站的资料，某调查小组抄录了该工程施工地某月前20天的降水量的数据，绘制得到降水量的折线图，如图所示.

(1)求这20天的平均降水量. (2)根据降水量的折线图，分别估计该工程施工延误天数X=0，1，3，6的概率.

2.某种植园在芒果临近成熟时，随机从一些芒果树上摘下100个芒果，其质量(单位：克)分别在[100，150)，[150，200)，[200，250)，[250，300)，[300，350)，[350，400]中，经统计得频率分布直方图如图所示.

(1)现按分层抽样从质量为[250，300)，[300，350)的芒果中随机抽取6个，再从这6个中随机抽取3个，求这3个芒果中恰有1个在[300，350)内的概率. (2)某经销商来收购芒果，以各组数据的中间数代表这组数据的平均值，用样本估计总体，该种植园中还未摘下的芒果大约还有10 000个，经销商提出如下两种收购方案：

方案A：所有芒果以10元/千克收购；

方案B：对质量低于250克的芒果以2元/个收购，高于或等于250克的以3元/个收购. 通过计算确定种植园选择哪种方案获利更多？

3.生物学家预言，21世纪将是细菌发电造福人类的时代.说起细菌发电，可以追溯到1910年，英国植物学家利用铂作为电极放进大肠杆菌的培养液里，成功地制造出世界上第一个细菌电池.然而各种细菌都需在最适生长温度的范围内生长.当外界温度明显高于最适生长温度时，细菌被杀死；如果在低于细菌的最低生长温度时，细菌代谢活动受抑制.为了研究某种细菌繁殖的个数y是否与在一定范围内的温度x有关，现收集了该种细菌的6组观测数据如表：

温度x(℃)

繁殖个数y(个) 经计算得：i21 23 24 27 29 32 7 11 21 24 58 77 (yi-(xi-)(yi-)=550，(yi-)2=3 946，线性回归模型的残差平方和)2=345.其中xi，yi分别为观测数据中的温度与繁殖数，i=1，2，3，4，5，6. 参考数据：e7.446≈1 713，e8.060 5≈3 167，

(1)求y关于x的线性回归方程=x+a(精确到0.1). (2)若用非线性回归模型求得y关于x的回归方程为=0.075e0.219x，且非线性回归模型的残差平方和(yi-i)2=319. 2①用相关指数R说明哪种模型的拟合效果更好；

②用拟合效果好的模型预测温度为34℃时该种细菌的繁殖数(结果取整数). 附：一组数据(x1，y1)，(x2，y2)，…，(xn，yn)，其回归直线=x+a的斜率和截距的最小二乘估计分别为=，=-；

相关指数R2=1-

.

4.为了了解中学生课余观看热门综艺节目“爸爸去哪儿”是否与性别有关的问题，某中学一研究性学习小组从该校学生中随机抽取了n位同学进行问卷调查.调查结果表明：女生中喜欢观看该节目的人数占女生总人数的，男生中喜欢观看该节目的人数占男生总人数的.随后，该小组采用分层抽样的方法从这n份问卷中随机抽取了5份进行重点分析，发现其中喜欢观看该节目的有3位同学. (1)现从重点分析的5人中随机抽取2人进行现场调查，求抽取的两人都喜欢观看该节目的概率. (2)若有99%的把握认为“喜欢观看该节目与性别有关”，则参与调查的总人数n至少为多少？

参考数据：P(K2≥k0) P(K≥k0) k0

K2=

20.050 3.841 0.025 5.024 0.010 6.635 0.005 0.001 7.879 10.828 ，其中n=a+b+c+d.

5.某公司计划购买1台机器，该种机器使用三年后即被淘汰.在购进机器时，可以一次性额外购买几次维修服务，每次维修服务费用200元，另外实际维修一次还需向维修人员支付小费，小费每次50元.在机器使用期间，如果维修次数超过购机时购买的维修服务次数，则每维修一次需支付维修服务费用500元，无需支付小费.现需决策在购买机器时应同时一次性购买几次维修服务，为此搜集并整理了100台这种机器在三年使用期内的维修次数，得下面统计表：

维修次数

频数

8 10 9 20 10 30 11 30 12 10 记x表示1台机器在三年使用期内的维修次数，y表示1台机器在维修上所需的费用(单位：元)，n表示购机的同时购买的维修服务次数. (1)若n=10，求y与x的函数解析式；

(2)若要求“维修次数不大于n”的频率不小于0.8，求n的最小值；

(3)假设这100台机器在购机的同时每台都购买10次维修服务，或每台都购买11次维修服务，分别计算这100台机器在维修上所需费用的平均数，以此作为决策依据，购买1台机器的同时应购买10次还是11次维修服务？

答案与解析

1、【解析】(1)这20天的平均降水量为=×(380+350×2+700+1 100 +120×2+450+500×5+850+1 200+240+300)==433 mm. (2)因为N<400 mm的天数为10，所以X=0的频率为=0.5，

故估计X=0的概率为0.5.因为400 mm≤N<600 mm的天数为6，所以X=1的频率为=0.3，

故估计X=1的概率为0.3.因为600 mm≤N<1 000 mm的天数为2，所以X=3的频率为=0.1，

故估计X=3的概率为0.1.因为N≥1 000 mm的天数为2，所以X=6的概率为=0.1，故估计X=6的概率为0.1. 2、【解析】(1)由频率分布直方图可知，6个芒果中质量在[250，300)内的有4个，分别记为A，B，C，D，质量在[300，350)内的芒果有2个，分别记为a，b.从这6个芒果中选出3个的情况共有(A，B，C)，(A，B，D)，(A，B，a)，(A，B，b)，(A，C，D)，(A，C，a)，(A，C，b)，(A，D，a)，(A，D，b)，(A，a，b)，(B，C，D)，(B，C，a)，(B，C，b)，(B，D，a)，(B，D，b)，(B，a，b)，(C，D，a)，(C，D，b)，(C，a，b)，(D，a，b)共计20种，其中恰有1个在[300，350)内的情况有(A，B，a)，(A，B，b)，(A，C，a)，(A，C，b)，(A，D，a)，(A，D，b)，(B，C，a)，(B，C，b)，(B，D，a)，(B，D，b)，(C，D，a)，(C，D，b)共计12种，因此概率P==. (2)方案A：

(125×0.002+175×0.002+225×0.003 +275×0.008+325×0.004+375×0.001) ×50×10 000×10×0.001=25 750元. 方案B：

由题意得低于250克：(0.002+0.002+0.003)×50×10 000×2=7 000元；

高于或等于250克：(0.008+0.004+0.001)×50×10 000×3=19 500元；共26 500元

由于25 750<26 500，方案B获利更多，应选方案B. 3、【解析】(1)由题意得：=xi=26，=yi=33，(xi-)2=84. ==≈6.5，=33-6.5×26=-136，

所以y关于x的线性回归方程为=6.5x-136.

(2)①线性回归方程=6.5x-136对应的相关指数为

=1-=1-，非线性回归模型=0.075e0.219x对应的相关指数为

=1-=1-，因为345>319，所以<，

所以回归方程=0.075e0.219x比线性回归方程=6.5x-136拟合效果更好. ②由①得当温度x=34 ℃时，=0.075e0.219×34≈0.075×1 713≈128，

即当温度x=34 ℃时，该种细菌的繁殖数估计为128个. 4、(1) 记重点分析的5人中喜爱看该节目的为a，b，c，不爱看的为d，e，从5人中随机抽取2人，所有可能的结果有(a，b)，(a，c)，(a，d)，(a，e)，(b，c)，(b，d)，(b，e)，(c，d)，(c，e)，(d，e)，共10种，这两人都喜欢看该节目的有3种，所以P=，即这两人都喜欢看该节目的概率为. (2)因为进行重点分析的5份中，喜欢看该节目的有3人，故喜欢看该节目的总人数为n，不喜欢看该节目的总人数为n；设这次调查问卷中女生总人数为x，男生总人数为y，x，y∈N*，则由题意可得2×2列联表如下：

喜欢看该节目

的人数

不喜欢看该节目

的人数

合计

女生

x x x 男生

y y y 合计

n n n 解得：x=n，y=n，所以正整数n是25的倍数，设n=25k，k∈N*，

则x=12k，x=4k，y=3k，y=6k，K2的观测值k==k；

由题意得k≥6.635⇒k≥1.59，因为k∈N*，所以k=2，故n=50. 5、【解析】(1)y=

即y= x∈N. (2)因为

“维修次数不大于10”的频率==0.6<0.8，

“维修次数不大于11”的频率==0.9>0.8，所以若要求“维修次数不大于n”的频率不小于0.8，则n的最小值为11. (3)若每台都购买10次维修服务，则有下表：

维修次数x 频数

费用y 8 10 2 400 9 20 2 450 10 30 2 500 11 30 3 000 12 10 3 500 此时这100台机器在维修上所需费用的平均数为y1= =2 730(元). 若每台都购买11次维修服务，则有下表：

维修次数x 频数

费用y 8 10 2 600 9 20 2 650 10 30 2 700 11 30 2 750 12 10 3 250 此时这100台机器在维修上所需费用的平均数为y2=

=2 750(元). 因为y1