3.1.2 概率的意义教学设计实例

随机事件的概率

蔡宝林 迁安市第一中学 064400 一、整体设计思路及及指导依据说明

日常生活中，经常会遇到一些无法事先预测结果的事情，它们被称为随机事件。例如，抛掷一枚硬币，它将正面朝上还是反面朝上；购买本期福利彩票是否能够中奖等等，这些事情的结果都有不确定性，是无法预知的。但是我们把随机事件放在一起时，它们可能会表现出令人惊奇的规律性。为了研究这种随机事件的规律性，数学中引进了概率。

概率研究随机事件发生的可能性大小问题，这里既有随机性，又有随机性中表现出来的规律性，这是学生理解的难点。突破难点的最好办法是给学生亲自动手操作的机会，使学生在实践过程中形成对随机事件的随机性以及随机性中表现出的规律性的直接感知。为此，本节课利用学生熟悉的典型实例（掷硬币的实验）,通过学生亲自动手实验，来引导学生体会随机事件发生的随机性和随机性中的规律性。通过实验，观察随机事件发生的频率，可以发现随着实验次数的增加，频率稳定在某个常数附近，然后再给出概率的定义。在这个过程中，体现了实验、观察、归纳和总结的思想方法。通过实验模拟等方法，澄清日常生活中对概率的错误认识。

二、教材背景分析与学情分析

本节课内容为“普通高中课程标准实验教科书”必修3第3章第1课时内容，是后两单元学习的基础。由于在初中学生已接触过随机事件、不可能事件、必然事件的概念，所以教科书以“北京的天气变化情况”“水稻种子发芽后的生长情况”为例，简略叙述了客观世界中偶然与必然的内在联系，给出了随机事件、不可能事件、必然事件的概念。这些概念与初中教科书略有不同。例如，随机事件的概念，初中教科书叙述为“在一定条件下，可能发生也可能不发生的事件称为随机事件”，本教科书则叙述为“在条件S下可能发生也可能不发生的事件，叫做相对于条件S的随机事件，简称随机事件”，这里条件S可以是一个条件，也可以是一组条件（可以理解为一个条件集）这样可以使表述更加清楚和简洁。这部分内容的主要任务是通过实验，体会随机事件发生的不确定性及其频率的稳定性，由此给出概率的定义。

这部分内容学生在初中已接触过，对一些概念已有了初步认识，而且学生对这部分知识比较感兴趣，便于这节课的学习。

三、教学目标分析

根据教学大纲的要求、本节教材的特点和本班学生的认知规律，本节课的教学目标确定为：

（1）知识技能目标——了解随机事件发生的不确定性和频率的稳定性；正确理解概率的意义

（2）过程与方法目标——通过学生亲自动手实验，来引导学生体会随机事件发生的随机性和随机性中的规律性。体现了试验、观察、归纳和总结的思想方法。

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（3）情感，态度与价值观——培养学生善于观察、善于总结的习惯，从探索中获得成功的体验，感受数学魅力。

四、教学重点、难点分析

教学重点：了解随机事件发生的不确定性和频率的稳定性；正确理解概率的意义

教学难点：理解频率与概率的关系；对概率含义的正确理解。

五、教学过程设计

知识探究（一）：必然事件、不可能事件和随机事件

思考1：考察下列事件：

（1）导体通电时发热；

（2）向上抛出的石头会下落；

（3）在标准大气压下水温升高到100°C会沸腾。

这些事件就其发生与否有什么共同特点？

思考2：我们把上述事件叫做必然事件，你能指出必然事件的一般含义吗？

在条件S下，一定会发生的事件，叫做相对于条件S的必然事件。

你能列举一些必然事件的实例吗？

思考3：考察下列事件：

（1）在没有水分的真空中种子发芽；

（2）在常温常压下钢铁融化；

（3）服用一种药物使人永远年轻。

这些事件就其发生与否有什么共同特点？

思考4：我们把上述事件叫做不可能事件，你能指出不可能事件的一般含义吗？

在条件S下，一定不会发生的事件，叫做相对于条件S的不可能事件

你能列举一些不可能事件的实例吗？

思考5：考察下列事件：

（1）某人射击一次命中目标；

（2）马琳能夺取伦敦奥运会男子乒乓球单打冠军；

（3）抛掷一个骰字出现的点数为偶数。

这些事件就其发生与否有什么共同特点？

思考6：我们把上述事件叫做随机事件，你指出随机事件的一般含义吗？

在条件S下，可能发生也可能不发生的事件，叫做相对于条件S的随机事件。

你能列举一些随机事件的实例吗？

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概念提出：

1．必然事件：在条件S下，一定会发生的事件叫做相对于条件S的必然事件。

2．不可能事件：在条件S下，一定不会发生的事件叫做相对于条件S的不可能事件。

3．随机事件：在条件S下，可能发生也可能不发生的事件叫做相对于条件S的随机事件。

注意：（1）在概念阐述过程中，一定要重点强调“在条件S下”，随着条件的变化，结果也可能会发生相应的改变。

（2）事件的分类是按照事件发生与否为标准。

思考7：你能举出一些现实生活中的随机事件、必然事件和不可能事件吗？

教师可在学生回答之前，给学生举一个范例：

比如：把生鸡蛋用力往石头上砸一下，鸡蛋会碎（必然事件）

把生鸡蛋在沸水中煮5分钟，蛋白不会凝固（不可能事件）

随手拿个鸡蛋打开，是个双簧蛋（随机事件）

【设计意图：让学生确实感受到生活中充满了数学，从而增强学习数学的兴趣，培养学生仔细观察的能力。】

知识探究（二）：事件A发生的频率与概率

如何才能获得随机事件发生的可能性的大小？

首先向学生解释为什么要了解随机事件发生的可能性的大小。举例子：“明天会下雨”，这是一个随机事件，如果天气预报说明天下雨的可能性很小，人们出门都不会带雨具。可如果天气预报说明天下雨的可能性很大，那么很多人出门就会带雨具。也就是说，知道了随机事件发生的可能性的大小，它能为我们的决策提供关键性的依据。那么如何才能获得随机事件发生的可能性的大小？要获得随机事件发生的可能性的大小，最直接的办法是做实验（观察）下面我们来做抛掷一枚硬币的实验，观察它落地时哪一个面朝上。

“掷硬币实验

”操作过程：

1．以小组为单位，把全班分成四组

2．每人抛掷11次，并把记录填写在下面表格。

姓名

实验次数

正面朝上的次数

正面朝上的比例

11

3．把小组的数据和全班的数据填写到下面表格中

3

小组

试验次数

正面向上次数

正面向上比例

备注

（在具体实施过程中，还可以在全班范围比较个人所得的结果：正面向上次数最多的，正面向上次数最少的）

【设计意图：1．投掷次数改成11次的目的是为了在最后个人结果统计过程中避免出现0.5这个结果，因为此时的0.5仅仅是一个频率值，而非概率值；2．通过学生动手试验，增强了学生的动手能力；3．让学生对照个人数据，小组数据和班级数据进行分析。】

实验结论：抛掷硬币出现正面向上是一个随机事件，在一次试验中它是否发生是不确定的，但随着试验次数的不断增加，我们可以初步感受到它的发生具有一定的规律性，即它发生的比例会越来越稳定在0.5这个常数附近。

频率的定义：在相同条件S下重复n次试验，观察某一事件A是否出现，称n次试验中，事件A出现的次数nA为事件A出现的频数，称A出现的比例fnA思考：

频率的取值范围是多少？必然事件的频率是多少？不可能事件的频率是多少？

历史上曾经有人做过大量的抛掷硬币的实验：

试验次数

2048 4040 12000 24000 30000 72088 正面朝上的频数

1061 2048 6019 12012 14984 36124 正面朝上的比例

0.5181 0.5069 0.5016 0.5005 0.4996 0.5011 nA为事件A出现的频率。

n【设计意图：通过刚才的动手试验以及现在的历史上曾经做过的大量的试验，让学生切实感受到：抛掷硬币出现正面向上是一个随机事件，在一次试验中它是否发生是不确定的，但随着试验次数的不断增加，它的发生具有一定的规律性，即它发生的比例会越来越稳定在0。5这个常数附近。】

4

抛掷正方体：

抛掷一个自制的正方体，六个面分别标有数字1，2，3，4，5，6。（其中数字2，3，4，5，6的各面均可撕下，撕下后出现数字1。在抛掷过程中问学生，抛掷后出现正面朝上是1这个事件是不是随机事件，若进行大量的抛掷，频率会稳定在什么? 【设计意图：（1）通过抛掷正方体，让同学进一步感受到随机事件在进行大量重复实验的前提下，频率发生的规律性。并通过不断改变条件，让正常向上出现1的频率在发生变化，从而达到如下两点目的。

进一步突出“在条件S下”；（2）让学生体会到稳定在[0，1]的某个常数上。】

概率的定义：对于给定的随机事件A，如果随着试验次数的增加，事件A发生的频率fnA

稳定在某个常数上，则把这个常数PA，称为事件A的概率，简称为概率

思考：事件A发生的频率和事件A发生的概率有什么联系和区别？

注意点：可结合动手抛掷试验时的图表进行分析。

三、典例探究，巩固新知

例1 判断下列事件哪些是必然事件，哪些是不可能事件，哪些是随机事件？

（1）在标准大气压下且温度低于0°C时，冰融化；

（2）从分别标有数字l，2，3，4，5的5张标签中任取一张，得到4号签; （3）某电话机在1分钟内收到2次呼叫；

（4）手电筒的的电池没电，灯泡发亮；

【设计意图：上述四个事件都来源于我们的生活实际，加强对必然事件、不可能事件和随机事件概念的理解，在叫同学分析的过程中，老师可适当改变条件，然后让学生作出判断。从而加强对“在条件S下”的理解。】

例2

某射手在同一条件下进行射击，结果如下表所示：

射击次数n击中靶心次数m击中靶心的频率mn10820501002005001944921784550.80.950.880.920.890.91（1）填写表中击中靶心的频率；

（2）这个射手射击一次，击中靶心的概率约是多少？

【设计意图：1．让学生进一步体会频率和概率的关系，明确频率是概率的估计值；2．在教学过程中要重点强调“约”字的作用。】

四、总结归纳，加深理解

1．概率是频率的稳定值，根据随机事件发生的频率只能得到概率的估计值。

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2．随机事件A在每次试验中是否发生是不能预知的，但是在大量重复试验后，随着试验次数的增加，事件A发生的频率逐渐稳定在区间[0，1]内的某个常数上（即事件A的概率），这个常数越接近于1，事件A发生的概率就越大，也就是事件A发生的可能性就越大；反之，概率越接近于0，事件A发生的可能性就越小．因此，概率就是用来度量某事件发生的可能性大小的量。

3．任何事件的概率是0～1之间的一个确定的数，小概率（接近0）事件很少发生，大概率（接近1）事件则经常发生，知道随机事件的概率的大小有利于我们作出正确的决策。

五、课后作业，巩固提高

必做：P113课堂练习1、2、3 选做：课时作业29 六、教学评价与反思

本节课立足课本，着力挖掘，设计合理，层次分明。充分体现以学生发展为本，培养学生的观察、概括和探究能力，遵循学生的认知规律，体现理论联系实际、循序渐进和因材施教的教学原则，通过问题情境的创设，激发兴趣，使学生在问题解决的探索过程中，由学会走向会学，由被动答题走向主动探究。在教学思想上既注重知识形成过程的教学，还特别突出学生学习方法的指导，探究能力的训练，让学生确实感受到生活中充满了数学，从而增强学习数学的兴趣，培养学生仔细观察的能力。

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