3.3.2 均匀随机数的产生课时教案

3.3.2 均匀随机数的产生

1．内容与内容解析

（1）教学内容：均匀随机数的概念，随机模拟方法及其应用. （2）内容分析：《(均匀随机数的产生与应用》（以下简称《随机数》）这节课的主要知识内容是均匀随机数；涉及的数学方法是随机模拟方法,数学思想是从特殊到一般、近似逼近和算法的思想；而教学情景主要是教材P132例2，P133例3，以及增加的探究问题．

在内容处理方面，首先要让学生弄清什么是均匀随机数，但仅仅这样是不够的，更重要的是要让学生弄清为什么要学习均匀随机数，为什么要用计算机产生均匀随机数.然而，有了产生均匀随机数的方法，并没有解决用模拟试验来估计随机事件的概率问题.因此，了解随机模拟方法，并用随机模拟方法计算一些随机事件的概率的估计值就成为必要的学习内容，更为重要的是，要引导学生用随机模拟方法去解决更多探究的问题.在利用随机模拟方法解决问题时，对于一次次试验结果的统计是一件非常麻烦的事情，这正好是在技术平台上用算法解决问题的绝好机会，也是对学生进行算法思想熏陶的好时机.

因此，对于《随机数》这节课的设计，我们从具体案例出发，让学生体会学习随机数的必要性. 2．目标与目标解析

学生通过学习《整数型随机数的产生与应用》，对随机数的概念与作用有了一定了解，对运用随机数去进行随机模拟也有了初步认识．本节课，根据内容与内容解析，我们认为教学目标应为：

（１）明确均匀随机数的概念,会用信息技术工具产生指定范围的均匀随机数；

（2）通过具体案例理解随机模拟方法，能针对具体的问题设计模拟模型，并通过随机模拟方法得出问题的解的估计值或判断问题的可能解. （3）在信息技术环境下，通过算法解决大量重复模拟试验中的数据统计问题，得出问题的解的估计值，并由此进一步体会随机模拟方法、算法思想以及从特殊到一般的数学研究过程. 随机模拟是在特殊、具体的环境下实现的试验过程，随着试验次数的增加，会得到具有一定规律性的结果，教学中要引导学生学会观察，并由此得出一般结论（或规律）．

均匀随机数的概念与产生方法不是什么难事，也不是主要的教学目标.但通过具体案例理解随机模拟方法，并用算法的思想实现获取解的估计值这个过程是主要的教学目标，即教学重点. 3．教学问题诊断分析

建立怎样的模型来进行模拟试验（如建立怎样的几何概型来估计随机事件的概率），并通过怎样的步骤来进行随机模拟试验，这是第一个教学问题，也是教学难点之一.解决这个问题时可以参考整数值随机数在模拟试验中的运用．

在随机模拟试验中，需要用计算机不断重复地产生随机数，并根据随机数进行频数统计，这是一项非常麻烦的事情.如果不研究随机模拟方法中所涉及的算法，那么很难使学生对随机模拟方法有较深刻的理解.同时，要使通过随机模拟方法所得到的问题的解的估计值更精确，就必须使随机模拟试验的次数相当大，这靠人工统计的方法是办不到的.因此，如何通过算法使学生更好地体会随机模拟方法是第二个教学问题，这是教学难点.

4．教学支持条件分析

信息技术是《随机数》一课的重要支持条件，无论是随机数的产生，还是根据随机模拟方法设计算法求问题的解的估计值，都离不开有计算机．上本节课时，我们为学生配备人手一台计算机，这样能更方便地实现教学目标.当学生有了符合上述要求的计算器后，使得随机数的产生变得方便快捷，学生有更多的时间来关注随机模拟方法的本质，并更多地关注数学问题的本质. 教学过程：

一、导入新课

1、复习提问：（1）什么是几何概型？（2）几何概型的概率公式是怎样的？（3）几何概型的特点是什么？

2、在古典概型中我们可以利用（整数值）随机数来模拟古典概型的问题,那么在几何概型中我们能不能通过随机数来模拟试验呢？如果能够我们如何产生随机数？又如何利用随机数来模拟几何概型的试验呢？引出本节课题：均匀随机数的产生. 二、新课讲授：

提出问题

(1)请说出古典概型的概念、特点和概率的计算公式？

(2)请说出几何概型的概念、特点和概率的计算公式？

(3)给出一个古典概型的问题,我们除了用概率的计算公式计算概率外,还可用什么方法得到概率？对于几何概型我们是否也能有同样的处理方法呢？

(4)请你根据整数值随机数的产生,用计算器模拟产生［0,1］上的均匀随机数. (5)请你根据整数值随机数的产生,用计算机模拟产生［0,1］上的均匀随机数. (6)［a,b］上均匀随机数的产生. 活动：学生回顾所学知识,相互交流,在教师的指导下,类比前面的试验,一一作出回答,教师及时提示引导. 讨论结果：

(1)在一个试验中如果

a.试验中所有可能出现的基本事件只有有限个；（有限性）

b.每个基本事件出现的可能性相等.（等可能性）

我们将具有这两个特点的概率模型称为古典概率模型（classical models of probability）,简称古典概型. 古典概型计算任何事件的概率计算公式为：P（A）=A所包含的基本事件的个数. 基本事件的总数(2)对于一个随机试验,我们将每个基本事件理解为从某个特定的几何区域内随机地取一点,该区域中的每一个点被取到的机会都一样,而一个随机事件的发生则理解为恰好取到上述区域内的某个指定区域中的点.这里的区域可以是线段、平面图形、立体图形等.用这种方法处理随机试验,称为几何概型. 几何概型的基本特点：

a.试验中所有可能出现的结果(基本事件)有无限多个；

b.每个基本事件出现的可能性相等. 几何概型的概率公式：P（A）=构成事件A的区域长度(面积或体积). 试验的全部结果所构成的区域长度(面积或体积)

(3)我们可以用计算机或计算器模拟试验产生整数值随机数来近似地得到所求事件的概率,对于几何概型应当也可. (4)我们常用的是［0,1］上的均匀随机数

a.选定A1格,键入“=RAND（）”,按Enter键,则在此格中的数是随机产生的［0,1］之间的均匀随机数. b.选定A1格,按Ctrl+C快捷键,选定A2—A50,B1—B50,按Ctrl+V快捷键,则在A2—A50, B1—B50的数均为［0,1］之间的均匀随机数. (6)［a,b］上均匀随机数的产生：

利用计算器或计算机产生［0,1］上的均匀随机数X=RAND, 然后利用伸缩和平移变换,X=X*(b-a)+a就可以得到［a,b］上的均匀随机数,试验结果是［a,b］内任何一实数,并且是等可能的. 这样我们就可以通过计算机或计算器产生的均匀随机数,用随机模拟的方法估计事件的概率. 三、例题讲解：

例1 假设你家订了一份报纸,送报人可能在早上6：30—7：30之间把报纸送到你家,你父亲离开家去工作的时间在早上7：00—8：00之间,问你父亲在离开家前能得到报纸（称为事件A）的概率是多少？

活动：用计算机产生随机数模拟试验,我们可以利用计算机产生0—1之间的均匀随机数,利用计算机产生B是0—1的均匀随机数,则送报人送报到家的时间为B+6.5,利用计算机产生A是0—1的均匀随机数,则父亲离家的时间为A+7,如果A+7＞B+6.5,即A＞B-0.5时,事件E={父亲离家前能得到报纸}发生.也可用几何概率的计算公式计算. 解法一：1.选定A1格,键入“=RAND（）”,按Enter键,则在此格中的数是随机产生的［0,1］之间的均匀随机数. 2.选定A1格,按Ctrl+C快捷键,选定A2—A50,B1—B50,按Ctrl+V快捷键,则在A2—A50,B1—B50的数均为［0,1］之间的均匀随机数.用A列的数加7表示父亲离开家的时间,B列的数加6.5表示报纸到达的时间.这样我们相当于做了50次随机试验.

3.如果A+7>B+6.5,即A-B>-0.5,则表示父亲在离开家前能得到报纸. 4.选定D1格,键入“=A1-B1”；再选定D1,按Ctrl+C,选定D2—D50,按Ctrl+V.

5.选定E1格,键入频数函数“=FREQUENCY（D1：D50,-0.5）”,按Enter键,此数是统计D列中,比-0.5小的数的个数,即父亲在离开家前不能得到报纸的频数.

6.选定F1格,键入“=1-E1/50”,按Enter键,此数是表示统计50次试验中,父亲在离开家前能得到报纸的频率.

解法二：（见教材138页）

例2 在如下图的正方形中随机撒一把豆子,用计算机随机模拟的方法估算圆周率的值.

解法1：（见教材139页）

解法2：（1）用计算机产生两组［0,1］内均匀随机数a1=RAND（）,b1=RAND（）. （2）经过平移和伸缩变换,a=(a1-0.5)*2,b=(b1-0.5)*2. （3）数出落在圆x2+y2=1内的点（a,b）的个数N1,计算π=4N1（N代表落在正N方形中的点（a,b）的个数）. 点评：可以发现,随着试验次数的增加,得到圆周率的近似值的精确度会越来越高,利用几何概型并通过随机模拟的方法可以近似计算不规则图形的面积. 例3 利用随机模拟方法计算下图中阴影部分（y=1和y=x2所围成的部分）的面积.

解：（略）

四、课堂练习：

教材140页练习：1、2 五、课堂小结：

均匀随机数在日常生活中有着广泛的应用,我们可以利用计算器或计算机来产生均匀随机数,从而来模拟随机试验,其具体方法是：建立一个概率模型,它与某些我们感兴趣的量（如概率值、常数）有关,然后设计适当的试验,并通过这个试验的结果来确定这些量. 六、课后作业：

1、课本习题3.3B组题. 2、复习本章

板书设计

3.3.2

均匀随机数的产生

1、利用计算器来产生0—1之间的均匀随机数

教学反思：本节课我们根据问题的需要利用一组随机数进行模拟试验,也利用两组随机数2、例题讲解

进行模拟试验.用随机数模拟的关键是把实际问题中事件A及基本事件总体对应的区域转化为随机数的范围.用计算机产生随机数,可以产生大量的随机数,又可以自动统计试验的结果,同时可以在短时间内多次重复试验,可以对试验结果的随机性和规律性有更深刻的认识；相信通过本节的学习一定会提高同学们的应用能力,也能解决平常不能解决的一些问题.