复习参考题教学设计(第二课时)

§12.3

几何概型

最新考纲

考情考向分析

以理解几何概型的概念、概率公式为主，会1.了解随机数的意义，能运用随机模拟的方法估计概率. 2.了解几何概型的意义. 求一些简单的几何概型的概率，常与平面几何、线性规划、不等式的解集、定积分等知识交汇考查．在高考中多以选择、填空题的形式考查，难度为中档.

题型一

与长度、角度有关的几何概型

1．某公司的班车在7：00，8：00,8：30发车，小明在7：50至8：30之间到达发车站乘坐班车，且到达发车站的时刻是随机的，则他等车时间不超过10分钟的概率是(

) 1123A.

B.

C.

D.

3234答案

B 解析

如图所示，画出时间轴．

小明到达的时间会随机的落在图中线段AB中，而当他的到达时间落在线段AC或DB上时，才能保证他等车的时间不超过10分钟，根据几何概型，

10＋101得所求概率P＝＝，故选B. 4022.如图，四边形ABCD为矩形，AB＝3，BC＝1，以A为圆心，1为半径作四分之一个圆弧DE，在∠DAB内任作射线AP，则射线AP与线段BC有公共点的概率为________．

1答案

3

解析

因为在∠DAB内任作射线AP，所以它的所有等可能事件所在的区域H是∠DAB，当射线AP与线段BC有公共点时，射线AP落在∠CAB内，则区域H为∠CAB，所以射线AP∠CAB30°1与线段BC有公共点的概率为＝＝. ∠DAB90°3思维升华

求解与长度、角度有关的几何概型的方法

求与长度(角度)有关的几何概型的概率的方法是把题中所表示的几何模型转化为长度(角度)，然后求解．要特别注意“长度型”与“角度型”的不同．解题的关键是构建事件的区域(长度或角度)．

题型二

与面积有关的几何概型

命题点1

与平面图形面积有关的问题

典例

(2017·全国Ⅰ)如图，正方形ABCD内的图形来自中国古代的太极图，正方形内切圆中的黑色部分和白色部分关于正方形的中心成中心对称．在正方形内随机取一点，则此点取自黑色部分的概率是________．

π答案

8解析

不妨设正方形ABCD的边长为2，则正方形内切圆的半径为1，可得S正方形＝4. 1π由圆中的黑色部分和白色部分关于正方形的中心成中心对称，得S黑＝S白＝S圆＝，所以由22π2πS黑几何概型知，所求概率P＝＝＝. S正方形48命题点2

与线性规划知识交汇命题的问题

x≤0，典例

由不等式组y≥0，y－x－2≤0

x＋y≤1，确定的平面区域记为Ω1，由不等式组确定的平x＋y≥－2

面区域记为Ω2，若在Ω1中随机取一点，则该点恰好在Ω2内的概率为______．

7答案

8解析

如图，平面区域Ω1就是三角形区域OAB，平面区域Ω2与平面区域Ω1的重叠部分就

是区域OACD，

13－，，故由几何概型的概率公式，得所求概率

易知C22S四边形OACDP＝

S△OAB12－47S△OAB－S△BCD＝＝＝. 28S△OAB

命题点3

与定积分交汇命题的问题

典例

如图，点A的坐标为(1,0)，点C的坐标为(2,4)，函数f(x)＝x2.若在矩形ABCD内随机取一点，则此点取自阴影部分的概率为________．

答案

5

122解析

由题意知，阴影部分的面积S＝ʃ21(4－x)dx＝(4x1325x)|1＝3，

353S5所以所求概率P＝＝＝. S矩形ABCD1×412思维升华

求解与面积有关的几何概型的注意点

求解与面积有关的几何概型时，关键是弄清某事件对应的面积，必要时可根据题意构造两个变量，把变量看成点的坐标，找到全部试验结果构成的平面图形，以便求解．

跟踪训练

(1)(2016·全国Ⅱ)从区间[0,1]随机抽取2n个数x1，x2，…，xn，y1，y2，…，yn，构成n个数对(x1，y1)，(x2，y2)，…，(xn，yn)，其中两数的平方和小于1的数对共有m个，则用随机模拟的方法得到的圆周率π的近似值为(

)

4n2n4m2mA.

B.

C.

D.

mmnn答案

C 解析

由题意得(xi，yi)(i＝1,2，…，n)在如图所示方格中，而平方和小于1的点均在如图所π4m示的阴影中，由几何概型概率计算公式知＝，

1n4m∴π＝，故选C. n

x－y＋1≥0，(2)(2017·石家庄调研)在满足不等式组x＋y－3≤0，y≥0

的平面内随机取一点M(x0，y0)，设事件A＝“y0<2x0”，那么事件A发生的概率是(

) 1A.

41C.

3答案

B 解析

作出不等式组

x－y＋1≥0，x＋y－3≤0，y≥03B.

42D.

3

的平面区域即△ABC，其面积为4，且事件A＝“y0<2x0”表示的区域为3△AOC，其面积为3，所以事件A发生的概率是. 4

(3)如图，在边长为e(e为自然对数的底数)的正方形中随机撒一粒黄豆，则它落到阴影部分的概率为________．

答案

2

e2x解析

由题意知，所给图中两阴影部分面积相等，故阴影部分面积为S＝2ʃ10(e－e)dx＝2(ex2－ex)|10＝2[e－e－(0－1)]＝2.又该正方形的面积为e，

2故由几何概型的概率公式可得所求概率为2. e

题型三

与体积有关的几何概型

典例

(1)已知正三棱锥S—ABC的底面边长为4，高为3，在正三棱锥内任取一点P，使得1VP—ABC

) 27311A.

B.

C.

D.

8424答案

A 解析

当P在三棱锥的三条侧棱的中点所在的平面及下底面构成的正三棱台内时符合要求，由几何概型知，

17P＝1－＝. 88(2)如图，正方体ABCD—A1B1C1D1的棱长为1，在正方体内随机取点M，则使四棱锥M—ABCD1的体积小于的概率为________．

6

1答案

2解析

过点M作平面RS∥平面AC，则两平面间的距离是四棱锥M—ABCD的高，显然点M在平面RS上任意位置时，四棱锥M—ABCD的体积都相等．若此时四棱锥M—ABCD的体积111111等于，只要M在截面以下即可小于，当VM—ABCD＝时，即×1×1×h＝，解得h＝，即66636211×1×21点M到底面ABCD的距离，所以所求概率P＝＝. 1×1×12

思维升华

求解与体积有关的几何概型的注意点

对于与体积有关的几何概型问题，关键是计算问题的总体积(总空间)以及事件的体积(事件空间)，对于某些较复杂的也可利用其对立事件去求．

跟踪训练

(2017·湖南长沙四县联考)如图，在一个棱长为2的正方体鱼缸内放入一个倒置的无底圆锥形容器，圆锥的底面圆周与鱼缸的底面正方形相切，圆锥的顶点在鱼缸的缸底上，现在向鱼缸内随机地投入一粒鱼食，则“鱼食能被鱼缸内在圆锥外面的鱼吃到”的概率是(

)

πA．1－

4πC.

4答案

A 解析

鱼缸底面正方形的面积为22＝4，圆锥底面圆的面积为π.所以“鱼食能被鱼缸内在圆π锥外面的鱼吃到”的概率是1－，故选A. 4

πB.

12πD．1－

12