复习参考题公开课教案

正弦定理习题课

明目标、知重点

1.熟记并能应用正弦定理的有关变形公式解决三角形中的问题.2.能根据条件，判断三角形解的个数.3.能利用正弦定理、三角变换解决较为复杂的三角形问题．

1．正弦定理的常见变形：

(1)sin A∶sin B∶sin C＝a∶b∶c；

a＋b＋cabc(2)＝＝＝＝2R；

sin Asin Bsin Csin A＋sin B＋sin C(3)a＝2Rsin A，b＝2Rsin B，c＝2Rsin C；

abc(4)sin A＝，sin B＝，sin C＝. 2R2R2R2．三角变换公式

(1)sin(α＋β)＝sin αcos β＋cos αsin β；

(2)sin(α－β)＝sin αcos β－cos αsin β；

(3)sin 2α＝2sin αcos α.

[情境导学]

我们应用正弦定理解三角形时，已知三角形的两边及其中一边的对角往往得出不同情形的解，有时一解，有时两解，有时又无解，这究竟是怎么回事？

探究点一

判断三角形解的个数

思考1

在△ABC中，若A>B，一定有sin A>sin B吗？若sin A>sin B，是否也一定有A>B?

答

由A>B，得a>b，

∴2Rsin A>2Rsin B，即sin A>sin B，

由sin A>sin B，得2Rsin A>2Rsin B，即a>b. ∴A>B. 思考2

已知a，b和A，用正弦定理求B时的各种情况以列表方式写出．

答

A为锐角

A为钝角或直角

图形

关系式

解的

个数

例1

在△ABC中，已知a＝20 cm，b＝28 cm，A＝40°，解三角形(角度精确到1°，边长精确到1 cm)．

解

根据正弦定理，sin B＝bsin A28sin 40°＝≈0.899 9. a20a＝bsin A 一解

bsin A

a≥b 一解

a>b

一解

因为0°

sin Asin 40°asin C20sin 24°(2)当B≈116°时，C＝180°－(A＋B)≈180°－(40°＋116°)＝24°，c＝＝≈13(cm)．

sin Asin 40°反思与感悟

已知两边和其中一边的对角解三角形时，首先求出另一边的对角的正弦值，根据该正弦值求角时，要根据已知两边的大小情况来确定该角有一个值还是两个值．

跟踪训练1

已知一三角形中a＝23，b＝6，A＝30°，判断三角形是否有解，若有解，解该三角形．

解

a＝23，b＝6，absin A，

所以本题有两解，由正弦定理得，

bsin A6sin 30°3sin B＝＝＝，故B＝60°或120°. a223当B＝60°时，C＝90°，c＝a2＋b2＝43；

当B＝120°时，C＝30°，c＝a＝23. 所以B＝60°，C＝90°，c＝43或B＝120°，C＝30°，c＝23. 探究点二

利用正弦定理求最值或范围

例2

在锐角△ABC中，角A，B，C分别对应边a，b，c，且a＝2bsin A，求cos A＋sin C的取值范围．

解

∵a＝2bsin A，

∴由正弦定理得sin A＝2sin Bsin A，

1π∴sin B＝.∵B为锐角，∴B＝. 26令y＝cos A＋sin C＝cos A＋sin[π－B＋A]

π＋A

＝cos A＋sin6ππ＝cos A＋sin cos A＋cos sin A

66π33A＋. ＝cos A＋sin A＝3sin322ππππ由锐角△ABC知，－B

∵

在三角形中解决三角函数的取值范围或最值问题的方法：(1)利用正弦定理理清三角形中基本量间的关系或求出某些量．(2)将要求最值或取值范围的量表示成某一变量的函数(三角函数)，从而转化为函数的值域或最值的问题．

c跟踪训练2

在△ABC中，若C＝2B，求的取值范围．

b解

因为A＋B＋C＝π，C＝2B，

π所以A＝π－3B>0，所以0

31所以

bsin Bsin Bc所以1<2cos B<2，故1<<2. b探究点三

正弦定理与三角变换的综合应用

例3

已知△ABC的三个内角A、B、C的对边分别为a、b、c，若a＋c＝2b，且2cos 2B－8cos B＋5＝0，求角B的大小并判断△ABC的形状．

解

∵2cos 2B－8cos B＋5＝0，

∴2(2cos2B－1)－8cos B＋5＝0. ∴4cos2B－8cos B＋3＝0，

即(2cos B－1)(2cos B－3)＝0. 13解得cos B＝或cos B＝(舍去)．

22π∵0

π由正弦定理得sin A＋sin C＝2sin B＝2sin ＝3. 32π－A＝3，

∴sin A＋sin3∴sin A＋sin 2π2πcos A－cos sin A＝3. 33π33A＋＝1. 化简得sin A＋cos A＝3，∴sin622ππππ∵0

反思与感悟

借助正弦定理可以实现三角形中边角关系的互化，在转化为角的关系后，常常利用三角变换公式进行化简，从而进行三角形形状的判断、三角恒等式的证明．

跟踪训练3

已知方程x2－(bcos A)x＋acos B＝0的两根之积等于两根之和，且a、b为△ABC的两边，A、B为两内角，试判断这个三角形的形状．

解

设方程的两根为x1、x2，

x1＋x2＝bcos A，由根与系数的关系得

xx＝acos B，12

∴bcos A＝acos B. 由正弦定理得sin Bcos A＝sin Acos B，

∴sin Acos B－cos Asin B＝0，sin(A－B)＝0. ∵A、B为△ABC的内角，

∴0

∴A－B＝0，即A＝B. 故△ABC为等腰三角形．

[呈重点、现规律]

1．已知两边和其中一边的对角，求第三边和其它两个角，这时三角形解的情况可能无解，也可能一解或两解．首先求出另一边的对角的正弦值，当正弦值大于1或小于0时，这时三角形解的情况为无解；当正弦值大于0小于1时，再根据已知两边的大小情况来确定该角有一个值还是两个值．

2．判断三角形的形状，最终目的是判断三角形是不是特殊三角形，当所给条件含有边和角时，应利用正弦定理将条件统一为“边”之间的关系式或“角”之间的关系式．