阅读与思考 三角学与天文学优秀公开课教案

课题

教

学

目

标

重点

难点

知识与技能

过程与方法

1.2.1 任意角的三角函数 任意角的三角函数的定义，会求角α的各三角函数值

正确理解三角函数是以实数为自变量的函数

学习转化的思想，培养学生严谨治学、一丝不苟的科学精神

情感态度价值观

任意角的三角函数的定义；以及这三种函数的第一组诱导公式。

用角的终边上的点的坐标来刻画三角函数；三角函数符号

教学内容

探究点一

锐角三角函数的定义

问题1 Rt△ABC中，∠C＝90°，若已知a＝3，

b＝4，c＝5，试求sin A，cos B，sin B，cos A，

tan A，tan B的值．

分析：

问题2 如图，锐角α的顶点与原点O重合，

始边与x轴的非负半轴重合，在α终边上

任取一点P(a，b)，它与原点的距离为r，

作PM⊥x轴，你能根据直角三角形中三角

函数的定义求出sin α，cos α，tan α吗？

分析：

问题3 如图所示，在直角坐标系中，以原

点为圆心，以单位长度为半径的圆为单位

圆．锐角α的终边与单位圆交于P(x，y) 点，则有：sin α＝ ，cos α＝ ，

tan α＝ . 探究点二

任意角三角函数的概念

关于任意角三角函数定义，总的来说就两种：“单位圆定义法”与“终边定义法”．根据相似三角形对应边成比例．可知这两种定义方法本质上是一致的．

教学内容

教学环节与活动设计

教

学

设

计

教学环节与活动设计

问题1 单位圆定义法：

设α是一个任意角，它的终边与单位圆

交于点P(x，y)，那么： 叫做α的正弦，

记作sin α，即sin α＝ ；

叫做α的余弦，记作cos α，即cos α＝ ；

y叫做α的正切，记作tan α，即tan α＝ (x≠0)．

x问题2 终边定义法：

设角α终边上任意一点的坐标为(x，y)，它与原点的距离为

r，则有sin α＝___，cos α＝___，tan α＝___ (x≠0)，其中

r＝x2＋y2>0.

问题3 由三角函数的定义知，三角函数值是一个比值，即一个实数，它的大小只与角α的终边位置有关，即与角有关，与角α终边上P点的位置无关．

请以角α为第二象限角为例，借助三角形相似的知识证明上述两种定义是一致的．

证明分析：

探究点三

三角函数值在各象限的符号

教学内容

三角函数的定义告诉我们，三角函数在各象限内的符号，取决于x，y的符号．

(1)sin α＝(r>0)，因此sin α的符号与y的符号相同，当α的终边在第 象限时，sin α>0；当α的终边在第 象限时，sin α<0. (2)cos α＝(r>0)，因此cos α的符号与x的符号相同，当α的终边在第 象限时，cos α>0；当α的终边在第 象限时，cos α<0. (3)tan α＝，因此tan α的符号由x、y确定，当α教

学

设

计

终边在第 象限时，xy>0，tan α>0；当α终边在第 象限时，xy<0，tan α<0.

三角函数值在各象限内的符号，如图所示：

教学环节与活动设计

yrxryx

三角函数值的符号在以后学习中经常用到，必须熟记，可根据定义记，也可按以下口诀记忆：一全正，二正弦，三正切，四余弦(是正的)．

小结

利用三角函数的定义，求一个角的三角函数，需要确定三个量：角的终边上任意一个异于原点的点P的横坐标x、纵坐标y、点P到原点的距离r.特别注意，当点的坐标含有参数时，应分类讨论．

教

1．任意角的三角函数的定义；

学

2．三角函数的定义域、值域；

小

3．三角函数的符号及诱导公式。

结

课后

反思