2.5.2 向量在物理中的应用举例教案3

天心区一中教师备课本

课题

2.5.2 向量在物理中的应用举例

知识目标

能力目标

情感目标

1.通过力的合成与分解的物理模型,速度的合成与分解的物理模型,掌握利用向量方法研究物理中相关问题的步骤,明了向量在物理中应用的基本题型,进一步加深对所学向量的概念和向量运算的认识. 2.通过对具体问题的探究解决,进一步培养学生的数学应用意识,提高应用数学的能力.体会数学在现实生活中的重要作用.养成善于发现生活中的数学,善于发现物理及其他科目中的数学及思考领悟各学科之间的内在联系的良好习惯.【来教

学

目

标

教

材

分

析

教学重点:1.运用向量的有关知识对物理中力的作用、速度的分解进行相关分析和计算.2.归纳利用向量方法解决物理问题的基本方法. 教学难点:将物理中有关矢量的问题转化为数学中向量的问题. ⒈

平面两向量数量积的坐标表示

已知两个非零向量a(x1,y1)，b(x2,y2)，试用a和b的坐标表示ab. 设i是x轴上的单位向量，j是y轴上的单位向量，那么ax1iy1j，bx2iy2j

22所以ab(x1iy1j)(x2iy2j)x1x2ix1y2ijx2y1ijy1y2j

又ii1，jj1，ijji0，所以abx1x2y1y2

这就是说：两个向量的数量积等于它们对应坐标的乘积的和.即abx1x2y1y2

2. 平面内两点间的距离公式

设a(x,y)，则|a|xy或|a|（2）如果表示向量222x2y2. a的有向线段的起点和终点的坐标分别为(x1,y1)、(x2,y2)，那么|a|(x1x2)2(y1y2)2(平面内两点间的距离公式) 实

施

教

学

过

程

分

析

3、

向量垂直的判定

设a(x1,y1)，b(x2,y2)，则ab

x1x2y1y20

4、

两向量夹角的余弦（0）

cos =ab|a||b|x1x2y1y2x1y122x2y222

三、

讲解范例：

例1：设a = (5，

7)，b = (6，

4)，求a·b及a、b间的夹角θ(精确到1o)

例2 ：已知A(1，

2)，B(2，

3)，C(2，

5)，试判断△ABC的形状，并给出证明.

例3 ：已知a = (3，

1)，b = (1，

2)，求满足xa = 9与xb = 4的向量x.

解：设x = (t，

s)，

xa93ts9t2

由

∴x = (2，

3) xb4t2s4s3例4 已知a＝（１，3），b＝（3＋１，3－１），则a与b的夹角是多少?

分析：为求a与b夹角，需先求a·b及｜a｜·｜b｜，再结合夹角θ的范围确定其值. 解：由a＝（１，3），b＝（3＋１，3－１）

有a·b＝3＋１＋3（3－１）＝４，｜a｜＝２，｜b｜＝２2．

记a与b的夹角为θ，则ｃｏｓθ＝ab2又∵０≤θ≤π，∴θ＝

ab24评述：已知三角形函数值求角时，应注重角的范围的确定. 例5 如图，以原点和A(5，

2)为顶点作等腰直角△OAB，使B = 90，求点B和向量AB的坐标. 解：设B点坐标(x，

y)，则OB= (x，

y)，AB= (x5，

y2) ∵OBAB

∴x(x5) + y(y2) = 0即：x2 + y2

5x

 2y = 0 又∵|OB| = |AB|

∴x2 + y2 = (x5)2 + (y2)2即：10x + 4y = 29 73xxxy5x2y02212或由

3710x4y29y1y22222∴B点坐标(,)或(,)；AB=(723237223773,)或(,)

2222例6 在△ABC中，AB=(2，

3)，AC=(1，

k)，且△ABC的一个内角为直角，求k值. 解：当A = 90时，ABAC= 0，∴2×1 +3×k = 0

∴k =3

2当B = 90时，ABBC= 0，BC=ACAB= (12，

k3) = (1，

k3) ∴2×(1) +3×(k3) = 0

∴k =课堂练习：

1.若a=(-4，3)，b=(5，6)，则3|a|－４a·b＝（

）A.23

B.57

C.63

D.83 2.已知A(1，2)，B(2，3)，C(-2，5)，则△ABC为（

）

A.直角三角形

B.锐角三角形

C.钝角三角形

D.不等边三角形

3.已知a=(4，3)，向量b是垂直a的单位向量，则b等于（

）

A.(,)或(,)B.(,)或(,)C.(,)或(4.a=(2，3)，b=(-2，4)，则(a+b)·(a-b)=

. 5.已知A(3，2)，B(-1，-1)，若点P(x，-２11313

当C = 90时，ACBC= 0，∴1 + k(k3) = 0

∴k =

323455435534553545354543,)553434(,)或(,)

55551)在线段AB的中垂线上，则x=

. 26.已知A(1，0)，B(3，1)，C(2，0)，且a=BC，b=CA，则a与b的夹角为

. 四、小结:

1、平面向量数量积的坐标表示，向量的模，两向量夹角，向量垂直的条件。

2、数量积的坐标运算规律，夹角和距离公式、两向量垂直的坐标表示。

五、课后作业:课本习题2.4A组8、9、10 教

学

反

思