小结优质课教案

随机事件的概率复习小结

成都十七中

谢丽琼

教学重点：

1、本章涉及的概念比较多，要真正理解它们的实质，搞清它们的区别与联系．了解随机事件发生的不确定性和频率的稳定性，要进一步了解概率的意义以及频率与概率的区别．

2、应用互斥事件的概率加法公式，一定要注意首先确定事件彼此是否互斥，然后分别求出各事件发生的概率，再求和．求较复杂的概率通常有两种方法：一是将所求事件转化为彼此互斥的事件的和；二是先求其对立事件的概率，然后再应用公式P(A)＝1－P(A)(事件A与事件A互为对立事件)求解．

教学难点：

应用互斥事件的概率加法公式，一定要注意首先确定事件彼此是否互斥，然后分别求出各事件发生的概率，再求和．

教学过程：

1．有关事件的概念

(1)必然事件：在条件S下，一定会发生的事件，叫做相对于条件S的必然事件，简称必然事件．

(2)不可能事件：在条件S下，一定不会发生的事件，叫做相对于条件S的不可能事件，简称不可能事件．

(3)确定事件：必然事件与不可能事件统称为相对于条件S的确定事件，简称确定事件．

(4)随机事件：在条件S下可能发生也可能不发生的事件，叫做相对于条件S的随机事件，简称随机事件．

(5)事件的表示方法：确定事件和随机事件统称为事件，一般用大写字母A，B，C…表示．

2．对于概率的定义应注意以下几点

(1)求一个事件的概率的基本方法是通过大量的重复试验．

(2)只有当频率在某个常数附近摆动时，这个常数才叫做事件A的概率．

(3)概率是频率的稳定值，而频率是概率的近似值．

(4)概率反映了随机事件发生的可能性的大小．

(5)必然事件的概率为1，不可能事件的概率为0，故0≤P(A)≤1. 典型例题：

题型一

随机事件的概率

例1

对一批U盘进行抽检，结果如下表：

抽出件数a 50

100

200

300

400

500

次品件数b b次品频率

a(1)计算表中次品的频率；

3

4

5

5

8

9

(2)从这批U盘中任抽一个是次品的概率约是多少？

(3)为保证买到次品的顾客能够及时更换，要销售2 000个U盘，至少需进货多少个U盘？

解

(1)表中次品频率从左到右依次为0.06,0.04，0.025，0.017,0.02,0.018. (2)当抽取件数a越来越大时，出现次品的频率在0.02附近摆动，所以从这批U盘中任抽一个是次品的概率约是0.02. (3)设需要进货x个U盘，为保证其中有2 000个正品U盘，则x(1－0.02)≥2 000，因为x是正整数，

所以x≥2 041，即至少需进货2 041个U盘．

跟踪训练1

某射击运动员为备战奥运会，在相同条件下进行射击训练，结果如下：

射击次数n 击中靶心次数m 10

8

20

19

50

44

100

92

200

178

500 455 (1)该射击运动员射击一次，击中靶心的概率大约是多少？

(2)假设该射击运动员射击了300次，则击中靶心的次数大约是多少？

(3)假如该射击运动员射击了300次，前270次都击中靶心，那么后30次一定都击不中靶心吗？

(4)假如该射击运动员射击了10次，前9次中有8次击中靶心，那么第10次一定击中靶心吗？

解

(1)由题意得，击中靶心的频率分别为0.8,0.95，0.88，0.92,0.89,0.91，当射击次数越来越多时，击中靶心的频率在0.9附近摆动，故概率约为0.9. (2)击中靶心的次数大约为300×0.9＝270(次)．

(3)由概率的意义，可知概率是个常数，不因试验次数的变化而变化．后30次中，每次击中靶心的概率仍是0.9，所以不一定．

(4)不一定．

题型二

互斥事件与对立事件

1．对互斥事件与对立事件的概念的理解

(1)互斥事件是不可能同时发生的两个事件；对立事件除要求这两个事件不同时发生外，还要求二者必须有一个发生．因此对立事件一定是互斥事件，但互斥事件不一定是对立事件，对立事件是互斥事件的特殊情况．

(2)利用集合的观点来看，如果事件A∩B＝∅，则两事件是互斥的，此时A∪B的概率就可用

概率加法公式来求，即为P(A∪B)＝P(A)＋P(B)；如果事件A∩B≠∅，则可考虑利用古典概型的定义来解决，不能直接利用概率加法公式．

(3)利用集合的观点来看，如果事件A∩B＝∅，A∪B＝U，则两事件是对立的，此时A∪B就是必然事件，可由P(A∪B)＝P(A)＋P(B)＝1来求解P(A)或P(B)．

2．互斥事件概率的求法

(1)若A1，A2，…，An互斥，则P(A1∪A2∪…∪An)＝P(A1)＋P(A2)＋…＋P(An)．

(2)利用这一公式求概率的步骤：①要确定这些事件彼此互斥；②先求出这些事件分别发生的概率，再求和．值得注意的是：①是公式的使用条件，如不符合，是不能运用互斥事件的概率加法公式的．

3．对立事件概率的求法

P(Ω)＝P(A∪A)＝P(A)＋P(A)＝1，由公式可得P(A)＝1－P(A)(这里A是A的对立事件，Ω为必然事件)．

4．互斥事件的概率加法公式是解决概率问题的重要公式，它能把复杂的概率问题转化为较为简单的概率或转化为其对立事件的概率求解．

例2

某人在如图所示的直角边长为4 m的三角形地块的每个格点(指纵、横直线的交叉点以及三角形的顶点)处都种了一株相同品种的作物．根据历年的种植经验，一株该种作物的年收获量Y(单位：kg)与它的“相近”作物株数X(单位：株)之间的关系如下表所示：

X Y 1

51

2

48

3

45

4 42 这里，两株作物“相近”是指它们之间的直线距离不超过1 m.

(1)完成下表，并求所种作物的平均年收获量：

Y 频数

51

48

4

45

42

(2)在所种作物中随机选取一株，求它的年收获量至少为48 kg的概率．

解

(1)所种作物的总株数为1＋2＋3＋4＋5＝15，其中“相近”作物株树为1的作物有2株，“相近”作物株数为2的作物有4株，“相近”作物株数为3的作物有6株，“相近”作物株数为4的作物有3株，列表如下：

Y 频数

51

2

48

4

45

6

42 3

所种作物的平均年收获量为

51×2＋48×4＋45×6＋42×3102＋192＋270＋126690＝＝＝46. 15151524(2)由(1)，知P(Y＝51)＝，P(Y＝48)＝.故在所种作物中随机选取一株，它的年收获量至1515少为48 kg的概率为P(Y≥48)＝P(Y＝51)＋P(Y＝48)＝242＋＝. 15155跟踪训练2

黄种人群中各种血型的人所占的比例如下：

血型

该血型的人所占比例(%)

A 28

B 29

AB 8

O 35 已知同种血型的人可以互相输血，O型血可以输给任一种血型的人，其他不同血型的人不能互相输血．小明是B型血，若小明因病需要输血，问：

(1)任找一个人，其血可以输给小明的概率是多少？

(2)任找一个人，其血不能输给小明的概率是多少？

解

(1)记“血型为A型、B型、AB型、O型”分别为事件A′，B′，C′，D′. 由已知，得P(A′)＝0.28，P(B′)＝0.29，P(C′)＝0.08，P(D′)＝0.35. 因为B型、O型血可以输给B型血的人，

所以“可以输给B型血的人”为事件B′∪D′. 根据互斥事件的概率加法公式，有

P(B′∪D′)＝P(B′)＋P(D′)＝0.29＋0.35＝0.64. 故任找一个人，其血可以输给小明的概率是0.64. (2)方法一

由于A型、AB型血不能输给B型血的人，故“不能输给B型血的人”为事件A′∪C′. 根据互斥事件的概率加法公式，有

P(A′∪C′)＝P(A′)＋P(C′)＝0.28＋0.08＝0.36. 故任找一个人，其血不能输给小明的概率是0.36. 方法二

由(1)，知不能输血给B型血的人的概率为1－P(B′∪D′)＝1－0.64＝0.36. 故任找一个人，其血不能输给小明的概率是0.36.