阅读与思考 向量及向量符号的由来优质公开课教案

人教A版高中数学

必修4 第二章第一节

阅读与思考《向量及向量符号的由来》

汕头市潮阳区河溪中学

黄友壮

【教材分析】本节内容选自人教A版高中数学必修4第二章第一节。向量是近代数学中重要和基础的数学概念之一，有深刻的几何背景及代数意义，是沟通代数、几何、三角的得力工具。向量的概念是从大量的生活实例和丰富的物理素材中抽象出来的。《普通高中数学课程标准》中要求：“了解向量丰富的实际背景，理解平面向量及其运算的意义，能用向量语言和方法表述和解决数学和物理中的一些问题，发展运算能力和解决实际问题的能力。”本节课旨在让学生了解向量及向量符号的由来，拓宽知识面，提升数学文化素养。

【学情分析】高一学生在学科相关知识拓展能力方面相对较弱。由于刚开始接触向量，学生对向量及向量符号的由来可以说是一知半解，并且对向量的认识还是比较单一的，往往只考虑大小而忽略方向。但学生可借鉴高一物理中对位移、力、速度等物理量的认识来理解向量的发展历史及其应用。

【教学目标】

1、知识与技能：（1）了解向量及向量符号的由来；（2）掌握向量的定义及其符号表示。（3）学会用向量及其符号解决一些简单问题。

2、过程与方法：（1）通过借鉴物理中对一些矢量的认识来学习向量及其符号表示，加深理解向量的发展历史及其应用；（2）渗透由具体到抽象的思想，培养学生善于阅读，善于思考的良好习惯，养成科学的学习方法。

3、情感目标与价值观：（1）让学生体会数学家、物理学家们对向量的建立与发展做出的巨大贡献，并认识到数学与物理的紧密联系；（2）让学生意识到数学是源于生活，用于生活的；（3）激发学生学习数学的热情，树立科学的唯物主义观。

【教学重点】（1）向量的起源及其发展历史；（2）向量的三种表示方法。

【教学难点】（1）让学生体会数学家、物理学家们对向量发展做出的巨大贡献；（2）向量的三种表示方法；（3）向量及向量符号的的简单应用。

【教学准备】

多媒体设备

【教学过程】

一、导入

1、提问：三斤棉花与两斤铁，哪个重？

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设计意图：说明日常的一些事物有大小之分。

2、成语故事：南辕北辙是一个成语，意思是心想往南而车子却向北行。比喻行动和目的正好相反。出自《战国策·魏策四》：“犹至楚而北行也。”

设计意图：说明方向的重要性。

3、提问：在数学中，我们把这种既有大小又有方向的量叫做什么？

设计意图：引入新课《向量及向量符号的由来》。

二、向量的起源

向量，最初应用于物理学，被称为矢量。

判断下列哪些是向量？

（1）质量

（2）力

（3）速度

很多物理量，如力、速度、位移以及电场强度、磁感应强度等都是向量。

大约公元前350年，古希腊著名学者亚里士多德就知道了力可以表示成向量，两个力的组合作用可用著名的平行四边形法则来得到。

“向量”一词来自力学、解析几何中的有向线段。最先使用有向线段表示向量的是英国大科学家牛顿。

向量定义：在数学中，向量（也称为欧几里得向量、几何向量、矢量），指具有大小和方向的量。它可以形象化地表示为带箭头的线段。箭头所指：代表向量的方向；线段长度：代表向量的大小。与向量对应的量叫做数量（物理学中称标量），数量（或标量）只有大小，没有方向。

向量是一种带几何性质的量，除零向量外，总可以画出箭头表示方向，线段长表示大小的有向线段来表示它。

设计意图：通过熟悉的物理量帮助学生认识向量的起源，理解向量的定义，并渗透由具体到抽象的数学思想。

三、向量符号的由来

1806年，瑞士人阿尔冈（R.Argand，1768-1822）以AB来表示一个有向线段或向量。1827年，莫比乌斯(Möbius，1790-1868 ) 以AB表示起点为A，终点为B的向量，这种用法被数学家广泛接受。

另外，哈密尔顿（W.R.Hamilton，1805-1865）、吉布斯（J. W. Gibbs，1839-1903）等人则以小写希腊字母表示向量。

1912年，兰格文用表示a表示向量，以后，字母上加箭头表示向量的方法逐渐流行，尤其在手写稿中为了方便印刷，用粗黑体小写字母a，b等表示向量，这两种符号一直沿用至今。

设计意图：通过介绍，学生了解到向量符号的由来是一个逐渐演变的过程。

四、向量的三种表示方法

1、代数表示法

一般印刷用粗黑体的小写字母（a、b、c等）来表示，手写用在a、b、c等字母上加一箭头（→）表示，也可以用大写字母AB、CD上加一箭头（→）等表示。

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2、几何表示法

向量可以用有向线段来表示。长度为0的向量叫做零向量，长度等于1个单位的向量，叫做单位向量。

箭头所指的方向表示向量的方向。有向线段的长度表示向量的大小。

3、坐标表示法

在平面直角坐标系中，分别取与x轴、y轴方向相同的两个单位向量i，j作为一组基底。a为平面直角坐标系内的任意向量，以坐标原点O为起点,A为终点作向量a。由平面向量基本定理可知，有且只有一对实数（x,y），使得a=xi+yj，因此把实数对(x,y)叫做向量a的坐标，记作a=(x,y)。这就是平面向量a的坐标表示。

在空间直角坐标系中，分别取与x轴、y轴，z轴方向相同的3个单位向量i，j，k作为一组基底。若a为该坐标系内的任意向量，以坐标原点O为起点, A为终点作向量a。由空间基本定理知，存在唯一的有序实数组(x,y,z)，使得a=xi+yj+kz，因此把实数组(x,y,z)叫做向量a的坐标，记作a=(x,y,z)。这就是空间向量a的坐标表示。

(x,y,z)就是点A的坐标，其中x 叫做点A的横坐标，y叫做点A的纵坐标，z叫做点A的竖坐标。

对于多维的空间向量，可以通过类推得到。

设计意图：向量的三种表示方法既是重点也是难点，通过阅读与多媒体演示，渗透数形结合思想，为向量这一章的深入学习打下基础。

五、向量的发展历史

向量能够进入数学并得到发展，首先应从复数的几何表示谈起。1797年，丹麦数学家威塞尔（C.Wessel，1745-1818）首次利用坐标平面上的点来表示复数a+bi（a,b为有理数，且不同时等于0），并利用具有几何意义的复数运算来定义向量的运算。把坐标平面上的点用向量表示出来，并把向量的几何表示用于研究几何问题与三角问题。人们逐步接受了复数，也学会了利用复数来表示和研究平面中的向量，向量就这样平静地进入了数学中。

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相关拓展：数系的扩充、复数的概念。

复数的概念：现在我们引入这样一个数

i

，把

i

叫做虚数单位，并且规定：

2（1）i



1；

（2）实数可以与

i

进行四则运算，在进行四则运算时，原有的加法与乘法的运算律(包括交换律、结合律和分配律)仍然成立。

思考：一个复数a + b i

(a , b∈R)由什么唯一确定？

但复数的利用是受限制的，因为它仅能用于表示平面，若有不在同一平面上的力作用于同一物体，则需要寻找所谓三维“复数”以及相应的运算体系。

19世纪中期，英国数学家哈密尔顿发明了四元数（包括数量部分和向量部分），以代表空间的向量。他的工作为向量代数和向量分析的建立奠定了基础。

随后，电磁理论的发现者，英国的数学物理学家麦克斯韦把四元数的数量部分和向量部分分开处理，从而创造了大量的向量分析。

三维向量分析的开创，以及同四元数的正式分裂，是英国的居伯斯和海维塞德于19世纪80年代各自独立完成的。他们引进了两种类型的乘法，即数量积和向量积。

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向量积与数量积不同，它的运算结果是一个向量而不是一个数量。其应用十分广泛，通常应用于物理学光学和计算机图形学中。

从此，向量的方法被引进到数学分析和解析几何中来，并逐步完善，成为了一套优良的数学工具。

设计意图：通过阅读，学生认识到向量的建立与发展经历了一个漫长的过程，是无数个优秀的数学家、物理学家、天文学家等集体智慧的结晶，并且还随着时代在不断发展中。培养学生善于阅读，善于思考，热爱科学的良好习惯。

六、向量及其符号的简单应用

1、象棋残局

思考：

（1）黑象至少需要几步才能吃掉红车（假设红方全不动）？

（2）你能用向量符号表示出它的行走路径吗？

（3）若一格子是单位为1的正方形，黑象走了多少路程？

（4）黑马至少需要几步才能吃掉红帅（假设红方全不动）？

（5）你能用向量符号表示出它的行走路径吗？

（6）若一格子是单位为1的正方形，黑马走了多少路程？

安排5-6分钟给学生分组讨论，然后第（1）-（3）问由学生集体回答，第（4）-（6）问叫学生在黑板上写出答案。

设计意图：象棋残局活动增强了教学趣味性，激发学生兴趣。通过动手参与，学生加深认识到向量既有大小又有方向这一特征及其符号表示。同时，分组讨论还培养学生团队协作精神。

2、小船过河

小船在d=200m宽的河水中行驶，船在静水中v船=4m/s，水流速度v水=2m/s。

思考：

（1）要使船能够垂直地渡过河去，那么应向何方划船？

（2）船垂直地渡过河去，需要多长时间？

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安排5-6分钟给学生思考，解答，并叫学生在黑板上写出答案。

设计意图：小船过河考查的是物理学中的“运动的合成与分解”。学生通过作答，了解到向量这一工具在物理学中发挥着重大作用，认识到数学与物理的紧密联系，意识到数学是源于生活、用于生活的。

【课后作业】

利用网络搜索有关向量的趣味小故事，并与周围同学分享。

【板书设计】

向量及向量符号的由来

1、向量的起源

2、向量符号的由来

3、向量的三种表示方法：代数、几何、坐标表示法

4、向量的发展历史

5、向量及其符号的简单应用

【参考文献网络链接】

1、

https://baike.baidu.com/item/%E5%90%91%E9%87%8F/1396519?fr=aladdin

2、

https://baike.baidu.com/item/%E5%8D%97%E8%BE%95%E5%8C%97%E8%BE%99/827866?fr=aladdin

3、

https://baike.baidu.com/item/%E6%9C%89%E5%90%91%E7%BA%BF%E6%AE%B5/2474221

4、

https://baike.sogou.com/v464191.htm?fromTitle=%E5%90%91%E9%87%8F%E7%A9%8D

【教学反思】

这节课选自人教A版高中数学必修4第二章第一节的阅读与思考，属于数学文化知识的拓展内容。主要讲述了向量的起源、向量符号的由来、向量的三种表示方法、向量的发展历史、向量及其符号的简单应用这五方面内容。学生从图片及文字上了解到数学家、物理学家们对向量的建立与发展做出的巨大贡献，并能联系学过的物理知识来加深理解向量及向量符号的由来。通过象棋残局，小船过河两道应用题，培养学生分析问题，解决问题的能力，突现了学生的主体地位。当然了，这节课还可以进行优化。比如把【课后作业】提前布置，由学生在课堂展示搜索到的向量趣味小故事，更好地激发学生参与课堂活动的热情。

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