2.1.3 相等向量与共线向量优质课教学设计

三点共线向量式定理的应用

一、向量的表达式

.

若点

1.（2008年高考全国Ⅰ卷理科第3题文科第5题）在 中，

， ，则

满足

等于 （ ）

C.

A.

B.

D.

2.（2006年高考广东卷理科第4题）如图3，

是 的边 上的中点，则向量 等于 （ ）

B.

C.

D.

A.

B A D C 图3 B A 图4 C D 3.（2015年高考全国Ⅰ卷理科第7题）如图4，设D为 所在平面内一点，

，则 （ ）

B.

A.

D.

C.

4.（2008年高考广东卷理科第8题）在平行四边形 中， 与 交于点

，

是线段

,

则

等于

的中点， 的延长线与 交于点

.若

，

（ ）

A.

B.

C.

D.

5.（2010年高考全国Ⅱ卷理科第8题文科第10题）在 中，点

在 上， 平分

,

则

等于 ∠ . 若

，

（ ）

1

A.

B.

C.

D.

二、相关系数

6.（2014年高考天津卷理科第8题）已知菱形 的边长为2，∠

120°，点

、

分别在边 、 上，

λ ，

μ . 若

则λ

μ

等于 （ ）

A. B. C. D.

其中 7.（2007年高考陕西卷理科第15题）如图5，平面内有三个向量 与 的夹角为30°，且

，

若的夹角为120°， 与

λ （

，

）

则

.

C B O 图5 A M B O 图6 A N C 8.（2007年高考江西卷理科第15题）如图6，在 中，点

是 的中点，过点

的直

，

,则

线分别交直线 、 于不同的两点

,若

. 9.（2013年高考江苏卷理科第10题）设

分别是 的边 、 上的点，

λ

(λ、λ为实数) ，则

λ

,

, 若

λ

λ

.

10.（2014年全国高中数学联赛山东赛区预赛第3题）设

为 的重心， 过重心

，

，

，

则

．

且满足

三、参数的取值范围或最值

2

和

, 它11.（2009年高考安徽卷理科第14题）如图7，给定两个长度为1的平面向量

, 其中

，们的夹角为120°.点

以

为圆心的圆弧AB上运动.若 则

的最大值是 .

O 图7 B C A O M N P B A ⌒图8 12.（2006年高考湖南卷理科第15题）如图8， ∥ ，点

在由射线 ，线段 及

, 则

的取值范围 的延长线围成的区域内（不含边界）运动，且 是 ;当

时，

的取值范围是 . 13.（2016年全国高中数学联赛河北赛区预赛（高二年级组）第4题）在 中，

为边

, 则

的最小值

上的中点，动点

在线段 上移动时，若 是 .

14.（2015年12月福建省上杭一中高三月考理科第5题）设

＞

＞

，

为坐标原点，若

三点共线，则

的最小值是

（ ）

A.2 B.4 C.6 D.8

15.（2015年北京大学优秀中学生体验营数学试题第2题）已知

为 的边 上的一点，

，求

的取值范围. 四、数列问题

16.（2006年高考江西卷理科第7题）已知等差数列{

}的前

项和为

，若

，且

三点共线（该直线不过原点

），则

等于 （ ）

A. 100 B. 101 C.200 D. 201

17.（2015年重庆一中高考模拟试题第9题）如图9，已知点

为 的 边上一点，

，

(n∈

)为边 上一列点，满足

,其中实

数列{

}中，

＞

，

，则数列{

}的通项公式为 3

（ ）

B 图9 A En D C A.

B.

C.

D.

五、角的余弦值

18.（2014年徐州市高三上学期期中考试第13题）已知

是 的外心，

，

，且

，则

. 若

19.（2011年全国高中数学联赛河南赛区预赛高一第4题（必修4））已知点

是锐角

，其中

，且

的外心，

，若

，求 的值.

六、其他问题

20.（2002年高考全国新课程卷理科第10题、2006年湖北武汉中学高三上学期调考理科第1题）在平面直角坐标系中，

为坐标原点，已知

两点，若点

满足

，其中有

，且

，则点C的轨迹方程为 （ ）

A.

B.

C.

D.

21.（2015年高考四川卷理科第7题）设四边形 为平行四边形，

, ，则

等于 若点

、

满足

（ ）

A. 20 B. 15 C. 9 D. 6

22.（2006年高考北京卷理科第11题）若 ， ， （

）三点共线，则

. 23.（2016年广西来宾第1次调研考试题）已知点 ， 和互不相同的点

，满足

，其中{

}，{

}分别为等差数列和等

4

比数列，

为坐标原点，若

是线段 的中点. （1）求

，

的值；

（2）点

能否在同一条直线上？请证明你的结论.

24.（1978年辽宁省中学数学竞赛第二试第2题）何一条直线分别交 、 、 于点P、

5

如图10，设 是 边上的中线N.求证：

成等差数列. A P N Q B M C 图10 任，Q、

及任一向量

，三点共线向量式定理 平面内一组基底 则当且仅当

时，

三点共线. 证明

三点共线，当且仅当有唯一一个实数

时，使

OA.………………①

，且

令

，则 向量等式①叫做直线 的向量参数方程式.

三向量共起点，

三点共线，但其位置并没有上、下1.图形的特征： （或左、右）之分；

前的系数之和等于1（

前的系数）；

2.公式的特征：向量

，即

，则当且仅当3.公式的变形：若将条件变为

，即

时，

三点共线，其特征为左边向量的系数等于右边两向量的系数之和；

，即4.

的含义：当

三点共线时，有

，则

，可见依

的值可表示相关线段比；

5.点的位置：点

的位置是随着

的变化而变化的.如图2，设 的中点为

，由平面向量加法的平行四边形法则可知：

当点

在点

处时，

；

B 当点

在点

处时，

；

当点

在点

处时，

；

当点

在线段 上（除端点）时，

；

当点

在线段 上（除端点）时，

；

当点

在线段 的延长线上时，

，

；

当点

在线段 的延长线上时，

，

；

有定理，还可进一步得到以下结论. O ·C

图2 P A

，那么 推论1 在 中，

为直线 上一点，且

6

推论2 若

在线段 上，且

，则对平面内的任意一点

，都有

推论1参见普通高中课程标准试验教科书《数学·必修4》（江苏教育出版社，2005年6月第二版）中第67页例4.

7

典型考题

（2007年高考全国Ⅱ卷文科第6题）在 中，已知

是 边上一点，若

，则等

于

（

答案

）

A. B. C.

D.

点坐

标的向量式是

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