3.3.2 均匀随机数的产生PPT及专用教学设计内容

普通高中课程标准实验教科书—数学

[人教版]

概

率

第三节

几何概型及随机模拟

一．课标要求：

1．了解随机数的意义，能运用模拟方法（包括计算器产生随机数来进行模拟）估计概率，初步体会几何概型的意义；

2．通过阅读材料，了解人类认识随机现象的过程。

二．命题走向

本讲内容在高考中所占比较轻，纵贯近几年的高考对概率要求降低，但本讲内容使新加内容，考试涉及的可能性较大。

预测07年高考：

（1）题目类型多以选择题、填空题形式出现，；

（2）本建考试的重点内容几何概型的求值问题，我们要善于将实际问题转化为概率模型处理。

三．要点精讲

1．随机数的概念

随机数是在一定范围内随机产生的数，并且得到这个范围内任何一个数的机会是均等的。

2．随机数的产生方法

（1）利用函数计算器可以得到0~1之间的随机数；

（2）在Scilab语言中，应用不同的函数可产生0~1或a~b之间的随机数。

3．几何概型的概念

如果每个事件发生的概率只与构成该事件区域的长度（面积或体积）成比例，则称这样的概率模型为几何概率模型；

4、几何概型试验的两个基本特征

（1）无限性：指在一次试验中，可能出现的结果有无限多个

（2）等可能性：每个结果的发生具有等可能性

即几何概型的试验结果是无穷多且等可能出现的。

4．几何概型的概率公式：

P（A）=构成事件A的区域长度（面积或体积）。

试验的全部结果所构成的区域长度（面积或体积）5．几种常见的几何概型

（1）设线段l是线段L的一部分,向线段L上任投一点.若落在线段l上的点数与线段L的长度成正比,而与线段l在线段l上的相对位置无关,则点落在线段l上的概率为：

P=l的长度/L的长度

（2）设平面区域g是平面区域G的一部分,向区域G上任投一点,若落在区域g上的点数与区域g的面积成正比,而与区域g在区域G上的相对位置无关,则点落在区域g上第

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概率为：

P=g的面积/G的面积

（3）设空间区域上v是空间区域V的一部分,向区域V上任投一点.若落在区域v上的点数与区域v的体积成正比,而与区域v在区域v上的相对位置无关,则点落在区域V上的概率为：

P=v的体积/V的体积

四．典例解析

1、在棱长为a的正方体ABCD﹣A1B1C1D1内任取一点P，则点P到点A的距离小于或等于a的概率为

．

A、122

B、

C、

D、

6622解：答案：；

3由由题意可得正方形的体积为a，与点A距离等于a的点的轨迹是一个八分之一个球面，体积为=则点P到点A的距离小于等于a的概率为：，=，。

2、点A为周长等于3的圆周上的一个定点，若在该圆周上随机取一点B，则劣弧长度小于1的概率为

解：答案：；

．

的第

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如图所示，∵劣弧=1，∴劣弧=1，则劣弧的长度小于1的概率为P=

3、在区间[﹣A、

，。

，]上随机取一个数x，则cosx的值介于0到之间的概率为

．

1212

B、

C、

D、

323解：答案：；

∵0＜cosx＜，∴当x∈[﹣长度为，∴在区间[﹣，，]时，x∈（﹣，﹣）∪（

，），此区间的]上随机取一个数x，则cosx的值介于0到之间的概率为P==。

4、在正方形ABCD内任取一点P，则使∠APB＜90°的概率是（

）

A．B．

C．

D．

解：答案：选C；

如图，设正方形的边长为a：图中白色区域是以AB为直径的半圆，

当P落在半圆内时，∠APB＞90°；

当P落在半圆上时，∠APB=90°；

当P落在半圆外时，∠APB＜90°；

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故使∠APB＜90°的概率P==1﹣，。

5、如图，矩形长为6，宽为4，在矩形内随机地撒300颗黄豆，数得落在椭圆外的黄豆数为96颗，以此实验数据为依据可以估计出椭圆的面积约为（

）

7.68 A．解：答案：选B；

16.32 B．

17.32 C．

8.68 D．

∵黄豆落在椭圆外的概率为：，解得：S=16.32．

即：

6、（2011•广州二模）在区间（0，1）内任取两个实数，则这两个实数的和大于的概率为（

）

A．

B．

C．

D．

解：答案：选A；

区间（0，1）内任取两个实数计为（x，y），则点对应的平面区域为下图所示的正方形，其中满足两个实数的和大于，即x+y＞的平面区域如下图中阴影部分所示：

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其中正方形面积S=1，阴影部分面积S阴影=1﹣∴两个实数的和大于的概率P=2=

，=

7、已知函数f（x）=x+bx+c，其中0≤b≤4，0≤c≤4．记函数满足为A，则事件A的概率为（

）

A．B．

解：答案：选A；

∵f（x）=x+bx+c，∴不等式以b为横坐标、c为纵坐标建立直角坐标系，

将不等式组不等式组和对应的平面区域作出，如图所示

2的事件C．

D．

，即，

对应图中的正方形ODEF，其中

D（0.4），E（4，4），F（4，0），O为坐标原点，可得S正方形ODEF=4×4=16 不等式组对应图中的四边形OHGF，

可得S四边形OHGF=S正方形ODEF﹣S△DHG﹣S△EFG=16﹣2﹣4=10 ∵事件A=，∴事件A发生的概率为P（A）===．

8、假设某人定了鲜奶，送奶工可能在早上6：30～7：30之间把鲜奶送到他家，他离开家去上学的时间是6：15～7：00之间，设送奶工到达他家的时间是x，他离开家的时间是y．用数对（x，y）表示可能的试验结果，则全部事件组成的集合Ω={（x，y）|6.5≤x≤7.5，6.25≤y≤7}．

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（1）用集合表示他能在离家前喝到鲜奶的事件A；

（2）他能在离家前喝到鲜奶的概率是多少？

解：（1）他能在离家前喝到鲜奶的事件，他离开家的时间在送奶工到达他家的时间前，

即y≥x．

∴用集合表示他能在离家前喝到鲜奶的事件A为：

A={（x，y）|y≥x，6.5≤x≤7.5，6.25≤y≤7}．

（2）如图，

Ω表示的平面区域的面积SΩ=1×0.75=0.75．

A表示的平面区域的面积SA=

∴．答：他能在离家前喝到鲜奶的概率是．

9、甲乙两人约定某天在7：00～8：00之间到达约定地点，假定每人在这段时间内随机到达，先到的等20分钟后便可以离开，则两人能会面的概率为

．

解：答案：；

由题意知本题是一个几何概型，试验包含的所有事件是Ω={（x，y）|7＜x＜8，7＜y＜8} 事件对应的集合表示的面积是s=1，

满足条件的事件是A={（x，y）|7＜x＜8，7＜y＜8，|x﹣y|＜事件对应的集合表示的面积是1﹣根据几何概型概率公式得到P==，

}，

。注：“约会问题”是“二维几何概型”的母题，几乎所有的二维几何概型都由此问题变化而得到，解决的方法就是将两个不同变量转为在x轴和y轴上变化而得，而事件发生区域也可由x，y的不等式组取得。

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10、如图，利用随机模拟的方法可以估计图中由曲线与两直线x=2及y=0所围成的阴影部分的面积S：

①先产生两组0～1的均匀随机数，a=rand （

），b=rand （

）；

②做变换，令x=2a，y=2b；（3）产生N个点（x，y），并统计满足条件的点（x，y）的个数N1，已知某同学用计算器做模拟试验结果，当N=1000时，N1=332，则据此可估计S的值为

．

解：答案：1.328；

根据题意：满足条件的点（x，y）的概率是

，∴s=1.328。

，

11、在△ABC内部随机取一点P，则事件“△PBC的面积不大于△ABC面积的”的概率是（

）

A．

解：答案：选C；

作出△ABC的高AO，当“△PBC的面积等于△ABC面积的”时，此时OP=要使““△PBC的面积不大于△ABC面积的”，则P位于阴影部分，

则△AEF的面积S1=，则阴影部分的面积为，

，

矩形的面积为10，设阴影部分的面积为s，则有

B．

C．

D．

则根据几何概型的概率公式可得“△PBC的面积小于”的概率为第

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，

12、在区间（0，1）上随机取两个数m，n，求关于x的一元二次方程x2nxm0

有实根的概率。

解：试验包含的所有事件是Ω={（m，n）|0＜m＜1，0＜n＜1} 事件对应的集合表示的面积是s=1，

满足条件的事件是n24m0，n4m0，

n4m00m1，

0n1表示的区域与正方形的面积之比是所求的概率P1。

8

13、在等腰直角三角形ABC中，过直角顶点C在∠ACB内部任作一射线CM，与线段AB交于点M，AM＜AC的概率为

．

解：答案为：；

在AB上取AC'=AC，则．

记A={在∠ACB内部任作一射线CM，与线段AB交于点M，AM＜AC}，

则所有可能结果的区域为∠ACB，事件A构成的区域为∠ACC'．

又∠ACB=90°，∠ACC'=67.5°．∴．

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注：本题若改为：“在等腰直角三角形ABC中，在AB上找一点M，则AM＜AC的概率为

．”

解：则等可能性应从线段比考虑，则P122。

2

15、有一杯2升的水，其中含有一个细菌，用一个小杯从这杯水中取出0.1升的水，求这杯水中含有这个细菌的概率。

解：P0.11（体积之比）

220h的概率。

216、已知正三棱锥S-ABC的底面边长为a，高为h，在正三棱锥内任取一点M，试求使点M到底面的距离小于解：在SA，SB，SC上取中点A1,B1,C1，则点M位于面ABC和面A1B1C1之间时，则点M11ShShhS3427

到底面的距离小于，设SABCS，则SA1B1C1，所以P31248Sh317、利用随机模拟方法计算x2y与y4围成的面积时，利用计算器产生两组0~1

b1区间的均匀随机数a1RAND，bb14

RAND，然后进行平移与伸缩变换aa142，（1）试作出所有可能的点a,b所在平面内的区域

（2）试验进行100次，前98次中，落在所求面积区域内的样本点数为64，已知最后两次试验的随机数a10.8，b1积。

解：（1）由0a11，0b11，及aa142，第

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0.3，及a10.4，b10.4，计算本次模拟得出的面bb14，得

2a22a2,0b4，于是得到矩形面积区域a,b，作图略

0b4（2）a10.8，b10.3时，a=1.2，b=1.2，又y1.221.441.2，所以点1.2,1.20.4时，a=-0.4，b=1.6，又不在x2y与y4围成的区域内，a10.4，b1y0.420.161.6，所以点0.4,1.6在x2y与y4围成的区域内，从而100次试验中，样本点落在所求面积区域内的样本点有65个，及所求区域的面积为S，则S65,解得S10.4。

16100

注：（1）两个变量将区间0,1内的随机数分别转化为区间2,2与0,4上的均匀随机数。

（2）本题（2）问是统计100次中的点数，前98次中已有64个点，最后两次中还有一个点满足，所以一共有65个点在区域内。

18、从0,10中任取一个数x，从0,6中任取一个数y，则使x5y34的概率为

解：答案：1；因0x10，所以0x55，0y6，所以0y33，

2令ax5,by3，

题型1：线长问题

0a5，使ab4的概率P0b31432351

2第

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例1．一个实验是这样做的，将一条5米长的绳子随机地切断成两条，事件T表示所切两段绳子都不短于1米的事件，考虑事件T发生的概率。

分析：类似于古典概型，我们希望先找到基本事件组，既找到其中每一个基本事件。注意到每一个基本事件都与唯一一个断点一一对应，故引例中的实验所对应的基本事件组中的基本事件就与线段AB上的点一一对应，若把离绳AB首尾两端1的点记作M、N，则显然事件T所对应的基本事件所对应的点在线段MN上。由于在古典概型中事件T的概率为T包含的基本事件个数/总的基本事件个数，但这两个数字（T包含的基本事件个数、总的基本事件个数）在引例1中是无法找到的，不过用线段MN的长除以线段AB的长表示事件T的概率似乎也是合理的。

解：P（T）=3/5。

例2．（磁带问题）乔和摩进行了一次关于他们前一天夜里进行的活动的谈话。然而谈话却被监听录音机记录了下来，联邦调查局拿到磁带并发现其中有10秒钟长的一段内容包含有他们俩犯罪的信息

然而后来发现，这段谈话的一部分被联邦调查局的一名工作人员擦掉了，该工作人员声称她完全是无意中按错了键，并从即刻起往后的所有内容都被榛掉了试问如果这10秒钟长的谈话记录开始于磁带记录后的半分钟处，那么含有犯罪内容的谈话被部分或全部偶然擦掉的概率将是多大？

解析：将3O分钟的磁带表示为长度为3O的线段R，则代表10秒钟与犯罪活动有关的谈话的区间为 r,如右图所示，10秒钟的谈话被偶然擦掉部分或全部的事件仅在擦掉开始的时间位于该区间内或始于该区间左边的任何点。

因此事件r是始于R线段的左端点且长度为112的事件。因2632r的面积230.02。

此,p(r)R的面积3090例3．假设车站每隔

10 分钟发一班车，随机到达车站，问等车时间不超过

3 分钟的概率

？

解：以两班车出发间隔

( 0，10 )

区间作为样本空间

S，0←

S

→10 乘客随机地到达，即在这个长度是

10 的区间里任何一个点都是等可能地发生，因此是几何概率问题。

要使得等车的时间不超过

3 分钟，即到达的时刻应该是图中

A 包含的样本点，

p=a的长度3== 0.3 。

S的长度10第

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题型2：面积问题

例4．投镖游戏中的靶子由边长为1米的四方板构成，并将此板分成四个边长为1/2米的小方块。实验是向板中投镖，事件A表示投中阴影部分为成功，考虑事件A发生的概率。

分析与解答：类似于引例1的解释，完全可以把此引例中的实验所对应的基本事件组与大的正方形区域联系在一起，既事件组中的每一个基本事件与大正方形区域中的每一个点一一对应，则事件A所包含的基本事件就与阴影正方形中的点一一对应，这样我们用阴影正方形的面积除以大正方形的面积表示事件A的概率是合理的。这一点我们完全可以用引例1的方法验证其正确性。

解析：P（A）=（1/2）2/12=1/4。

例5．（CB对讲机问题）（CB即CitizenBand市民波段的英文缩写）两个CB对讲机持有者，莉莉和霍伊都为卡尔货运公司工作，他们的对讲机的接收范围为25公里，在下午3:0O时莉莉正在基地正东距基地30公里以内的某处向基地行驶，而霍伊在下午3：00时正在基地正北距基地40公里以内的某地向基地行驶，试问在下午3：0O时他们能够通过对讲机交谈的概率有多大？

解：设x和y分别代表莉莉和霍伊距某地的距离，

于是0x30,0y40

则他俩所有可能的距离的数据构成有序点对(x,y),这里x，y都在它们各自的限制范围内，则所有这样的有序数对构成的集合即为基本事件组对应的几何区域，每一个几何区域中的点都代表莉莉和霍伊的一个特定的位置，

他们可以通过对讲机交谈的事件仅当他们之间的距离不超过25公里时发生（如右图）因此构成该事件的点由满足不等式

x2y225

的数对组成，此不等式等价于x2y2625

右图中的方形区域代表基本事件组，阴影部分代表所求事件，方形区域的面积为1200平方米公里，而事件的面积为

62512，

2544于是有p625/462520.41。

1200480090第

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例6．(意大利馅饼问题)山姆的意大利馅饼屋中设有一个投镖靶

该靶为正方形板．边长为18厘米，挂于前门附近的墙上，顾客花两角伍分的硬币便可投一镖并可有机会赢得一种意大利馅饼中的一个，投镖靶中画有三个同心圆，圆心在靶的中心，当投镖击中半径为1厘米的最内层圆域时．可得到一个大馅饼；当击中半径为1厘米到2厘米之间的环域时，可得到一个中馅饼；如果击中半径为2厘米到3厘米之间的环域时，可得到一个小馅饼，如果击中靶上的其他部分，则得不到谄饼，我们假设每一个顾客都能投镖中靶，并假设每个圆的周边线没有宽度，即每个投镖不会击中线上，试求一顾客将嬴得：

（a）一张大馅饼，

（b）一张中馅饼，

（c）一张小馅饼，

（d）没得到馅饼的概率

解析：我们实验的样本空间可由一个边长为18的正方形表示。右图表明R和子区域r1、r2、r3和r,它们分别表示得大馅饼、中馅饼、小馅饼或没得到馅饼的事件。

r1的面积(1)2(a)p(r1)0.01；

2R的面积18324r2的面积(2)2(1)23(b)p(r2)0.03；

R的面积324182r3的面积(3)2(2)25(c)p(r3)0.05；

2R的面积32418r4的面积324(3)23(d)p(r4)0.91。

R的面积324182题型3：体积问题

例7．（1）在400毫升自来水中有一个大肠杆菌,今从中随机取出2毫升水样放到显微镜下观察,求发现大肠杆菌的概率。

解析：由于取水样的随机性,所求事件的概率等于水样的体积与总体积之比，即2/400=0.005。

（2）如果在一个5万平方公里的海域里有表面积达40平方公里的大陆架贮藏着石油,假如在这海领域里随意选定一点钻探,问钻到石油的概率是多少? 解析：由于选点的随机性,可以认为该海域中各点被选中的可能性是一样的,因而所求概率自然认为等于贮油海域的面积与整个海域面积之比,即等于40/50000=0.0008。

例8．在线段[0，1]上任意投三个点，问由0至三点的三线段，能构成三角形与不能构成三角形这两个事件中哪一个事件的概率大。

解析：设0到三点的三线段长分别为x,y,z，即相应的

z 第

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右端点坐标为x,y,z，显然0x,y,z1。这三条线

1

C 段构成三角形的充要条件是：

A

D xyz,xzy,yzx。

在线段[0，1]上任意投三点x,y,z。与立方体

0

1

y 0x1，0y1，0z1中的点(x,y,z)

1

一一对应，可见所求“构成三角形”的概率，等价于x

B 边长为1的立方体T中均匀地掷点，而点落在

xyz,xzy,yzx区域中的概率；这也就是落在图中由ΔADC，ΔADB，ΔBDC，ΔAOC，ΔAOB，ΔBOC所围成的区域G中的概率。由于V(T)1,

111V(G)13313，

3221pV(G)/V(T)

2由此得，能与不能构成三角形两事件的概率一样大。

题型4：随机模拟

例9．随机地向半圆0y2axx2（a为正常数）内掷一点，点落在园内任何区域的概率与区域的面积成正比，求原点与该点的连线与x轴的夹角小于/4的概率.

解析：半圆域如图

y

设A‘原点与该点连线与x轴夹角小于/4’

x

由几何概率的定义

1212aa11A的面积42。



/

4

P(A)122半园的面积x aa 02例10．随机地取两个正数x和y，这两个数中的每一个都不超过1，试求x与y之和不超过1，积不小于0.09的概率.

解析：0x1,0y1，不等式确定平面域S。

A‘xy1,xy0.09’则A发生的充要条件为0xy1,1xy0.09不

等式确定了S的子域A，

y 1故：

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00.1 0.9

y 1

P(A)

0.9A的面积0.9(1x)dx

0.1S的面积x

0.40.18ln30.2

例11.

曲线y=-x2+1与x轴、y轴围成一个区域A，直线x=1、直线y=1、x轴围成一个正方形，向正方形中随机地撒一把芝麻，利用计算机来模拟这个试验，并统计出落在区域A内的芝麻数与落在正方形中的芝麻数。

答案：如下表，由计算机产生两例0~1之间的随机数，它们分别表示随机点（x,y）的坐标。如果一个点（x,y）满足y≤-x2+1，就表示这个点落在区域A内，在下表中最后一列相应地就填上1，否则填0。

x 0.598895 0.512284 0.496841 0.112796 0.359600 0.101260 …

0.947386 0.117618 0.516465 0.596393 五．思维总结

y 0.940794 0.118961 0.784417 0.690634 0.371441 0.650512 …

0.902127 0.305673 0.222907 0.969695 计数

0 1 0 1 1 1 …

0 1 1 0 1．几何概率是考研大纲上要求的基本内容，也是近年来新增考察内容之一；

2．有关几何概率的题目难度不大，但需要准确理解题意，利用图形分析问题。本讲将着重介绍如何利用图形解决几何概率的相关问题；

3．学好几何概率对于解决后续均匀分布的问题有很大帮助。

4．关于几何概型：

（1）我们是就平面的情形给出几何概型的，同样的方法显然也适用于直线或空间的情形，只需将“面积”相应地改变为“长度”、“体积”；

（2）几何概型并不限于向平面(或直线、空间)投点的试验，如果一个随机试验有无限多个等可能的基本结果，每个基本结果可以用平面(或直线、空间)中的一点来表示，而所有基本结果对应于一个区域Ω，这时，与试验有关的问题即可利用几何概型来解决。

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