阅读与思考 向量及向量符号的由来教案公开课一等奖

2.1平面向量的实际背景及基本概念

教学目标：

1．了解向量的实际背景，理解平面向量的概念和向量的几何表示；掌握向量的模、零向量、单位向量、平行向量、相等向量、共线向量等概念；并会区分平行向量、相等向量和共线向量。

2．通过引导学生联系已有活动经验，运用类比的思想，经历向量的概念、表示及特殊向量的学习，认识客观事物的数学本质，不断提高学生数学抽象和数学建模能力；经历借助有向线段表示向量的过程，渗透数学文化知识，培养学生直观想象能力，体会数学表达的简洁美。

3．学生通过学习活动，感受类比的思想和联系的观点是科学探究中常用的策略，进而提高分析问题、解决问题的学科素养。

教学重点：理解并掌握向量、零向量、单位向量、相等向量、共线向量的概念，会表示向量。

教学难点：平行向量、相等向量和共线向量的区别和联系。

教法与学法：启发引导、探究交流式的教学方式，引导学生运用联系的观点、类比的思想，抽象、形成并理解向量的相关概念。

教学过程：

（一）创设情境，提出问题

南辕北辙：战国时，有个北方人要到南方的楚国去，他从太行山脚下出发，乘着马车一直向北去。有人提醒他：“到楚国应该朝南走，你怎能往北呢?”他却说：“不要紧，我的马快着呢！”

结果怎样？原因？（马的速度再快也没用，因为方向错了）

问题1：上述情境中，涉及了物理学中的那些量？ 问题2：你能举出类似既有大小又有方向的量吗？（在数学中、物理中名称）

问题3：你能举出只有大小没有方向的量吗？

问题4：数量与向量二者的区别在哪里？

【设计意图】

（1）通过以上实例，让学生充分感受“既有大小又有方向的量”是客观存在的，进而让学生发现并讲出现实生活中具有既有大小又有方向的量．

（2）教师的追问在于激活学生已有的相关经验，进一步加深对既有大小又有方向的量的理解. （3）教师的再次追问在于形成区别，对比不同的量的必要性，反面渗透向量的本质属性之一“方向”. （二）互动探究，建构新知

1.向量定义：既有大小又有方向的量 a

A(起点)

B （终点）

2.向量的表示方法

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（1）几何表示：用有向线段表示，以A为起点、B为终点的有向线段，记作AB (注意起终点顺序). （2）字母表示：可表示AB为. a链接：向量的相关历史知识。

【设计意图】

（1）作为对一个新事物的形象表示，教师有必要做准确的陈述，并加以强调．

（2）结合学生的描述，教师引导学生适时拓展，得到向量的多种合情合理的表示．

（3）在教师引导下，理应有学生可以想到借助于有向线段来表示向量，教师借此机会进行表扬，称赞其想法与大数学家牛顿的想法不谋而合，赞扬学生的同时，渗透数学史的知识．

3.向量的长度（模）：AB或a

4.有向线段：带有方向的线段叫做有向线段，三个要素：起点、方向、长度。

5.两个特殊的向量

(1) 零向量——长度为零的向量，记作. (2) 单位向量——长度等于1个单位长度的向量．

说明：零向量、单位向量的定义都只是限制了大小。

【设计意图】旨在进一步引导学生抓住向量的重要且容易忽略的要素——方向，并再次渗透规定任意方向的合理性．且用类比的方法，突破单位向量的方向问题．有了单位长度的刻画，我们才有度量向量大小的标准．

6.向量间的关系

(1)平行向量——方向相同或相反的非零向量，记作∥∥. 规定：与任一向量平行，即∥

0(2)相等向量——长度相等且方向相同的向量，记作ab. 注意：①零向量与零向量相等；②任意两个相等的非零向量，都可以用一条有向线段来表示，并且与有向线段的起点无关．

(3)共线向量——平行向量又叫做共线向量．

说明：①平行向量可以在同一直线上，要区别于两平行线的位置关系；②共线向量可以相互平行，要区别于在同一直线上的线段的位置关系. 【设计意图】

（1）让学生参与概念的定义过程，使概念成为学生观察、概括之后的自然产物．

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（2）不仅关注概念的产生结果，更要注重概念的产生过程．尤其要重视学生用向量的概念去思维的过程．

（3）教师归纳，任意两个相等的非零向量，都可以用同一条有向线段来表示，并且与有向线段的起点无关．说明同一向量是可以平行移动的“自由之躯”．反复渗透向量具有两个要素，相等向量说明向量可以“自由平移”，这为以后解决问题带来极大方便，也为共线向量的自然引出做好铺垫．

（三）体验感悟，应用新知

【设计意图】概念是学生观察、概括之后的自然产物，让学生参与概念的辨析，重视学生用向量的概念去思维的过程，加深对对向量的理解。

例2 如图，设O是正六边形ABCDEF的中心，分别写出图中与向量OA、OB、OC相等的向量。

变式一：与向量OA长度相等的向量有多少个？

变式二：是否存在与向量OA长度相等、方向相反的向量？

变式三：与向量OA共线的向量有哪些？

【设计意图】本例及变式是结合正六边形的一些几何性质,让学生巩固相等向量和平行向量的概念,正六边形是边长等于半径并且对边互相平行的正多边形,它既是轴对称图形,又是中心对称图形,具有丰富的几何性质.要求判断OA与EF,OB与AF是否相等,是要通过长度相等方向相反的两个向量的不等,让学生从反面认识向量相等的概念.

（四）归纳小结，拓展提升

这节课你有什么收获与启发？

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（五）布置作业，巩固反馈 必修4：P77 A组1,3,4，5 优化练习 基础1-7，能力1-6 教学反思：

平面向量的实际背景及基本概念是向量知识体系中的起始内容，起着为其他知识学习奠基的重要作用。一方面，它能为其他向量知识的学习奠基，通过了解向量的实际背景，理解向量的含义及几何表示等内容，奠定学生学习向量的线性运算、平面向量的基本定理及坐标表示和平面向量数量积的知识基础；另一方面，它能为学习新的数学对象奠基，学生通过认识向量，形成向量相关概念的过程，可以获得认识其他数学对象的基本方法和途径，可以为学习和研究其他数学对象奠定方法的基础。所以，平面向量的实际背景及基本概念作为向量的起始课及概念型课，在教学中必须要有“交代问题背景、引入基本概念、渗透研究方法、构建研究蓝图”的大框架。本节课的教学内容具有如下特征。

（1）概念多。概念众多，但各概念的定义感觉并不难，所以，很多老师似乎觉得“没什么东西可讲”，通常会采用“一个定义，几个注意，典型例题，大量练习”的教学方式．这样做虽然完成了教学任务，但往往是老师讲得枯燥乏味，学生听得索然无趣。

（2）向量具有丰富的实际背景。向量集数与形于一身，有着极其丰富的实际背景，在现实生活中随处可见的位移、速度、力等既有大小又有方向的量都是它的物理背景，有向线段是它的几何背景。向量就是从这些实际对象中抽象概括出来的数学概念，经过研究，建立起完整的知识体系之后，向量又可作为数学模型，广泛地应用于解决数学、物理学科及生活中的问题。

（3）本节课的很多内容与学生的已有知识经验有很大的相关性。数量与向量、零与零向量、1与单位向量、平行线与平行向量等知识既有区别又有联系。所以，我们可以用数量加方向来刻画向量，认识到向量的两个本质属性（大小和方向）；用实数中的特殊数0与1，类比得到向量中长度为零的向量（零向量），长度为1的向量（单位向量）这两个特殊的向量；用几何图形中两直线的平行类比得到平行向量（共线向量）。这样，学生已学的旧知识就可作为产生新知识的固着点和生长点，学生通过进行类比思考，就能较为自然地得出新知识．

因此，本节课的教学重点除了向量概念、向量的表示方法、相等向量和共线向量等概念之外，更为重要的是获得这些概念的“基本套路”。即获得数学研究对象、认识数学新对象的基本方法，用数学的观点刻画和研究现实事物的方法和途径，这才是数学学习的素养要求。

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