2.3.2 平面向量的正交分解及坐标表示公开课参赛课教案

向量的正交分解及坐标表示

一、内容和内容解析

向量是近代数学中重要和基本的数学概念之一，有其深刻的几何背景，是解决几何问题的有力工具。本节课是高中新课标必修④第二章向量2.3.2的内容。是平面向量基本定理的深化，也是实现向量坐标运算的基础。在平面直角坐标系内向量与坐标建立起一一对应，使向量兼具“形”“数”两方面特征，从而为通过“数”的运算处理“形”的问题搭起了桥梁。向量的加法、减法及实数与向量的积都可以用坐标来进行运算，使得向量的运算完全代数化，将数与形紧密地结合起来，这样许多几何问题的解决，就可以转化为数量运算，从而简化了思维过程。

引入向量的坐标表示，使几何问题代数化，实现“有效能算”思想，因此熟练理解与掌握平面向量的坐标表示是本课的教学重点。

二、目标与目标解析

1.知识目标：

（1)理解平面向量的正交分解概念

(2)理解与掌握平面向量的坐标概念

①在巩固平面向量基本定理的基础上理解平面向量的坐标概念

②会写出平面直角坐标系内给定向量的坐标,理解相等向量的坐标相同。

2.能力目标：

①通过体验直角坐标系中平面向量的坐标表示的实现过程，激发学生的探索精神，增强学生知识的应用意识；

②通过具体问题的分析解决，渗透数形结合数学思想，提高学生从一般到特殊的归纳能力。

3.德育目标：

在数学中体会知识的形成过程，感受数与形的和谐统一。

三、教学问题诊断分析

学生在理解向量的坐标表示时会出现障碍，主要表现在：

1、向量和点都可以用坐标表示，易将向量的坐标与点的坐标相混淆。

2、对“相等向量的坐标相等”的理解不到位，特别是由有向线段表示的相等向量坐标间的关系。

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其原因是：在学习向量坐标表示之前，学生已经理解点的坐标概念及其意义，明确了点的坐标与点在直角坐标系中的具体位置有关，受思维定势的影响，学生认为向量的坐标是由表示向量的有向线段在平面直角坐标系中具体位置确定的，还有学生将向量和表示向量的有向线段相混淆，从而产生对向量坐标表示意义理解的偏差。

因此，对向量的坐标表示意义的理解是本课的教学难点。

四、教学过程设计

1.复习回顾：（1）平面向量基本定理

设计意图：复习旧知，为下一步将基底特殊化引出新课做准备。

（2）相等向量：长度相等且方向相同的向量即为相等的向量

教师：强调自由向量---仅由大小和方向确定，与起点位置无关. 设计意图：使学生能够更好的理解相等向量的坐标相同

师生活动：学生口述，教师点评。

练习：取与x轴，y轴同向的单位向量、为基底，做出向量求做a2i3j

设计意图：使学生体会到取相互垂直的向量作为基地，会为我们研究问题带来方便

2.

引入新知

上题也可看作是将向量a分解成两个相互垂直的向量2i 3j引出正交分解的概念

（1）正交分解：把一个向量分解成两个相互垂直的向量，叫做把向量正交分解。

设计意图：循序渐进地向学生引出新知，在不知不觉中学生理解了向量坐标表示的形成过程。

（2）平面向量的坐标表示

将上述问题延伸，、是与x轴，y轴同向的单位向量，我们可以将，、放到坐标系中，那么a2i3j也可以在坐标系中体现出来。

思考：平面直角坐标系中，点都可以用一对有序实数（即它的坐标）表示。那么直角坐标平面内的向量，如何表示呢？

设计意图：通过类比平面直角坐标系中点用有序实数对表示，提示学生思考在直角坐标系中表示一个平面向量的方法，培养学生的迁移能力和创新意识。

师生活动：学生思考、猜想向量也可以用坐标来表示。由平面向量基本定理，分别选取与x轴，y轴同向的两个单位向量、作为基底。

根据定理，对，有唯一和它对应的实数对（2，3），我们称(2，3）为的坐标，简记为=(2，3)

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例1：在坐标系中做出

设计意图：让学生经历知识的形成过程，从具体问题中初步感受向量的坐标表示意义和向量坐标的求法，同时为学生抽象坐标表示的定义作铺垫。

由=(2，3)同理得

思考：更一般地，怎样定义平面内任意一个向量的坐标？

设计意图：通过学生自身对定义的抽象建构过程，加深对所学知识的理解，同时渗透由具体到抽象、由特殊到一般的认知方法，

师生活动：学生思考作答，教师修整、完善。

平面向量的坐标表示的定义：在直角坐标系内，取与x轴，y轴同向的单位向量、为基底，任意一个向量，由平面向量基本定理知，有且只有一对实数x、y，使=（x,y）。

例2 ①写出、、的坐标；

的坐标，并分析它们间的关系。

，则称（x,y）为向量的坐标。记作②如图，写出设计意图：巩固向量坐标表示的定义，明确相等向量坐标相等，体会向量与其坐标的一一对应关系，感悟向量的坐标与点的坐标一样有正负之分。

总结规律：向量的坐标与表示向量的有向线段的起点、终点的具体位置没有关系，只与其相对位置有关。同时渗透数结合思想，特殊到一般的思想。培养学生观察归纳、分析论证的能力。

设计意图：理解相等向量的坐标相同，突破难点。

例3.如图，取与x轴，y轴同向的单位向量、为基底，用、表示向量

设计意图：巩固向量的坐标表示，为后续向量的坐标运算打好基础。

3.课堂小结

①、向量的表示②、相等向量的坐标相同？

设计意图：使学生养成归纳总结的学习习惯，不断提高反思能力，体会知识的形成、发展、应用过程。

4.板书设计

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，并求出它们的坐标。

平面向量的正交分解及坐标表示

1.

正交分解

2.

平面向量的坐标表示

课堂小结：

例1

例2

例3 复习回顾

1.

平面向量的基本定理

2.

相等向量

练习：取与x轴，y轴同向的单位向量、为基底，做出向量求做a2i3j

5.

课后作业：1.习题2.3 B组4 2.自主学***面向量的坐标运算

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