2.3.1 变量之间的相关关系教学设计

课题：回归直线及其方程

课型：新课

教学目标：

知识与技能

1. 了解线性回归的意义，了解最小二乘法思想； 2. 会求回归直线方程。

过程与方法

经历描述两个变量的相关关系的过程，了解最小二乘法的思想

情感、态度与价值观

学生亲自体验了发现数学、领悟数学的全过程

教学重点：能结合具体案例，经历数据处理步骤，根据回归方程系数公式建立回归方程

教学难点：使学生接受最小二乘法的科学性，在此过程中了解最小二乘法思想

教学过程：

脂肪含量【知识回顾】

401. 年龄和人体脂肪含量的样本数据的散点图中的点的分35布有什么特点？

3025这些点大致分布在一条直线附近. 20

15

1052.回归直线的含义？

020253035404550556065如果散点图中的点的分布从整体上看大致在一条直线附近，我们就称这两个变量之间具有线性相关关系，这条直线叫做回归直线，回归直线的方程简称回归方程。

【探究新知】

阅读教材P87-88，小组讨论，回答下列问题：

1．对一组具有线性相关关系的样本数据，你认为其回归直线是一条还是几条？

一条

2．回归直线与散点图中各点的位置应具有怎样的关系？

整体上最接近

，即从整体上看，各点与此直线的距离最小

3．教材P87给出了三种求回归方程的方法，你认为可行吗？

师生共研：

对一组具有线性相关关系的样本数据：(x1，y1)，(x2，y2)，…，(xn，yn)，设其

回归方程为ybxa可以用哪些数量关系来刻画各样本点与回归直线的接近程度？

年龄

y(xi,yi)(x1,y1)(x2,y2)yiyix0

Q(yiyi)(y1bx1a)(y2bx2a)222i1n(ynbxna)2

=Q(a,b)知识呈现：

根据有关数学原理分析，当

时，总体偏差Qn(xix)(yiy)i1bn(xix)2i1aybx.xynxyiii1nnxi12inx2(yy)iii1n2为最小，这样就得到了回归方程，这种求回归方程的方法叫做最小二乘法. 回归方程系数公式：

n(xix)(yiy)i1bn(xix)2i1aybx.xynxyiii1nn,

xi12inx2回归方程：ybxa。

小组讨论下列问题，深刻理解回归直线方程

回归直线的作用是什么？回归直线方程是否经过一定点？其中b的含义是什么？

利用回归直线，我们可以进行预测。

过定点(x,y)，因为ybxabx(ybx)b(xx)y，

即yyb(xx)，所以恒过定点(x,y)。

b表示回归直线的斜率，它表示x每增加一个单位，相应的y约增加b个单位。

求解回归方程的步骤？

第一步：计算x,y,x,xy；

2iiii1i1niinn第二步：计算bxynxyi1n，aybx；

xi12inx21

第三步：写出回归方程：ybxa。

【典例分析】

例1：某研究机构对高中学生的记忆力x和判断力y进行统计分析，得下表数据

x

y

（1）请画出上表数据的散点图；

6 2 8 3 10 5 12 6 （2）请根据上表提供的数据，求出y关于x的线性回归方程ybxa；

（3）试根据（2）求出的线性回归方程，预测记忆力为9的同学的判断力．

（相关公式：bxynxyiii1nn，aybx）

xi12inx2解：（1）散点图如图：

（2）计算x9,y4，xi142i222x12x2x3x4344，

xyii14ix1y1x2y2x3y3x4y4158，

所以bxy4xyiii1440.7，aybx2.3，

xi12i4x2ˆ0.7x2.3。

所以回归方程为y（3）由回归方程预测：y0.792.34，即记忆力为9的同学的判断力大约为4。

2



例2：

对于下列表格所示的五个散点，已知求得的线性回归方程为y0.8x155。

x

196 197 200 203 204 y1 m

3 6 7

则实数m的值为

。

8 【当堂检测】

1.（广东高考题）下表提供了某厂节能降耗技术改造后生产甲产品过程中记录的产量x吨与相应的生产能耗y（吨标准煤）的几组对照数据。

x

y

（1）请画出上表数据的散点图；

2 2.5 3 3 4 4 5 4.5 （2）根据上表数据用最小二乘法求出y关于x的线性回归方程；

（3）由（2）预测技改后生产100吨甲产品的生产能耗是多少吨标准煤？

（参考数值：2*2.5+3*3+4*4+5*4.5=52.5）

解：（1）由题设所给数据，可得散点图如图：

（2）计算x3.5,y3.5，xi142i222x12x2x3x454，

xyii14ix1y1x2y2x3y3x4y452.5，

所以bxy4xyiii1440.7，aybx1.05，

xi12i4x2ˆ0.7x1.05。

所以回归方程为y3

ˆ0.71001.0571.05，所以技改后生产100吨甲产品的生产耗（3）当x100时，y能大约是71.05吨标准煤。

2.设某大学的女生体重y（单位：kg）与身高x（单位：cm）具有线性相关关系，根据一组样本数据(xi,yi)(i1,2,正确的是（

D

）

A. y与x具有正的线性相关关系

B.回归直线过样本点的中心(x,y)

C.若某大学某女生身高增加1cm，则其体重约增加0.85kg

D.若该大学某女生身高为170cm，则可断定其体重必为58.79kg

【课堂小结】

1.

求样本数据的线性回归方程，可按下列步骤进行：

第一步：计算x,y,,n)，用最小二乘法建立回归方程为y0.85x85.71，则下列结论中不x,xy；

2iiii1i1nniiiinn第二步：计算b(xx)(yy)xynxyi1(xx)ii1n2i1n，aybx；

xi12inx2第三步：写出回归方程：ybxa。

2. 回归方程被样本数据惟一确定，各样本点大致分布在回归直线附近.对同一个总体，不同的样本数据对应不同的回归直线，所以回归直线也具有随机性.

3.

对于任意一组样本数据，利用上述公式都可以求得“回归方程”，如果这组数据不具有线性相关关系，即不存在回归直线，那么所得的“回归方程”是没有实际意义的.因此，对一组样本数据，应先作散点图，在具有线性相关关系的前提下再求回归方程. 4.

数学思想方法：（1）最小二乘法；（2）转化与化归，数形结合。

【课后作业】

【板书设计】

【教学反思】

4