二次根式的混合运算教案和课堂实录

16.3 二次根式的混合运算(3) 教学内容

含有二次根式的单项式与单项式相乘、相除；多项式与单项式相乘、相除；多项式与多项式相乘、相除；乘法公式的应用．

教学目标

知识与技能目标：

含有二次根式的式子进行乘除运算和含有二次根式的多项式乘法公式的应用．

过程与方法目标：复习整式运算知识并将该知识运用于含有二次根式的式子的乘除、乘方等运算．

情感与价值目标：通过本节的学习培养学生：利用规定准确计算和化简的严谨的科学精神，发展学生观察、分析、发现问题的能力．

重难点关键

重点：二次根式的乘除、乘方等运算规律；

难点关键：由整式运算知识迁移到含二次根式的运算．

教法：1、引导发现法: 通过教师精心设计的问题链，使学生产生认知冲突，感悟新知，建立分式的模型，引导学生观察、类比、参与问题讨论，使感性认识上升为理性认识，充分体现了教师主导和学生主体的作用，对实现教学目标起了重要的作用；

2、讲练结合法:

在例题教学中，引导学生阅读，与整式的乘除进行类比，获得解决问题的方法后配以精讲，并进行分层练习，培养学生的阅读习惯和规范的解题格式。

学法：1、类比的方法

通过观察、类比，使学生感悟含有二次根式的整式乘除模型，形成有效的学习策略。

2、阅读的方法

让学生阅读教材及材料，体验一定的阅读方法，提高阅读能力。

3、分组讨论法

将自己的意见在小组内交换，达到取长补短，体验学习活动中的交流与合作。

4、练习法

采用不同的练习法，巩固所学的知识；利用教材进行自检，小组内进行他检，提高学生的素质。

媒体设计：PPT课件，展台。

课时安排：1课时。

教学过程：一、复习引入

学生活动：请同学们完成下列各题: 1．计算

22 （1）（2x+y）·zx （2）（2xy+3xy）÷xy 2．计算

22 （1）（2x+3y）（2x-3y） （2）（2x+1）+（2x-1） 老师点评：这些内容是对八年级上册整式运算的再现．它主要有（1）•单项式×单项式；（2）单项式×多项式；（3）多项式÷单项式；（4）完全平方公式；（5）平方差公式的运用．

二、探索新知

如果把上面的x、y、z改写成二次根式呢？以上的运算规律是否仍成立呢？•仍成立．

整式运算中的x、y、z是一种字母，它的意义十分广泛，可以代表所有一切，•当然也可以代表二次根式，所以，整式中的运算规律也适用于二次根式．

例1．计算:

（1）（6+8）×3 （2）（46-32）÷22

分析：刚才已经分析，二次根式仍然满足整式的运算规律，•所以直接可用整式的运算规律．

解：（1）（6+8）×3=6×3+8×3

=18+24=32+26

解：（46-32）÷22=46÷22-32÷22

=23-3

2 例2．计算

（1）（5+6）（3-5） （2）（10+7）（10-7）

分析：刚才已经分析，二次根式的多项式乘以多项式运算在乘法公式运算中仍然成立．

解：（1）（5+6）（3-5）

=35-（5）+18-65

2=13-35

（2）（10+7）（10-7）=（10）-（7）22 =10-7=3

三、应用拓展

例3．已知xbxa=2-，其中a、b是实数，且a+b≠0，

ab化简x1xx1x+，并求值．

x1xx1x 分析：由于（x1+x）（x1-x）=1，因此对代数式的化简，可先将分母有理化，再通过解含有字母系数的一元一次方程得到x的值，代入化简得结果即可．

(x1x)2(x1x)2解：原式=+

(x1x)(x1x)(x1x)(x1x)(x1x)2(x1x)2=+

(x1)x(x1)x =（x+1）+x-2x(x1)+x+2x(x1)

=4x+2

∵xbxa=2-

ab ∴b（x-b）=2ab-a（x-a）

22 ∴bx-b=2ab-ax+a22 ∴（a+b）x=a+2ab+b2 ∴（a+b）x=（a+b） ∵a+b≠0 ∴x=a+b ∴原式=4x+2=4（a+b）+2 四、归纳小结：本节课应掌握二次根式的乘、除、乘方等运算．

五、

一、选择题

1．（24-315+222）×2的值是（ ）．

323 C．230-3； A．203 B．330-3-330；23 D．3

；2033-30

2．计算（x+x1）（x-x1）的值是（ ）．

A．2 B．3 C．4 D．1 二、填空题

1．（-132+）的计算结果（用最简根式表示）是________．

2222．（1-23）（1+23）-（23-1）的计算结果（用最简二次根式表示）是_______．

3．若x=2-1，则x+2x+1=________．

2 4．已知a=3+22，b=3-22，则ab-ab=_________．

22 三、综合提高题

1．化简57

10141521x1x2xx1x2x1 2．当x=时，求+的值．（结果用最简二次根式2221x1xxx1xx表示）

课外知识

1．同类二次根式：几个二次根式化成最简二次根式后，它们的被开方数相同，•这些二次根式就称为同类二次根式，就是本书中所讲的被开方数相同的二次根式．

练习：下列各组二次根式中，是同类二次根式的是（ ）．

A．2x与2y B．834958ab与ab

92

C．mn与n D．mn与mn

2．互为有理化因式：•互为有理化因式是指两个二次根式的乘积可以运用平方差公式（a+b）（a-b）=a-b，同时它们的积是有理数，不含有二次根式：如x+1-x22x与x+1+22x22x就是互为有理化因式；x与1也是互为有理化因式．

x 练习：2+3的有理化因式是________；

x-y的有理化因式是_________．

-x1-x1的有理化因式是_______．

3．分母有理化是指把分母中的根号化去，通常在分子、•分母上同乘以一个二次根式，达到化去分母中的根号的目的．

练习：把下列各式的分母有理化

（1）1123342； （2）； （3）； （4）．

51123623342 4．其它材料：如果n是任意正整数，那么nnn=n

22n1n1nnn3nnn3 理由：n2==n

n1n21n21n21练习：填空2342=_______；3=________；4=_______．

81533 2．43-24 3．2 4．42；三、1．原2答案:

一、1．A 2．D；二、1．1-式＝57

25273537=157=

232(57)3(57)=-（2-3）=3-2

2．原式＝(x1x2x)2(x1x2x)2(x1)(xx)222

2(x1)2(x2x)22(x1)(x1x)=== 2（2x+1）

x1x1

当x=1=2+1时， 原式＝2（22+3）=42+6. 21板书设计：

§16.3.二次根式的加减（3）

情境引入 例2 学生板演

二次根式的加减法则 例3

例1 练习 小结