二次根式的混合运算教学设计及教案分析

二次根式混合运算教案

适用学科

适用区域

知识点

数学

适用年级

课时时长（分钟）

初中二年级

60 1.

含有二次根式的单项式与单项式相乘、相除；多项式与单项式相乘、相除；

2.

多项式与多项式相乘、相除；乘法公式的应用．

含有二次根式的式子进行乘除运算和含有二次根式的多项式乘法公式的应用．

3.复习整式运算知识并将该知识运用于含有二次根式的式子的乘除、乘方等运算

教学目标

1.含有二次根式的式子进行乘除运算和含有二次根式的多项式乘法公式的应用．

2. 复习整式运算知识并将该知识运用于含有二次根式的式子的乘除、乘方等运算

教学重点

教学难点

二次根式的乘除、乘方等运算规律；

由整式运算知识迁移到含二次根式的运算．

教学过程

一、

复习预习

学生活动：请同学们完成下列各题:

1．计算

（1）（2x+y）·zx

（2）（2x2y+3xy2）÷xy

2．计算

（1）（2x+3y）（2x-3y）

（2）（2x+1）2+（2x-1）2

老师点评：这些内容是对八年级上册整式运算的再现．它主要有（1）•单项式×单项式；（2）单项式×多项式；（3）多项式÷单项式；（4）完全平方公式；（5）平方差公式的运用．

新授课

如果把上面的x、y、z改写成二次根式呢？以上的运算规律是否仍成立呢？•仍成立．

整式运算中的x、y、z是一种字母，它的意义十分广泛，可以代表所有一切，•当然也可以代表二次根式，所以，整式中的运算规律也适用于二次根式．

例1．计算:

（1）（6+8）×3

（2）（46-32）÷22

分析：刚才已经分析，二次根式仍然满足整式的运算规律，•所以直接可用整式的运算规律．

解：（1）（6+8）×3=6×3+8×3

=18+24=32+26

解：（46-32）÷22=46÷22-32÷22

=23-3

2二、知识讲解

考点1

1、几个二次根式化成最简二次根式后，如果被开方数相同，这几个二次根式叫做同类二次根式。

2、二次根式加减时，可以先将二次根式化成最简二次根式，•再将被开方数相同的二次根式进行合并．

3、

在进行二次根式的混合运算时，先乘方开方，再乘除，最后加减，有括号的先算括号里面的（或先去括号再计算）。实数运算中的运算律（分配律、结合律、交换律等）在二次根式的运算中仍然适用。

易错点1

在进行二次根式的混合运算时，先乘方开方，再乘除，最后加减，有括号的先算括号里面的（或先去括号再计算）。实数运算中的运算律（分配律、结合律、交换律等）在二次根式的运算中仍然适用。

三、

例题精析

【例题1】

【题干】计算（1）8+18

（2）16x+64x

【答案】（1）8+18=22+32=（2+3）2=52

（2）16x+64x=4x+8x=（4+8）x=12x

【解析】第一步，将不是最简二次根式的项化为最简二次根式；第二步，将相同的最简二次根式进行合并．

【例题2】

【题干】下列二次根式中与A. 12 B. 3

22是同类二次根式的是（

）

C. 23

D. 18

【答案】D 【解析】要判断两个二次根式是不是同类二次根式，需要先将它们化为最简二次根式，再看36＝，2226＝，33被开方数是否相同，【例题3】

【题干】

计算（1）348-912＝23，18＝32。

1+312

3

（2）（48+20）+（12-5）

【答案】（1）348-91+312=123-33+63=（12-3+6）3=153

3

（2）（48+20）+（12-5）=48+20+12-5

=43+25+23-5=63+5

【解析】第一步，将不是最简二次根式的项化为最简二次根式；第二步，将相同的最简二次根式进行合并．

四、课堂运用

【基础】

1．以下二次根式：①12；②2；③22；④27中，与3是同类二次根式的是（

）．

3

A．①和②

B．②和③

C．①和④

D．③和④

【答案】C【解析】化成最简二次根式，然后判断

2.下列式子运算正确的是（

）

A. 3－2＝1

B. 8＝42

C. 13＝3

D. 12＋＋32－1＝4

3【答案】D【解析】同类二次根式计算

【巩固】

21.

计算：（1）39x＋612－1＋x4－2x8－1x；

（2）2【答案】（1）32＋1。

12＝×3x31x＋6×22＋1＝1x－2x·9x＋6－2x4xxx＝2x＋3x－2x＝（2＋3－2）x＝3x；（2）2＋1＝212－1＋8－21(21)(21)＋4×2－2＋1＝2＋1＋22－2＋2。

【解析】合并同类二次根式，只把它们的系数相加，根指数和被开方数都不变。

2.计算：（1）（a3b＋ab3－ab）ab；

（2）（（3）（2（4）（32－12）（18＋48）；

7）；

7＋56－22）（53）2。

2－2【答案】（1）（b（2）（a3b＋ab·2－2·4ab3－ab）ab＝（aab＋bab－ab）ab＝aab·ab＋ab－ab12）（3－2ab＝a2b＋ab2－ab18＋3·348）＝（3·4ab；

3）（36－62＋43）＝2·32＋6；

2－23＝6＋42－22－26－24＝－18－2（3）（2（4）（37＋56－22）（57）＝（52）2－（26·23＋（27）2＝50－28＝22；

3）2＝54－362＋123）2＝（32。

6）2－2·3＝66－36【解析】在运算过程中，每个根式可以看做是一个“单项式”，多个被开方数不同的二次根式的和可以看做是“多项式”。有理数（或整数）运算中的运算律、运算法则及所有的乘法公式，在二次根式的运算中仍然适用。

【拔高】

1.

已知a＋2b6＋1的整数部分为a，小数部分为b，求的值。

2a＋b6＋1－3＝6－2。

6－16。

10【答案】通过估算得知a＝3，b＝a＋2b2a＋b2×3＋（【解析】因为部分b＝4＜＝3＋2（6－2）26－1（26－1）（4－6）9＝＝＝6－2）4＋6（4＋6）（4－6）9，即2＜6＜3，所以6＜6的整数部分是2，所以a＝3，小数6＋1－3＝6－2。把a、b代入计算即可。

解答这类问题时，应注意一个二次根式的整数部分可通过估算获得，这个二次根式减去整数部分后，剩余的就是其小数部分。

2.

若3的整数部分为x，小数部分为y，则3－3 B. 3 C. 1 3x－y的值是（

）

D. 3

3减去整数部分就知道小数y,代入可以求解。

A. 3【答案】C【解析】

找到3的整数部分，用课程小结

1. 会判断几个根式是不是同类二次根式

2.不是最简二次根式的，应化成最简二次根式；相同的最简二次根式进行合并．

3. 应掌握二次根式的乘、除、乘方等运算

课后作业

【基础】

1.

下列根式中，与3是同类二次根式的是（

）

A. 24

B. 12

C. 3

D. 18

2【答案】B【解析】把非最简二次根式化成最简二次根式，然后判断。

2.

若最简二次根式324a21与6a21是同类二次根式，则a______。

23【答案】—1【解析】两根式为同类二次根式，被开方数相等，然后解方程

【巩固】

2－a62a－3可以进行合并，则a的值是（

）

413C.

815D.

81.

若220A.

13【答案】D 与65B.

3【解析】由题意可知，这两个二次根式化简后的被开方数相同。因此，先把这两个二次根式2－a6132a－3＝34进行化简：2＝12－6a，62a－3。依题意，知12－6a＝2a15152－a2a－3－3，解得a＝，当a＝时，＞0，＞0，

88642.计算：（1）

（2）3÷2×（43＋42）－（26＋12）。

21×7－3÷（33）；

【答案】（1）3÷＝23×3－22×（412×421×3＋43＋7－3÷（32）－（23×1×423）＝6＋21×7－3×3113＝73－120＝333；（2）3）2＋12）＝6－23××（423＋42）－（26－26＋23＝62－23＝62＋43－26。

【解析】在进行二次根式的混合运算时，先乘方开方，再乘除，最后加减，有括号的先算括号里面的（或先去括号再计算）。实数运算中的运算律（分配律、结合律、交换律等）在二次根式的运算中仍然适用。

【拔高】

1.

已知4x2+y2-4x-6y+10=0，求（【答案】∵4x2+y2-4x-6y+10=0

∵4x2-4x+1+y2-6y+9=0

∴（2x-1）2+（y-3）2=0 2x1yx9x+y23）-（x2-5x）的值

3yxx1

∴x=，y=3 2

原式=

=2x

=x2x1yx9x+y23-x2+5x

3yxxx+xy-xx+5xy

x+6xy

1，y=3时，

21213×+6=+36

2422

当x=

原式=【解析】本题首先将已知等式进行变形，把它配成完全平方式，得（2x-1）2+（y-3）2=0，

即x=1，y=3．其次，根据二次根式的加减运算，先把各项化成最简二次根式，•再合并同2类二次根式，最后代入求值．

2、计算

64b23229xy

（1）

（2）（3）

（4）811002649a答案（1）333=

6486464b264b28b

（2）=

29a23a9a（3）81100=81×100=9×10=90

（4）9xy=32×xy=32×x2×解析

根据分式性质进行化简

3、有一种房梁的截面积是一个矩形，且矩形的长与宽之比为3：1，•现用直径为315cm的一种圆木做原料加工这种房梁，那么加工后的房染的最大截面积是多少？

答案：解

设：矩形房梁的宽为x（cm），则长为3xcm，依题意，

得：（3x）2+x2=（315）2，

4x2=9×15，x=2222y2=3xy 32，

15（cm）3x·x=3x2=

13543（cm2）