2.3.2 平面向量的正交分解及坐标表示教学设计及教案分析

2.3.1

平面向量基本定理

2.3.2

平面向量的正交分解及坐标表示

三维目标

1.通过探究活动,能推导并理解平面向量基本定理. 2.掌握平面里的任何一个向量都可以用两个不共线的向量来表示,理解这是应用向量解决实际问题的重要思想方法.能够在具体问题中适当地选取基底,使其他向量都能够用基底表达. 3.了解向量的夹角与垂直的概念,并能应用于平面向量的正交分解中,会把向量正交分解,会用坐标表示向量. 重点难点

教学重点:平面向量基本定理、向量的夹角与垂直的定义、平面向量的正交分解、平面向量的坐标表示. 教学难点:平面向量基本定理的运用. 教学过程

（一）导入新课

前面我们学习了向量的代数运算以及对应的几何意义,如果将平面内向量的始点放在一起,那么平面内的任意一个点或者任意一个向量是否都可以用这两个同起点的不共线向量来表示呢？这样就引进了平面向量基本定理.

（二）推进新课

新知探究

提出问题

①给定平面内任意两个不共线的非零向量e1、e2,请你作出向量3e1+2e2、e1-2e2.平面内的任一向量是否都可以用形如λ1e1+λ2e2的向量表示呢? ②设e1、e2是同一平面内两个不共线的向量,a是这一平面内的任一向量,我们通过作图研究a与e1、e2之间的关系. 讨论结果:①P93可以

②平面向量基本定理:如果e1、e2是同一平面内的两个不共线向量,那么对于这一平面内的任意向量a,有且只有一对实数λ1、λ2,使a=λ1e1+λ2e2. 定理说明:(1)我们把不共线向量e1、e2叫做表示这一平面内所有向量的一组基底; (2)基底不唯一,关键是不共线; (3)由定理可将任一向量a在给出基底e1、e2的条件下进行分解; (4)基底给定时,分解形式唯一. 提出问题

①平面中的任意两个向量之间存在夹角吗？若存在,向量的夹角与直线的夹角一样吗？

②对平面中的任意一个向量能否用两个互相垂直的向量来表示？

讨论结果:①P94存在夹角且两个非零向量的夹角在区间[0°,180°]内;向量与直线的夹角不一样.②可以. 由平面向量的基本定理,对平面上的任意向量a,均可以分解为不共线的两个向量λ1a1和λ2a2,使a=λ1a1+λ2a2.

在不共线的两个向量中,垂直是一种重要的情形.把一个向量分解为两个互相垂直的向量,叫做把向量正交分解.如上,重力G沿互相垂直的两个方向分解就是正交分解,正交分解是向量分解中常见的一种情形.

在平面上,如果选取互相垂直的向量作为基底时,会为我们研究问题带来方便. 提出问题

①我们知道,在平面直角坐标系中,每一个点都可用一对有序实数(即它的坐标)表示.对直角坐标平面内的每一个向量,如何表示呢?

1

②在平面直角坐标系中,一个向量和坐标是否是一一对应的？

讨论结果:①平面内的任一向量a都可由x、y唯一确定,我们把有序数对(x,y)叫做向量a的坐标,记作a=(x,y).②是一一对应的. 注意以下几点: (1)向量a与有序实数对(x,y)一一对应. (2)向量a的坐标与表示该向量的有向线段的起点、终点的具体位置没有关系,只与其相对位置有关系.如图所示,A1B1是表示a的有向线段,A1、B1的坐标分别为(x1,y1)、(x2,y2),则向量a的坐标为x=x2-x1,y=y2-y1,即a的坐标为(x2-x1,y2-y1). (3)为简化处理问题的过程,把坐标原点作为表示向量a的有向线段的起点,这时向量a的坐标就由表示向量a的有向线段的终点唯一确定了,即点A的坐标就是向量a的坐标,流程表示如下:

应用示例

P94例1

P96例2

活动:本例要求用基底i、j表示a、b、c、d,其关键是把a、b、c、d表示为基底i、j的线性组合.一种方法是把a正交分解,看a在x轴、y轴上的分向量的大小.把向量a用i、j表示出来,进而得到向量a的坐标.另一种方法是把向量a移到坐标原点,则向量a终点的坐标就是向量a的坐标.同样的方法,可以得到向量b、c、d的坐标.另外,本例还可以通过四个向量之间位置的几何关系:a与b关于y轴对称,a与c关于坐标原点中心对称,a与d关于x轴对称等.由一个向量的坐标推导出其他三个向量的坐标. 变式训练：i,j是两个不共线的向量,已知AB=3i+2j,CB=i+λj,CD=-2i+j,若A、B、D三点共线,试求实数λ的值. 解:∵BD=CD-CB=(-2i+j)-(i+λj)=-3i+(1-λ)j,

又∵A、B、D三点共线, ∴向量AB与BD共线.因此存在实数υ,使得AB=υBD, 即3i+2j=υ[-3i+(1-λ)j]=-3υi+υ(1-λ)j. ∵i与j是两个不共线的向量, 故例1、

如图1,3v3,v1,∴∴当A、B、D三点共线时,λ=3.

v(1)2,3.1BC,以a,b为基3ABCD,AB=a,AD=b,H、M是AD、DC之中点,F使BF=底分解向量AM和HF.

图1

解:由H、M、F所在位置,有

11111AMADDMADDCADABbaAB=b+a. 22222

2

11HFAFAHABBFAHBCAD32

11ABADAD32=a1b. 6点评:以a、b为基底分解向量AM与HF,实为用a与b表示向量AM与HF. 例2、下面三种说法:①一个平面内只有一对不共线向量可作为表示该平面的基底;②一个平面内有无数多对不共线向量可作为该平面所有向量的基底;③零向量不可以作为基底中的向量,其中正确的说法是(

B

) A.①②

B.②③

C.①③

D.①②③

解:平面内向量的基底是不唯一的.在同一平面内任何一组不共线的向量都可作为平面内所有向量的一组基底;而零向量可看成与任何向量平行,故零向量不可作为基底中的向量.综上所述,②③正确.

图2 例3、如图2,M是△ABC内一点,且满足条件AM2BM3CM0,延长CM交AB于N,令CM=a,试用a表示CN. 活动:由平面向量基本定理,可得到下面两个推论: 推论1:e1与e2是同一平面内的两个不共线向量,若存在实数λ1、λ2,使得λ1e1+λ2e2=0,则λ1=λ2=0. 推论2:e1与e2是同一平面内的两个不共线向量,若存在实数a1,a2,b1,b2,使得a=a1e1+a2e2=b1e1+b2e2,则a1b1,

a2b2.解:∵AMANNM,BMBNNM,

∴由AM2BM3CM=0,得(ANNM)2(BNNM)3CM0. ∴AN3NM2BN3CM=0.

又∵A、N、B三点共线,C、M、N三点共线, 由平行向量基本定理,设ANBN,CMNM,∴BN3NM2BN3NM0. 20,2∴(λ+2)BN+(3+3μ)NM=0.

由于BN和NM不共线,∴∴

330,1∴CMNMMN.∴CNCMMN2CM=2a. 点评:这里选取BN,NM作为基底,运用化归思想,把问题归结为λ1e1+λ2e2=0的形式来解决.

3

变式训练：设e1与e2是两个不共线向量,a=3e1+4e2,b=-2e1+5e2,若实数λ、μ满足λa+μb=5e1-e2,求λ、μ的值. 解:由题设λa+μb=(3λe1+4λe2)+(-2μe1+5μe2)=(3λ-2μ)e1+(4λ+5μ)e2.

又λa+μb=5e1-e2. 由平面向量基本定理,知325,

解之,得λ=1,μ=-1. 451.例4、过△OAB的重心G的直线与边OA、OB分别交于P、Q,设OP=hOA,OQkOB,试证:113

hk11(OAOB)=(a+b)(图略). 22211113k∴OG=OD=(a+b),QGOGOQ=(a+b)-kb=a+b, 33333解:设OA=a,OB=b,OG交AB于D,则OD=QPOPOQ=ha-kb. 1h,113k3∵P、G、Q三点共线,∴QGQP.∴a+b=λha-λkb.∴两式相除,13k33k.3得1h11kh3hk.,

∴=3. 13kkhk知能训练：1.已知G为△ABC的重心,设AB=a,AC=b,试用a、b表示向量AG. 2.已知向量a=(x+3,x2-3x-4)与AB相等,其中A(1,2),B(3,2),求x.

图3 解答:1.如图3,AG=12111AD,而ADABBDABBCa+(b-a)=a+b, 23222221111∴AGAD(a+b)=a+b. 3322332.∵A(1,2),B(3,2),∴AB=(2,0).

∵a=AB,∴(x+3,x2-3x-4)=(2,0).

x32,x1,∴2解得∴x=-1. x1或x4.x3x40课堂小结

1.平面向量的基本定理,向量的夹角与垂直的定义,平面向量的正交分解,及坐标表示. 作业：P101课本习题2.3

A组1.

4