2.1.2 向量的几何表示板书设计及意图

平面向量的实际背景及基本概念

【知识梳理】

1．向量和数量

(1)向量：既有大小，又有方向的量叫做向量．

(2)数量：只有大小，没有方向的量称为数量．

2．有向线段

(1)有向线段是带有方向的线段，如图所示，通常在有向线段的终点处画上箭头表示它的方向．以A为起点，B为终点的有向线段记作AB

. (2)有向线段包含三个要素：起点、方向、长度，知道了有向线段的起点、长度和方向，它的终点就唯一确定．

3．向量的表示

(1)几何表示：向量可以用有向线段表示，此时有向线段的方向就是向量的方向．

→→→(2)字母表示：通常在印刷时用黑体小写字母a，b，c…表示向量，书写时用a，b，c…表示向量；也可以用表示向量的有向线段的起点和终点字母表示，例如，AB，CD. 4．向量的模及两个特殊向量

(1)向量的长度(模)：

向量AB的大小，也就是向量AB的长度(或模)，记作|AB|. (2)两个特殊向量：

①零向量：长度为0的向量叫做零向量，记作0，零向量的方向是任意的；零向量的起点与终点是同一点，故不能用有向线段表示出来．

②单位向量：长度等于1个单位的向量，叫做单位向量．

5．相等向量与共线向量

(1)相等向量：长度相等且方向相同的向量叫做相等向量，向量a与b相等，记作a＝b.任意两个相等的非零向量，都可用同一条有向线段来表示，并且与有向线段的起点无关．因为向量完全是由它的方向和模确定．

(2)平行向量：

①定义：方向相同或相反的非零向量叫做平行向量，向量a与b平行，通常记作a∥b. ②规定：零向量与任一向量平行，即对于任意的向量a，都有0∥a. ③共线向量：任意一组平行向量都可以移动到同一直线上，因此平行向量也叫做共线向量．

【常考题型】

题型一、向量的有关概念

【例1】

下列说法正确的是(

)

- 1 -

A．向量AB与CD是共线向量，则A，B，C，D必在同一直线上

B．向量a与b平行，则a与b的方向相同或相反

C．向量AB与向量BA是两平行向量

D．单位向量都相等

[解析]

A项考查的是有向线段共线与向量共线的区别．事实上，有向线段共线要求线段必须在同一直线上．而向量共线时，表示向量的有向线段可以在两条平行直线上，不一定在同一直线上．故A项错误．

由于零向量与任一向量平行，因此，若a，b中有一个为零向量时，其方向是不确定的．故B项错误．

由于向量AB与BA方向相反，所以二者是平行向量．故C项正确．

单位向量的长度都相等，方向任意，而向量相等不仅需要长度相等，还要求方向相同．故D项错误．

[答案]

C 【类题通法】

解决与向量概念有关问题的方法

解决与向量概念有关题目的关键是突出向量的核心——方向和长度，如：共线向量的核心是方向相同或相反，长度没有限制；相等向量的核心是方向相同且长度相等；单位向量的核心是方向没有限制，但长度都是一个单位长度；零向量的核心是方向没有限制，长度是0；规定零向量与任一向量共线．只有紧紧抓住概念的核心才能顺利解决与向量概念有关的问题．

【对点训练】

给出命题：①零向量的长度为零，方向是任意的；②若a，b都是单位向量，则a＝b；③向量AB与向量BA相等．

以上命题中，正确命题的序号是(

) A．①

C．①③

B．②

D．②③

解析：选A

根据零向量的定义可知①正确；根据单位向量的定义，单位向量的模相等，但方向不同，故两个单位向量不一定相等，故②错误；向量AB与向量BA模相等，方向相反，故③错误．故选A. 题型一、向量的表示

【例2】

(1)如图，B，C是线段AD的三等分点，分别以图中各点为起点和终点，可以写出________个向量．

(2)在如图所示的坐标纸上(每个小方格边长为1)，用直尺和圆规画出下列向量：

- 2 -

①OA，使|OA|＝42，点A在点O北偏东45°；

②AB，使|AB|＝4，点B在点A正东；

③BC，使|BC|＝6，点C在点B北偏东30°. (1)[解析]

由向量的几何表示可知，可以写出12个向量，它们分别是AB，AC，AD，BC，BD，CD，BA，CA，DA，CB，DB，DC. [答案]

12 (2)[解]

①由于点A在点O北偏东45°处，所以在坐标纸上点A距点O的横向小方格数与纵向小方格数相等．又|OA|＝42，小方格边长为1，所以点A距点O的横向小方格数与纵向小方格数都为4，于是点A位置可以确定，画出向量OA如图所示．

②由于点B在点A正东方向处，且|AB|＝4，所以在坐标纸上点B距点A的横向小方格数为4，纵向小方格数为0，于是点B位置可以确定，画出向量AB如图所示．

③由于点C在点B北偏东30°处，且|BC|＝6，依据勾股定理可得：在坐标纸上点C距点B的横向小方格数为3，纵向小方格数为33≈5.2，于是点C位置可以确定，画出向量BC如图所示．

【类题通法】

用有向线段表示向量的方法

用有向线段表示向量时，先确定起点，再确定方向，最后依据向量模的大小确定向量的终点．

必要时，需依据直角三角形知识求出向量的方向(即夹角)或长度(即模)，选择合适的比例关系作出向量．

【对点训练】

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中国象棋中规定：马走“日”字．如图是中国象棋的半个棋盘，若马在A处，可跳到A1处，也可跳到A2处，用向量AA1或AA2表示马走了“一步”．试在图中画出马在B，C处走了“一步”的所有情况．

解：根据规则，画出符合要求的所有向量．

马在B处走了“一步”的情况如图(1)所示；

马在C处走了“一步”的情况如图(2)所示．

题型三、共线向量或相等向量

【例3】

如图所示，四边形ABCD与ABDE是平行四边形．

(1)找出与向量AB共线的向量；

(2)找出与向量AB相等的向量．

[解]

(1)依据图形可知DC，ED，EC与AB方向相同，BA，CD，DE，CE与AB方向相反，所以与向量AB共线的向量为BA，CD，DC，ED，DE，EC，CE. (2)由四边形ABCD与ABDE是平行四边形，知DC，ED与AB长度相等且方向相同，所以与向量AB相等的向量为DC和ED. 【类题通法】

寻找共线向量或相等向量的方法

(1)寻找共线向量：先找与表示已知向量的有向线段平行或共线的线段，再构造同向与反向的向量，注意不要漏掉以表示已知向量的有向线段的终点为起点，起点为终点的向量．

(2)寻找相等向量：先找与表示已知向量的有向线段长度相等的向量，再确定哪些是同向共线．

【对点训练】

1如图，△ABC和△A′B′C′是在各边的处相交的两个全等的等边三3a角形，设△ABC的边长为a，图中列出了长度均为的若干个向量，则

3(1)与向量GH相等的向量有________；

- 4 -

(2)与向量GH共线，且模相等的向量有________；

(3)与向量EA共线，且模相等的向量有________．

解析：向量相等⇔向量方向相同且模相等．

向量共线⇔表示有向线段所在的直线平行或重合．

答案：(1) LB，HC

(2) EC，LE，LB，GB，HC

(3) EF，FB，HA，HK，KB

【练习反馈】

1．有下列物理量：

①质量；②速度；③力；④加速度；⑤路程；⑥功．

其中，不是向量的个数是(

) A．1

C．3

B．2 D．4 解析：选C

因为速度、力和加速度既有大小，又有方向，所以它们是向量；而质量、路程和功只有大小，没有方向，所以它们不是向量，故不是向量的个数是3. 2.如图所示，在正三角形ABC中，P、Q、R分别是AB、BC、AC的中点，则与向量PQ相等的向量是

A.PR与QR

B.AR与RC

C.RA与CR

D.PAPA与QR

解析：选B

向量相等要求模相等，方向相同，因此AR与RC都是和PQ相等的向量．

3．当向量a与任一向量都平行时，向量a一定是________．

解析：由零向量的规定知，只有零向量与任一向量都平行．

答案：零向量

4．已知在边长为2的菱形ABCD中，∠ABC＝60°，则|BD|＝________. 解析：易知AC⊥BD，且∠ABD＝30°，

1设AC与BD交于点O，则AO＝AB＝1. 2在Rt△ABO中，易得|BO

|＝3，

则|BD|＝2|BO|＝23. 答案：23

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5.如图，O是正方形ABCD的中心．

(1)写出与向量AB相等的向量；

(2)写出与OA的模相等的向量．

解：(1)与向量AB相等的向量是DC；

(2)与OA的模相等的向量有：OB，OC，OD，BO，CO，DO，AO.

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