探究与发现 函数y=Asin（ωx+φ）及函数y=Acos（ωx+φ）的周期课堂实录及点评

函数的奇偶性教案

教学目标

一、

知识要点：理解奇函数、偶函数的定义，掌握一些简单的判断函数奇偶性的方法。

二、

能力训练要求：在理解定义的基础上，更进一步掌握函数奇偶性的基本性质，定理及图象特征。

三、

德育渗透目标：在教学中渗透数学中的对称美，培养学生数形结合和化归的重要数学思想。

教学重点：应用函数的基本性质、定义、定理判定函数的奇偶性。

教学难点：函数奇偶性的判断。

教学方法：讲授法、提问法

教学过程

一、

复习导引

对称是大自然的一种美，对称美在生活中随处可见。

1

y=

y=x2 x二、新授

定义：如果对于函数y=f (x)的定义域内任意的一个x，都有

（1），f (－x)=－f (x)，则称f (x)为奇函数。由定义知道：f (x)＝x3

，f (x)＝2x等都是奇函数。

2（2），f (－x)＝f (x),则称f (x)为偶函数。由定义知道y＝x2＋1，

y2

2x1

等都是偶函数。

注（1）奇偶函数的定义域关于原点对称。（定义域优先）

定理：奇函数的图象关于原点对称，反过来，若一个函数的图象关于原点对称，则这个函数是奇函数。

偶函数的图象的图象关于y轴对称，反过来，若一个函数的图象关于y轴则这个函数是偶函数。

注（2）函数奇偶性的类型：奇函数、偶函数、非奇非偶函数、既是奇函数又是偶函数。

例1判定下列函数的奇偶性。

（1）y=x2

(－2＜x＜3) 解：由于定义域不关于原点对称，所以该函数既不奇函数也不是偶函数。

（2）y(x1)1x

1x(1x)(1x)2(1x)(1x)

(1x)1xf(x)(1x)解：

1x(x1)2(1x)

f(x)(1x)(1x)

1x

初一看这个函数满足了f(x)f(x)，但由于被开方数必须大于或等于1x0，其解集为：

x︱1x1

,这个定义并关于原点对称，因此1x这个函数是非奇非偶函数。

定义域不关于原点对称的函数无奇偶性，即既不是奇函数也不是偶函数。

例2先判断函数的奇偶性，并证明你的结论。

（1）y＝︱x－1︱＋︱x＋1︱

2(2)

y2

2x1

例3

判断下列函数的奇偶性（只说出结果即可）

1（1）yx﹒1

(2) yx01

x0，即

(3)

y(x1)01

(4)

y2

注（3）定义域对称的零函数既是奇函数又是偶数，即f (x)=0是既是奇函数又是偶函数；

定义域对称的非零常数函数只是偶数，

即f (x)=a (a≠0)只是偶函数。

f (x)＝0

f (x)＝2

注（4）对于奇函数，自变量x若能取到0，则f (x)=0 例3判断函数的奇偶性

x1(x0)f (x)＝ 0(x0)x1(x0)

注（5）判断函数的奇偶性还可利用图象、定义等方法。

注（6）奇±奇＝奇

奇×奇＝偶

偶±偶=偶

偶×偶=偶

奇×偶=奇

偶÷偶＝偶

奇÷奇＝偶

（分母不能为0）

二、

练习

1、判断下列函数的奇偶性

1（1）yx11x

（2）y2

x

（3）f (x)＝x2 (4) yx5

（5）f(x)x

（7）f(x)x

(x2,1,0,1,2)

四、作业

1、函数ymx2(n1)x1是定义在[m26,m]上的偶函数，求该函数的值域。

2、己知函数yf(x)是奇函数，它在y轴右边的图象如图所示，画出yf(x)图象在y轴左边的图象。

1

（6）f(x)2x1

x