复习参考题教学实录及点评

同步辅导精品课程：第五讲：三角函数图像及性质

第五讲：三角函数图像及性质

一、

核心要点

1、

正弦函数的图像与性质：

ysinx 正弦函数 的图像与性质y图 像-3π-2π-πOπ2π3πx定义域值域最小正周期性 质对称性奇偶性单调性单调增区间单调减区间对称轴对称中心

2、

余弦函数的图像与性质：

ycosx 余弦函数 的图像与性质y图 像-5π/2-3π/2-π/2Oπ/23π/25π/2x定义域值域最小正周期性 质对称性奇偶性单调性单调增区间单调减区间对称轴对称中心

3、函数yAsin(x)的求解与图像变换：

其中，A叫做简谐振动的振幅，它决定了图像的最高点和最低点；决定了图像的周期，T2；||x称为相位；x0时的相位称为初相. （1）A的确定：根据图像的最高点和最低点，即A最高点-最低点；

2

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（2）的确定：结合图像，先求出周期T，然后由T2来确定；

||（3）求：把图像上的一个已知点代入（此时A、必须已知），或代入图像与x轴的交点；

4、正切函数的图像与性质：

ytanx 正切函数 的图像与性质y图 像-3π-2π-πOπ2π3πx性 质定义域值域最小正周期对称性对称中心奇偶性单调性单调增区间

5、

函数图像的变换规则：左加右减，上加下减。

举例说明：由函数ysinx的图像变换为y2sin(2x方法一：，(xx3)3的图像：

32x3)先相位变换，再周期变换，最后振幅变换（相期幅）。

ysinxysin(x)ysin(2x)y2sin(2x)y2sin(2x)3

3333方法二：(x2x2x3)先周期变换，再相位变换，最后振幅变换。

ysinxysin2xysin2(x)sin(2x)y2sin(2x)y2sin(2x)3

6333二、考点突破

考点一：三角函数的图像

题型1：三角函数的图像变换

例1、为了得到函数ysin(2x)的图象，只需把函数ysin2x的图象上所有的点（ ）

3A．向左平行移动个单位长度 B．向右平行移动个单位长度

33C．向左平行移动个单位长度 D．向右平行移动个单位长度

661练1：将函数y2sin(2x)的图象向右平移个周期后，所得图象对应的函数为（

）

64A．y2sin(2x)

B．y2sin(2x)

C．y2sin(2x)

D．y2sin(2x)

4343

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练2：为得到函数y2sin(2x)的图象，只需将函数y2cos2x的图象（

）

4A．向左平移单位

B．向右平移单位

C．向左平移单位

D．向右平移单位

44881练3：为了得到函数ysin(2x)(xR)的图像，只要将ysinx(xR)的图像所有的点（ ）

31A．向左平移个单位长度，再把所得点的横坐标缩短到原来的倍，纵坐标不变；

32B．向左平移个单位长度，再把所得点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变；

31C．向左平移个单位长度，再把所得点的横坐标缩短到原来的倍，纵坐标不变；

26D．向左平移个单位长度，再把所得点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变；

6例2：将函数f(x)cosx的图象向右平移个单位，得到函数yg(x)的图象，则g()



．

26练4：将函数f(x)sin(2x)的图象向左平移个单位，所得到的函数图象关于y轴对称，则8的一个可能取值为（

）

3A．

B．

C．0

D．

444练5：将函数ysin(2x)图象向左平移个单位，所得函数图象的一条对称轴的方程是（

）

64A．x

B．x

C．x

D．x

121263题型2：根据三角函数图像求函数解析式

例1：已知某函数部分图像如图所示，它的函数解析式可能是（

）

A．ysin(2x)

B．ysin(2x)

66C．ycos(2x)

D．ycos(2x)

36练1：函数yAsin(x)(A0,0,0)的图象的一部分如图所示，则此函数的解析式为（

）

A．y3sin(C．y3sin(

练2：函数f(x)Asin(x)(A0,0)的部分图象如图所示，则f(x)的解析式可以为（

）

x)

44x)

24

3)

443D．y3sin(x)

24B．y3sin(xA．f(x)3sin(2x)

413C．f(x)3sin(x)

24

B．f(x)3sin(2x)

413D．f(x)3sin(x)

24

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练3：函数yAsin(x)(A0,0,||2)的部分图象如图，则其解析式为

．

考点二：三角函数的奇偶性、对称性和周期性

规律1：一般来说，某一周期函数加绝对值或平方，其周期性是：弦减半、切不变.如ysin2x，y|sinx|的周期都是，y|tanx|的周期不变. 规律2：三角函数奇偶性常见结论

（1）若yAsin(x)为偶函数，则有k2(kZ)；若为奇函数则有k(kZ)；

（2）若yAcos(x)为偶函数，则有k(kZ)；若为奇函数则有k2(kZ)；

x)为奇函数，则有k(kZ). （3）若yAtan(题型1：判断函数的奇偶性

例1、若函数f(x)sin(2x)(0)是R上的偶函数，则= ．

练1：若函数f(x)sin(x)是偶函数，则的一个值是（

）

A．0

B．

2

C．

D．2

练2：函数f(x)Asin(x)(A0)在x3处取得最小值，则（

）

B．f(x)是偶函数

3

D．f(x)是偶函数

3练3：已知函数f(x)23sin(3x)(0)，若f(x)是周期为2的偶函数，则的一个可能3值是（

）

475A．

B．

C．

D．

366练4：函数f(x)xsin(x),xR是（ ）

2A．奇函数

B．偶函数

C．非奇非偶函数

D．既是奇函数又是偶函数

练5：若f(x)是定义在R上的奇函数，当x0时，f(x)x2sinx，求f(x)的解析式.

A．f(x)是奇函数

3C．f(x)是奇函数

3

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题型2：三角函数的对称性和周期性

当x0k(kZ)，即sin(x0)1时，ysin(x)的对称轴为xx0；(1)2(x0，0).当x0k(kZ)，即sin(x0)0时，ysin(x)的对称中心为规律：

当x0k(kZ)，即cos(x0)1时，ycos(x)的对称轴为xx0；(2)当xk(kZ)，即cos(x0)0时，ycos(x)对称中心为(x0，0).02总结：弦取最值得对称轴，弦取零值得对称中心. 例1、函数f(x)sin(2x)的图象（

）

65A．关于直线x对称

B．关于直线x对称

12125,0)对称

C．关于点(,0)对称

D．关于点(1212练1：若函数f(x)sin(2x)(0)的图象关于直线xA．6对称，则的值为（

）

D．2

3

6

B．

4

C．

3

练2：已知函数ysin(x)(0,||中心坐标是（

）

2,0)

A．(

3)的最小正周期为4，且f()1，则f(x)的一个对称23B．(3,0)

C．(2,0)

3

D．(5,0)

3练3：若函数f(x)2sin(4x)(0)的图象关于直线xA．5

3

B．2

3

C．6 对称，则的最大值为（

）

245

D．

6练4：函数f(x)Asin(x)b(0,||A．504

B．1008

)的图象如下，则f(0)f(1)f(2)f(2016)

2C．2016

D．2017

练5：下列函数中，最小正周期为，且图象关于y轴对称的函数是（

）

A．ycos(2x2)

B．y|sinx|

C．ysin2(x)

D．ysin2xcos2x

4练6：已知函数ycosx(0x2)的图象和直线y3围成一个封闭的平面图形，则其面积为

．

例2、函数f(x)sin(x)的周期为，则= ．2

3练7：下列函数中，最小正周期为的是（

）

xxA．ycos4x

B．ysin2x

C．ysin

D．ycos

24练8：下列函数中，最小正周期为的是（

）

2xA．ysinx

B．sinxcosx

C．ytan

D．ycos4x

2

S6

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练9：设函数f(x)sin2x，xR，则f(x)是（ ）

2A．最小正周期为的奇函数

C．最小正周期为的奇函数



B．最小正周期为的偶函数

D．最小正周期为的偶函数



考点三：三角函数的单调性和值域及最值问题

规律1：对于函数f(x)Asin(x)(A0,0)，当单调递增；当22kx22k(kZ)时，f(x)22kx32k(kZ)时，f(x)单调递减. 2x)(A0,0)，当2kcos(x)2k(kZ)时，对于函数f(x)Acos(f(x)单调递增；当2kcos(x)2k(kZ)时，f(x)单调递增. 当x2k(kZ)时，函数ysin(x)取最大值1；2(1)当x2k(kZ)时，函数ysin(x)取最小值-1.

2当x2k(kZ)时，函数ycos(x)取最大值1；(2)当x2k(kZ)时，函数ycos(x)取最小值-1.5例1、函数y3sin(2x),x[0,]的单调递减区间为

．[,]

488

37,k](kZ)

练1：函数ysin(2x)的单调递减区间是

.

[k4885k](kZ)

练2：函数y3sin(2x)2的单调递减区间是

.

[k,636练3：己知x0是函数f(x)sin(2x)的一个最大值点，则f(x)的一个单调递减区间是（

）

3252A．(,)

B．(,)

C．(,)

D．(,)

633623练4：若函数f(x)3sin(2x)(0x)是偶函数，则f(x)在[0,]上的递增区间是（

）

3B．[,]

C．[,]

D．[,]

2424例2、函数f(x)sin(2x)的单调递减区间是

.

[k,k](kZ)

663A．[0,]

2

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3)的单调增区间为

，单调减区间为

．

4595,k](kZ)[k,k](kZ)

答案：[k8888练5：函数f(x)sin(2x练6：下列函数中，周期为，且在[,]上为减函数的是 （ ）

4211A.ysin(2x)

B.ycos(2x)

C.ysin(x)

D.ycos(x)

2222223,k](kZ)

练7：函数f（x）=

f(x)2cos(2x)的单调增区间为

．[k488练8：已知函数f(x)sin(x)(0)的最小正周期为，将其图象向左平移个单位，得到函数yg(x)44的图象，则函数yg(x)的单调递增区间是（

）

52k,2k],kZ

883k,k],kZ C．[

88A．[

32k,2k],kZ

885k,k],kZ

D．[88B．[练9：函数y|sin(x)|的一个单调递增区间是（

）

A．(2,)

B．(,2)

C．(,3)

2

D．(0,)

27练10：已知函数f(x)sin(x)(0)在[,]上是减函数，则的取值范围

．[,]

34233练11：设函数f(x)tan(2x)，则f(x)的定义域为 ，单调递增区间为

；

3k},kZ

答案：{x|x122考点四：三角函数的图像与性质的综合应用

例1、已知函数f(x)cos(2x),xR．

4（1）求函数f(x)的最小正周期；（2）求函数f(x)的单调递减区间；

（3）函数f(x)的图象是由函数ycos(x)的图象经过怎样变换得到的？

42．

解：（1）函数f(x)cos(2x),xR的最小正周期T423（2）由2k2x2k，求得kxk，

4883可得函数f(x)的单调递减区间为[k,k]．

881（3）将函数ycos(x)图象上各点的横坐标缩短为原来的倍（纵坐标不变）得到函数f(x)42的图象．

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3练1：已知f(x)sin(2x),xR

62（1）求函数f(x)的最小正周期；（2）求函数f(x)的单调减区间；

（3）函数f(x)的图象可以由函数ysin2x(xR)的图象经过怎样变换得到？

32．

解：（1）对于f(x)sin(2x),xR，它的周期为T62232,kZ，得kxk,kZ，所以所求的单调减（2）由2k2x2k262632区间为[k,k],kZ．

633in2x的图象上所有点向左平移个单位，（3）把ys可得ysin(2x)的图象；再向上平移个12623单位，即得函数f(x)sin(2x)的图象．

62例2：已知函数ysin(2x)，求：（1）求A、、的值； （2）求x[0,]的值域．

42解：（1）函数ysin(2x)中，振幅A1、2、； 44522（2）当x[0,]时，2x[,]，∴sin(2x)[,1]，即f(x)的值域是[,1]．

2444422练2：已知y2sin(3x)

2（1）判断f(x)奇偶性；（2）求出f(x)的最小正周期；（3）求出f(0)f()f()f()值．

6322解（1）f(x)2sin(3x)2cos3．∴f(x)是偶函数．（2）f(x)的最小正周期T．

23（3）f(0)2cos02,f()0,f()2,f()0．∴f(0)f()f()f()=0．

632632练3：已知函数f(x)2sin(3x),xR．

3（1）求f(x)的最小正周期，单调减区间；（2）若x[0,]，求f(x)的值域．

222解：（1）∵f(x)2sin(3x)，函数解析式中3，∴函数的最小正周期T，

3332k52k11,kZ，解得：x,kZ，

∵令2k3x2k2323183182k52k11,],kZ．

∴函数f(x)单调减区间为：[3183187（2）∵x[0,]，∴3x[,]，

2336∴f(x)2sin(3x)[3,2]，即f(x)的值域为[3,2]．

3

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练4：已知函数f(x)2sin(2x)．

3（1）求f(x)的最小正周期；（2）求f(x)的最小值及取最小值时相应的x值；

（3）求函数f(x)的单调递增区间．

2，即函数f(x)的最小正周期是．

解：（1）∵f(x)2sin(2x)，∴T32（2）令t2x，使函数f(t)2sint,tR取得最小值的t的集合是{t|t2k,kZ}．

325,kZ．

由2x2k，求得

xk32125,kZ}．因此函数f(x)2sin(2x)的最小值为﹣2，此时x的取值集合是{x|xk

3125xk,kZ．

（3）由2k2x2k,kZ，求得 k23212125,k](kZ)．

所以，函数f(x)2sin(2x)的单调递增区间是[k31212

练5：已知函数f(x)3sin(2x),x[0,]. 4（1）求函数的单调区间

（2）求使函数取得最大值、最小值时的自变量x的值，并分别写出最大值、最小值．

55[,]；减区间为[，]．

解：（1）函数的增区间为[0,]、8888（2）令2x，求得x，可得函数的最大值为3；

42835令2x，求得x，可得函数的最小值为3．

428

练6：已知函数f(x)2sin(2x)．

3（1）求f(x)的单调递增区间；（2）求f(x)的最大值及取得最大值时相应的x的值．

解：（1）对于函数f（x）=2sin（2x﹣求得kπ﹣≤x≤kπ+），令2kπ﹣≤2x﹣≤2kπ+（k∈Z），

，kπ+]（k∈Z）．

（k∈Z）．

（k∈Z），可得f（x）的单调递增区间是[kπ﹣=2kπ+（2）当sinx=1时，f（x）有最大值2，此时，2x﹣（k∈Z），即x=kπ+练7：设函数f(x)3sin(x)(0)，且以为最小正周期．

623（1）求f(0)；

（2）求f(x)的解析式；（3）设(0,)，则f()，求的值．

2223解：（1）f(0)；（2）f(x)3sin(4x)；（3）．

263

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1练8：作出函数y3sin(x)在长度为一个周期的闭区间上的简图．

26

解：作图：