二次根式应用名师教学设计

16.3

二次根式的加减

第1课时

教学目标

1. 理解和掌握二次根式加减的方法．

2. 会进行二次根式的加减运算．

教学重点

二次根式化简为最简根式．

教学难点

会判定是否是最简二次根式．

教学过程

一、导入新课

学生活动：计算下列各式．

（1）2x+3x；

（2）2x2-3x2+5x2；

（3）x+2x+3y；

（4）3a2-2a2+a3. 教师点评：上面题目的结果，实际上是我们以前所学的同类项合并．同类项合并就是字母不变，系数相加减．

二、新课教学

问题

现有一块长为7.5dm、宽为5dm的木板，能否采用如图的方式，在这块木板上截出两个面积分别是8dm2和18dm2的正方形木板？

因为大、小正方形木板的边长分别为18dm和8dm，显然木板够宽．下面考虑木板是否够长．

由于两个正方形的边长的和为(8＋18) dm．这实际上是求8，18这两个二次根式的和，我们可以这样来计算：

人教版义务教育教材◎数学八年级下册

8＋18

＝22＋32

（化成最简二次根式）

＝(2＋3)2

（分配率）

＝52. 由2＜1.5可知52＜7.5，即两个正方形的边长的和小于木板的长，因此可以用这块木板按要求截出两个面积分别是8dm2和18dm2的的正方形木板．

分析上面计算8＋18的过程，可以看到，把8和18化成最简二次根式22和32后，由于被开方数相同(都是2)，可以利用分配律将22和32进行合并．

总结：一般地，二次根式加减时，可以先将二次根式化成最简二次根式，再将被开方数相同的二次根式进行合并．

三、实例探究

例1 计算：

（1）80－45；

（2）9a+25a．

分析：第一步，将不是最简二次根式的项化为最简二次根式；第二步，将相同的最简二次根式进行合并．

解：（1）80－45＝45－35＝5；

（2）9a+25a＝3a+5a＝8a．

例2 计算：

（1）212－61＋348；

3（2）(12＋20)＋(3－5)．

解：（1）212－61＋348＝43－23＋123＝143；

3（2）(12＋20)＋(3－5)＝23＋25＋3－5＝33＋5．

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四、巩固练习

教材第13页练习1、2．

五、归纳小结

本节课应掌握：

1. 不是最简二次根式的，应化成最简二次根式；

2. 相同的最简二次根式进行合并．

六、布置作业

习题16.3第1、2、3、5题．

第2课时

教学目标

用含有二次根式的式子进行乘除运算和含有二次根式的多项式乘法公式的应用．

教学重点

二次根式的乘除、乘方等运算规律．

教学难点

由整式运算知识迁移到含二次根式的运算．

教学过程

一、复习引入

上节课，我们讲解了二次根式运算中加减的问题，我们把它归为两个步骤：第一步，先将二次根式化成最简二次根式；第二步，再将被开方数相同的二次根式进行合并．那么，在二次根式的运算中，多项式乘法法则和乘法公式还能适用吗？我们就通过计算来说明．

学生活动：请同学们完成下列各题.

（1）(2x+y)·zx；

（2）(2x2y+3xy2)÷xy；

（3）（2x+3y)(2x－3y)；

（4）(2x+1)2+(2x－1)2．

教师点评：这些内容是整式运算的再现．如果把上面的x、y、z改写成二次根式，以上的运算规律是否仍成立呢？•

二、探索新知

整式运算中的x、y、z是一种字母，它的意义十分广泛，可以代表所有一切，•当然也可以代表二次根式，所以，整式中的运算规律也适用于二次根式．

例1 计算：

（1）(8＋3)×6；

（2）(42－36)÷22．

人教版义务教育教材◎数学八年级下册

分析：二次根式仍然满足整式的运算规律，•所以直接可用整式的运算规律．

解：（1）(8＋3)×6＝8×6＋3×6＝86＋36＝43＋32；

（2）(42－36)÷22＝42÷22－36÷22＝2－例2 计算：

（1）(2＋3)(2－5)；

（2）(5＋3)(5－3). 分析：二次根式的多项式乘以多项式运算在乘法公式运算中仍然成立．

解：（1）(2＋3)(2－5)＝(2)2＋32－52－15＝2－22－15＝－13－22；

（2）(5＋3)(5－3)＝(5)2－(3)2＝5－3＝2. 三、巩固练习

教材第14页练习1、2．

四、布置作业

习题16.3第4、7题．

33．

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