原（逆）命题、原（逆）定理教案和课堂实录

教学准备 1.

教学目标 1.1

知识与技能：

1．理解勾股定理逆定理的具体内容及勾股数的概念；

2．能根据所给三角形三边的条件判断三角形是否是直角三角形．

1.2

过程与方法：

1．经历一般规律的探索过程，发展学生的抽象思维能力；

2．经历从实验到验证的过程，发展学生的数学归纳能力. 1.3

情感态度与价值观：

1．体验生活中的数学的应用价值，感受数学与人类生活的密切联系，激发学生学数学、用数学的兴趣2．在探索过程中体验成功的喜悦，树立学习的自信心. 2.

教学重点/难点 2.1 教学重点：

掌握勾股定理的逆定理及简单应用 2.2 教学难点：

证明勾股定理逆定理. 3.

教学用具 4.

标签 教学过程 1 复习引入

1.直角三角形有哪些性质? （1）直角三角形两锐角互余；

（2）直角三角形斜边上的中线等于斜边一半；

（3）30度角所对的直角边等于斜边一半；

（4）勾股定理：直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方. 2.如何判断三角形是直角三角形?

有一个角是直角的三角形是直角三角形. 推进新课

（板书课题：勾股定理的逆定理）

2 新知探究

问题1 据说古埃及人用下图的方法画直角：把一根长绳打上等距离的13个结，然后以3个结、4个结、5个结的长度为边长，用木桩钉成一个三角形，其中一个角便是直角.大家画一画、量一量，看看这样做出的三角形是直角三角形吗？

师：（指图）据说古埃及人用下图的方法画直角：把一根长绳打上等距离的13个结，然后以3个结、4个结、5个结的长度为边长，用木桩钉成一个三角形，其中一个角便是直角. 这真是直角三角形吗？画画看，并用量角器检验一下. 生：（学生画出这个三角形，并用量角器检验一下）是直角三角形. 师：这个问题意味着，如果围成的三角形的三边分别为3、4、5，那么围成的三角形是直角三角形.这里注意3、4、5有什么关系呢？

生：……（有

“32+42=52”）. 师：再画画看，如果三角形的三边分别为2.5 cm、6 cm、6.5 cm，并有“2.52+62=6.52，画出的三角形是直角三角形吗？换成三边分别为4 cm、7.5cm、8.5 cm．再试一试，同学们在小组内共同合作，协手完成此活动. (学生小组内共同合作，教师巡视指导) 生：这两组数组成的三角形是直角三角形. 师：你发现了什么？

生：三角形的三边满足a2+b2=c2. 师：请写出符合上述特点的三组数，并分别以这三组数为边作三角形所作的三角形分别是什么三角形？

生：符合上述特点的三组数6cm、8cm、10cm；5cm、12cm、13cm；8cm、15cm、17cm.分别以这三组数为边作三角形所作的三角形都是直角三角形. 师：我们进而会想：是不是三角形的三边只要有两边的平方和等于第三边的平方，就能得到一个直角三角形呢？从而得出一个命题：

（课件/板书）

命题2 如果三角形的三边长：a，b，c满足a2+b2=c2，那么这个三角形是直角三角形. 师：接下来我们进一步来研究命题2. 问题2 命题2与勾股定理即命题1，它们的题设和结论各有何关系？命题2正确吗？如何证明呢？

师：我们分析一下命题2：这个命题题设是什么？结论是什么？

生：题设是三角形的三边长：a，b，c满足a2+b2=c2，结论是这个三角形是直角三角形. 师：命题2与勾股定理即命题1，它们的题设和结论各有何关系？

生：题设和结论交换了位置. （课件/板书）

互逆命题：如果两个命题的题设和结论正好相反，那么这样的两个命题叫作互逆命题.如果把其中一个

叫作原命题，那么另一个叫作它的逆命题. 师：△ABC的三边长a，b，c满足a2+b2=c2，如果边是a，b的直角三角形全等．实际情况是这样吗？

师：我们画一个直角三角形ABC使BC=a，AC=b，∠C＝900（如下图），把画好的△ABC剪下，放在△ABC上，它们重合吗？

ABC是直角三角形，它应与直角

生：我们所画的Rt △ABC，AB2=a2+b2，又因为c2=a2+b2，所以AB2=c2，即AB=c.△ABC和△ABC三边对应相等，所以两个三角形全等，∠C＝∠C＝900，△ABC为直角三角形. 即命题2是正确的. （课件/板书）

已知:在△ABC中，AB=c BC=a CA=b 且a2+b2=c2

求证:△ ABC是直角三角形

证明: 画一个直角三角形ABC使BC=a，AC=b，∠C＝90°

师：我们证明了命题2是正确的，那么命题就成为一个定理．由于命题1证明正确以后称为勾股定理，命题2又是命题l的逆命题，在此．我们就称定理2是勾股定理的逆定理，勾股定理和勾股定理的逆定理称为互为逆定理. （课件/板书）

互逆定理：一般地，如果一个定理的逆命题经过证明是正确的，那么它也是一个定理，称这两个定理

互为逆定理. 勾股定理的逆定理：如果三角形的三边长a，b，c满足a2＋b2＝c2

，那么，这个三角形是直角三角形．

师：但是不是原命题成立，逆命题一定成立吗？举例说明. 生：……

问题3 判断由a、b、c组成的三角形是不是直角三角形：

(1) a＝15 , b ＝8 , c＝17 (2) a＝13 , b ＝15 , c＝14 师：刚才我们学习了勾股定理的逆定理，我们可以用它判断已知三角形的三边的长，判断这个三角形是否是直角三角形.（指题）由(1) a＝15 , b ＝8 , c＝17 (2) a＝13 , b ＝15 , c＝14组成的三角形是不是直角三角形？同学们以小组为单位合作交流，说一说你是如何判断的？（学生交流、教师巡回指导）

师：谁来展示一下？

生：……

（课件/板书）

解：（1）∵152＋82＝225＋64＝289 172＝289 ∴ 152＋82＝172

∴这个三角形是直角三角形

（2）∵132＋142＝169＋196＝365 152＝225 ∴ 132＋142≠152

∴这个三角形不是直角三角形

师：谁来总结一下：已知三角形的三边的长，如何判断这个三角形是否是直角三角形？

生：先找最长边计算其平方看是否等于另两边的平方和. 若是则是直角三角形，反之不是．

师：总结得非常好. （课件/板书）

方法总结：由勾股定理的逆定理，判断三角形是不是直角三角形，只要看两条较小边的平方和是否等于最大边的平方．若是则是直角三角形，反之不是．

问题4 如果三条线段长a，b，c满足a2-b2=c2。这三条线段组成的三角形是不是直角三角形？为什么？

师：如果三条线段长a，b，c满足a2-b2=c2.这三条线段组成的三角形是不是直角三角形？为什么？谁来说一下. 生：三条线段长a，b，c满足a2-b2=c2组成的三角形是直角三角形.因为a2-b2=c2，所以b2+ c2= a2满足两边的平方和等于第三边的平方.（如果说错可多找几个同学发表见解）. 师：谁是直角边，谁是斜边？

生：b、c是直角边，a是斜边. 师：也就是说斜边不是c. （课件/板书）

直角三角形最长边是斜边，但斜边不一定是c，解决问题要做到具体分析，不能想当然. 3 典例剖析

例1 说出下列命题的逆命题．这些命题的逆命题成立吗? (1)两条直线平行，同位角相等．

(2)如果两个实数相等，那么它们的平方相等．

(3) 对顶角相等．

(4)全等三角形的对应角相等．

解：逆命题: 同位角相等，两条直线平行. 成立

逆命题:如果两个实数的平方相等，那么这两个实数相等. 不成立

逆命题:如果两个角相等，那么这两个角是对顶角. 不成立

逆命题:三组角分别相等的两个三角形是全等三角形. 不

总结: 原命题成立时, 逆命题有时成立, 有时不成

例2 已知△ABC 的三边分别为a=m2-n2，b=2mn，c= m2+n2，立（m＞n，m、n是正整数）. △ABC是直角三角形吗？说明理由. 分析：先来判断a,b,c三边哪条最长，可以代m,n为满足条件的特殊值来试，m=5,n=4.则a=9,b=40,c=41,c最大. 解： ∴△ABC是直角三角形.

4 巩固提升

1.写出下列命题的逆命题!并判断其逆命题的真假! （1）同位角相等；

（2）如果两个数的平方相等!那么这两个数的绝对值相等；

（3）全等三角形的面积相等. 解：（1）相等的角是同位角!是假命题! （2）如果两个数的绝对值相等，那么这两个数的平方相等，是真命题! （3）面积相等的三角形是全等三角形，是假命题. 2．△ABC中∠A、∠B、∠C的对边分别是a、b、c，下列命题中的假命题是（ B ）

A．如果∠C－∠B=∠A，则△ABC是直角三角形。

B．如果c2= b2—a2，则△ABC是直角三角形，且∠C=90°。

C．如果（c＋a）（c－a）=b2，则△ABC是直角三角形。

D．如果∠A：∠B：∠C=5：2：3，则△ABC是直角三角形。

3．判断题

⑴在一个三角形中，如果一边上的中线等于这条边的一半，那么这条边所对的角是直角。（ √ ）

⑵命题：“在一个三角形中，有一个角是30°，那么它所对的边是另一边的一半。”的逆 ）

命题是真命题。（ ×⑶勾股定理的逆定理是：如果两条直角边的平方和等于斜边的平方，那么这个三角形是直角三角形。（ √ ）

⑷△ABC的三边之比是1：1：，则△ABC是直角三角形。（ √ ）

4．判断下列线段a，b，c组成的三角形是不是直角三角形

（1）a=7，b=24，c=25 （

是

）

（2）a=1.5，b=4，c=2.5 （不是）

（3）a=(4）a=，b=1，c= （不是）

（

是

）

，b=2n，c= 课堂小结 （一）学生总结

这节课学习了什么？你有什么收获？（小组说--组内总结--组间交流）

1.互逆命题：如果两个命题的题设和结论正好相反，那么这样的两个命题叫作互逆命题.如果把其中一个叫作原命题，那么另一个叫作它的逆命题. 2.互逆定理：一般地，如果一个定理的逆命题经过证明是正确的，那么它也是一个定理，称这两个定理

互为逆定理. 3.勾股定理的逆定理：如果三角形的三边长a，b，c满足a2＋b2＝c2

，那么，这个三角形是直角三角形．

4. 勾股定理的逆定理应用：由勾股定理的逆定理，判断三角形是不是直角三角形，只要看两条较小边的平方和是否等于最大边的平方．若是则是直角三角形，反之不是．

（二）教师总结

今天，我们通过自己的努力，学会了这么多知识，老师真为你们骄傲！同时我们还发现很多数学知识都是相互联系、相互贯通的。我们在学习时要做到举一反三，运用旧知识来学到更多的新知识。

板书 17.2 勾股定理的逆定理（一）

1.互逆命题：如果两个命题的题设和结论正好相反，那么这样的两个命题叫作互逆命题.如果把其中一个叫作原命题，那么另一个叫作它的逆命题. 2.互逆定理：一般地，如果一个定理的逆命题经过证明是正确的，那么它也是一个定理，称这两个定理

互为逆定理. 3.勾股定理的逆定理：如果三角形的三边长a，b，c满足a2＋b2＝c2

，那么，这个三角形是直角三角形．

4. 勾股定理的逆定理应用：由勾股定理的逆定理，判断三角形是不是直角三角形，只要看两条较小边的平方和是否等于最大边的平方．若是则是直角三角形，反之不是．

例1 ……

例2 ……