二次根式应用设计意图

二次根式课堂实录

（重温本堂课的学习目标）

师：本堂课我们的学习目标是：1.理解二次根式基本概念；掌握二次根式的性质及运算法则，会分母有理化，并进行实数的简单四则运算．

2.培养学生严谨求实的良好学习态度，并发展自我的应用数学意识．

通过预习，你能基本达到哪些目标？需要继续努力的地方可要在课内认真噢！

（小组讨论课前延伸中存在的疑难之处或问题）师：在知识梳理中，你有哪些疑难之处或问题要提交小组讨论？

生：最简二次根式含义“（2）被开方数中不含有_________________的因数或因式．”

不理解什么意思？

生2：被开方数中不含有能开得尽方的因数或因式．

师：对的！你能举例说明“开得尽方”的含义吗？

322 生2：如根号下是4、9、16、ab、（- ）……

师：你说得很好！同学们还有什么疑问吗？

生3：1ab与1ab的有理化因式有什么不同？

生4：前面的是ab，

后面的是ab．

师：下面我们检查自己的预习作业．我提供的参考答案1．A；2．C；3．A；4．D；5．D； 6．C.同学们有需要讨论的吗？

生5：把a1根号外的因式移到根号内，我的答案不一样？

a师：你选的是……

生5：我选D．

生6：不对！这里的a是负数！根号外是负的．

师：大家明白了吗？

生（齐）：明白啦！选C．

师：下面我们一起来探讨几个典型例题．（出示小黑板）

例1：x取什么值时，下列各式在实数范围内有意义？

(1)(3)3xx2； (2)2x1x；

2x2x； （4）x2. 3x例2：①计算：1232761a1ab ②

bab3（师生分析）师：例1的(1)题是两个二次根式的和，x的取值必须怎样？

生（齐）：x的取值必须使两个二次根式都有意义．

师：那么x取值是……（指定学生回答）

生7：小于等于3且大于等于2．

师：请坐！（板演）

解：（1）要使3x有意义，必须3x≥0，即x≤3；要使x2有意义，必须x2≥0，即x≥2.所以使式子3xx2有意义的x值为2≤x≤3. 师：（2）题含有分母，式子的分母不能为0，同时要使x有意义．

生：x不能取1，1使1-x=0，而且x

大于等于0．

师：（板演）∵1-x≠0∴x≠1∴

x≥0且x≠1. 师：(3)题与(4)题的解答由大家自己来！请两位同学来板演！

生8（板演）：∵2x有意义，∴x≥0，∵2x有意义，∴x≤0，∴x=0 生9（板演）：∵x2有意义∴x-2．∴x-2且x0

师：两位同学做得对不对？

生（齐）：对！

师：下面来看二次根式的计算题．大家可要注意运算顺序哦！

生：（自己解答）．

师：请两位同学来板演．

生10（板演）：解：原式=2-3+33-23=2. 生11（板演）：解：原式=ab11aba11==. 22bbababababab师：大家与两位同学比较一下，对对答案！思考二次根式的计算技巧．

（思考后）生12：乘除混合运算可统一成乘法运算，加减运算要分母有理化、合并同类二次根式．

师：不错！你们真会反思自己的学习！

师：（出示小黑板）二次根式一章中，除了化简和运算之外，还要注意其应用．一起来看！ 例3：二次根式的应用.

（1）在直角坐标系中，点P（1，3）到原点的距离_____．

（2）一个台阶如图，阶梯每一层高15cm，宽25cm，长60cm.一只蚂蚁从A点爬到B点最短路程是多少？

（3）已知△ABP的一边AB=

10，

1）在如图所示的4×4的方格中画出格点△ABP，使三角形的三边为5、5、10.

2）如图所示，AD⊥DC于D，BC⊥CD于C，若点P为线段CD上动点．

①则AD=____ ， BC=____． ②

设DP=a,请用含a的代数式表示AP=_____，BP=______．

③

当a=1 时，则PA+PB=______． ④ PA+PB是否存在一个最小值？

师：（1）题可以画图，会不会回答？

生（齐）：2！

师：好！再看清楚（2）的题意！[（2）题学生审题后，思考，再组织学生小组合作探究，组间交流．]2分钟后，教师指定的某小组成员（生13）全班交流．

生13：将立体图形展开成平面图形，计算矩形的对角线AB就是从A点到B点的最短路程．

师：非常好！这位同学向我们介绍了一种处理立体图形问题的方法．本题的答案是……

生（齐）：100. 师：（3）题谁来画图？（教师指定学生（生14）板演）

（生14板演后）师：大家都画好了吗？一起看黑板，

这位同学画得对吗？有别的图形吗？

生（齐）：对！就这样．

师：2）题①大家能回答吗？

生（齐）：AD=2 ，BC=1．

师：线段AD和BC的大小会因P的运动而改变吗？

生（齐）：不会．

师：很好！②大家能回答吗？

生15（急忙）：AP=4a，BP=……

师：不着急．缪颖，你说．

缪颖：BP=13a．

2

师：③呢？

生（笔算后）齐答：25. 师：对的！再来看④．存在最小值吧？ 生（齐）：存在．

师：当A、B两点固定位置时，怎样在线段CD上找准动点P的位置，使得PA+PB的和最小？

（引导学生小组讨论）

师：你来回答你们组的答案！

/ /生17：找A关于CD的对称点A，连结AB交CD于P，此时PA+PB的和最小．

师：还可以怎样作出P点？

//生18：作B关于CD的对称点B，连结AB交CD于P．

师：大家理解这是为什么吗？（学生组织语言后，指定回答）周颖，你来说说．

//周颖：两点之间线段最短，利用轴对称性将PA转化成PA，那AB就是PA+PB的最小和．

师：很好！大家作图求出这个最小值，是多少？

（稍停）生（齐）：32．

师：本节课我们重点复习了二次根式的意义和运算．只有当a≥0时，二次根式a有意义；同时须考虑其所处位置来确定未知数的取值范围；分母有理化、分解因式是二次根式运算中的常用方法，运算的结果都要化成最简二次根式；数形结合是二次根式应用中常见策略．下面请同学们完成一份测试．

生：课堂测试（10分钟）. 师：（行间巡视，将典型问题板书于黑板）252242_________

m212=_________ 2m5a2的化简

a2略作评讲：25-24=（25+24）（25-24）=49．

m+222112 -2=()mm2ma2955(a2)(a2)=

a2=a2a2a2小组长收缴测试纸. 师：下课！