原（逆）命题、原（逆）定理PPT配套教学设计内容

17.2 勾股定理的逆定理

1.勾股定理的逆定理及其作用. 2.什么是互逆命题. 3.什么是互逆定理. 4.能灵活使用勾股定理的逆定理解决实际问题.

自学指导：阅读课本31页至33页，完成下列问题. 知识探究

1.古埃及人画直角的方法是：在一根绳子上打上等距离的13个结，然后以3个结、4个结、5个结的长度为边长，然后用木桩钉成一个三角形，其中一个角是直角. 2.互逆命题：在一对命题中，第一个命题的题设恰好为第二个命题的结论，而第一个命题的结论恰好是第二个命题的题设，像这样的两个命题叫做互逆命题.我们把其中一个叫做原命题，那么另一个就叫做它的逆命题. 3.如果一个定理的逆命题经过证明是准确的，那么它也是一个定理，这两个定理为互逆定理. 2224.勾股定理是：如果直角三角形的两直角边长分别为a、b，斜边为c，那么a+b=c. 222它的逆定理是：如果三角形的三边长a、b、c满足a+b=c；那么这个三角形是直角三角形. 5.能够成为直角三角形三条边长的三个正整数，称为勾股数(或勾股弦数). 自学反馈

1.说出下列命题的逆命题，并判断它们是否准确. (1)原命题：猫有四只脚.(√) 逆命题：有四只脚的是猫.(×)

(2)原命题：对顶角相等.(√) 逆命题：相等的角是对顶角.(×) (3)原命题：线段垂直平分线上的点，到这条线段两端的距离相等.(√) 逆命题：到线段两端距离相等的点，在这条线段的垂直平分线上.(√) (4)原命题：角平分线上的点，到这个角的两边的距离相等.(√) 逆命题：在角的内部到角两边距离相等的点，在这个角的平分线上.(√) 任何一个命题都有逆命题；原命题准确，逆命题不一定准确，原命题不准确，逆命题可能准确. 2.下面以a、b、c为边长的三角形是不是直角三角形？如果是，那么哪一个角是直角？

(1)a=25 b=20 c=15 解：是；∠A=90°

(2)a=13 b=2 c=15 解：不是

(3)a=1 b=2 c=3

解：是；∠B=90°

(4)a∶b∶c=3∶4∶5 解：是；∠C=90°

根据勾股定理逆定理，判断一个三角形是不是直角三角形，只要看两条较小线段的平方和是否等于最大边长的平方.大边对的是大角，即大边对的角是直角.

活动1 小组讨论

例1 证明：勾股定理的逆定理.

已知：△ABC的三边长分别为a、b、c，且满足a+b=c；

求证：△ABC是直角三角形. 222

证明：画一个直角三角形A′B′C′，使B′C′=a，A′C′=b,∠C′=90°. 2222+2在Rt△A′B′C′中，A′B′=B′C′+A′C′=ab, 222又a+b=c,∴A′B′=c. 在△ABC和△A′B′C′中，B′C′=a=BC；A′C′=b=AC；A′B′=c=AB, ∴△ABC≌△A′B′C′. ∴∠C=∠C′=90°,即△ABC是直角三角形. 例2 判断由线段a、b、c组成的三角形是不是直角三角形. (1)a=15，b=8，c=17； (2)a=13，b=14，c=15. 222解：(1)因为15+8=225+64=289,17=289, 222所以15+8=17，这个三角形是直角三角形. 222(2)因为13+14=169+196=365,15=225, 222所以13+14≠15，这个三角形不是直角三角形. 例3 某港口位于东西方向的海岸线上，“远航”号、“海天”号轮船同时离开港口，各自沿一固定方向航行，“远航”号每小时航行16海里，“海天”号每小时航行12海里，他们离开港口一个半小时后相距30海里，如果知道“远航”号沿东北方向航行，能知道“海天”号沿那个方向航行吗？

分析：我们根据题意画出图，能够看出因为“远航”号的航向已知，如果求出两艘船的航向所成的角，就能知道“海天”号的航向了. 解：根据题意，画图如下

PQ=16×1.5=24，PR=12×1.5=18，QR=30. 222222∵24+18=30，即PQ+PR=QR，

∴∠QPR=90°. 由“远航”号沿东北方向航向可知，∠QPS=45°,所以∠SPR=45°，即“海天”号沿西北方向航行. 活动2 跟踪训练

2221.如果三条线段长a、b、c满足a=c-b，这三条线段组成的三角形是不是直角三角形？为什么？

222222解：是.因为a=c-ba+b=c，由勾股定理的逆定理判断是直角三角形. 2.以下各组数为边长，能组成直角三角形的是( C ) A.5，6，7 B.10，8，4 C.7，25，24 D.9，17，15 3.以下面各组正数为边长，能组成直角三角形的是( C ) A.a-1，2a，a+1 B.a-1，2，a+1 C.a-1，2a，a+1 D.a-1，2a，a+1 4.说出下列命题的逆命题，这些命题的逆命题成立吗？

(1)两直线平行，内错角相等.

(2)如果两个实数相等，那么它们的绝对值相等. (3)全等三角形的对应角相等. (4)等腰三角形的底角相等. 解：(1)内错角相等，两直线平行.√

(2)如果两个数的绝对值相等，那么这两个数也相等.×

(3)对应角相等的三角形全等.×

(4)底角相等的三角形是等腰三角形.√

225.古希腊的哲学家柏拉图曾指出，如果m表示大于1的整数，a=2m，b=m-1，c=m+1，那么a、b、c为勾股数.你认为对吗？如果对，你能利用这个结论得出一些勾股数吗？

解：对. 222222424222因为a+b=(2m)+(m-1)=4m+m-2m+1=m+2m+1=(m+1), 222222而c=(m+1),所以a+b=c,即a、b、c是勾股数. m=2时，勾股数为4、3、5；m=3时，勾股数为6、8、10；m=4时，勾股数为8、15、17. 6.欲登12米高的建筑物，为安全需要，需使梯子底端离建筑物5米，至少需多长的梯子？

解：在Rt△ABC中，AB=AC+BC=12+5=169. 2∵13=169,AB>0,∴AB=13. ∴至少需要13米的梯子. 活动3 课堂小结

1.勾股定理的逆定理. 2.互逆命题. 3.互逆定理. 4.勾股数. 5.勾股定理的应用：(1)判断三角形的形状.(2)用于求角度.(3)用于求边长.(4)用于求面积.(5)用于证垂直.

教学至此，敬请使用学案当堂训练部分. 22222