复习参考题优秀教学设计

高一数学学科导学稿（学生版）

编写人：莫小彬 审稿：高一级备课组 定稿日：2018-4-26

高一（ ）班 姓名： 一、课题：三角函数复习

二、课时：2课时

三、学习目标：1、能够熟练运用三角函数的诱导公式2、掌握正弦、余弦三角函数的图像与性质。3、能够根据三角函数的性质解决问题。

四、学习过程：

（一）知识点梳理

1、终边相同的角：所有与角α终边相同的角，连同角α在内，可构成一个集合S＝{β|β＝α＋k·360°，k∈Z}

2、弧度制：弧度与角度的互化：360°＝2πrad

180°＝πrad 010180rad0.01745rad　　1rad1800057.305718

弧长公式：

＿＿＿＿＿＿＿＿

扇形面积公式：＿＿＿＿＿＿＿

3、诱导公式

公式一：

公式二：

公式三：

公式四：

sin(2k)sinsinsincos(2k)

cos

cos

cos

tan(2k)tantantan

公式五

公式六

公式七

公式八

sin2sin332sinsincos



23

232cos2cos2cos2

4、同角三角函数的基本关系

sin2cos21　　　tansincos

主要变形



sin2cos21sin1cos2（符号看象限）

cos1sin2

1

5、三角函数的图象和性质：

性质

函

数

ysinx

ycosx

ytanx

定义域

图

象

值

域

奇偶性

周

期

单调性

单调增区间：

单调减区间：

单调增区间：

单调减区间：

单调增区间：

6、yAsinx的变换与图像性质

一般结论：函数yAsin(x)（A>0，0）的图象是先将函数ysinx的图象上所有点向 或向 平移 个单位长度得到函数ysin(x)的图象，然后将函数ysin(x)的图象上所有点 坐标

或 到原来的 倍（纵坐标不变）得到函数ysin(x)的图象，最后将函数ysin(x)的图象上所有点的 横坐标 或 到原来的 倍（横坐标不变），从而得到函数yAsin(x)的图象。

即：平移变换→周期变换→振幅变换。

思考：函数yAsin(x)的图像可由ysinx图像按“周期变换→平移变换→振幅变换”的顺序变换而得到吗？答：可以。

结论：函数yAsin(x)（A>0，0）的图象是先将函数ysinx的图象上

2

所有点的

坐标

或

到原来的

倍（纵坐标不变）得到函数ysinx的图象，然后将函数ysinx的图象上所有点向

或向

平移

＿＿＿＿个单位长度得到函数ysin(x)的图象，最后将函数ysin(x)的图象上所有点的

横坐标

或

到原来的

倍（横坐标不变），从而得到函数yAsin(x)的图象。

7、通过图像求yAsinx的解析式的方法与步骤

函数y＝Asin(ωx＋φ)的部分图象确定解析式关键在于确定参数A，ω，φ的值．

(1)一般可由图象上的最大值、最小值来确定|A|. 2π(2)由T＝ω，所以往往通过求周期T来确定ω，可通过已知曲线与x轴的交点从而确定TT，即相邻的最高点与最低点之间的距离为；相邻的两个最高点(或最低点)之间的距离2为T.

(3)三角函数式中确定φ的方法：

10

代入法：把图象上的一个已知点代入(此时，A、ω已知)或代入图象与x轴的交点求解．(此时要注意交点在上升区间还是在下降区间上) 20

五点法：确定φ的值时，往往以寻找“五点”中的第一个“零点”(－ω，0)作为突破口．“五点”中的ωx＋φ的值具体如下：“第一点”(即图象上升时与x轴的交点)为πωx＋φ＝0；“第二点”(即图象的“峰点”)为ωx＋φ＝；“第三点”(即图象下降时与2x轴的交点)为ωx＋φ＝π.

（二）例题讲解

sin2π－α·cos2π－α·tan－π＋α例1：已知f(α)＝. sin－π＋α·tan－α＋3π1ππ(1)化简f(α)；(2)若f(α)＝，且<α<，求cos α－sin α的值；

84231π(3)若α＝－，求f(α)的值．

3sin2α·cos α·tan α解

(1)f(α)＝＝sin α·cos α. －sin α－tan α1(2)由f(α)＝sin αcos α＝可知(cos α－sin α)2＝cos2α－2sin αcos α＋sin2α

813＝1－2sin αcos α＝1－2×＝. 84

3 φ

ππ3又∵<α<，∴cos α

－＝cos－·(3)∵α＝－＝－6×2π＋，∴fsin333335π5πππ－6×2π＋5π＝cos 5π·－6×2π＋·＝cossinsin ＝cos(2π－)·sin(2π－) 333333π13π3＝cos ·－sin 3＝·－＝－.

2234

3tanαcos3α变式：已知cosα＝－，且tanα>0，求的值．

51－sinα3解:∵cosα＝－，且tanα>0，∴α是第三象限角，

54∴sinα＝－1－cos2α＝－，

5sinα3cosα3sin1－sin2αtanαcosαcosα444＝＝＝sinα(1＋sinα)＝－×(1－)＝－. 55251－sinα1－sinα1－sinα

例2：求函数y＝4sin(2x＋)，x∈R（1）求函数的最小正周期（2）求函数的单调递4减区间（3）取最大值、最小值时的自变量x的集合，并说出最大值、最小值分别是什么？

解：（1）函数的最小正周期为T＝（2）设z2x2

24，函数y=sinz的单调减区间为32k,2k

22由

22k2x4352k　　kZkxk　　kZ288得

5y4sin(2x)，xR的单调递减区间是k,k　　kZ488∴

（3）当2x42k2时，即xk8时,函数取得最大值

4

函数取得最大值的x的集合是x｜x＝k+，kz8最大值是4 当2x4352k时，即xk时，函数取得最大值28

5函数取得最大值的x的集合是x｜x＝+k，kz8最大值是－4

πx变式：已知函数f(x)＝3sin3－2，(1)求函数f(x)的最小正周期。

(2)求f(x)的单调递增区间。(3) 取最大值、最小值时的自变量x的集合，并说出最大值、最小值分别是什么？

解：(1)f(x)的最小正周期为T24

。。。。。。。。。。。3分

12xxf(x)3sin3sin...............4分3223xxf(x)3sin的单调递增区间是f(x)3sin的单调递减区间23232

。。。。。。。。。。。。。。。5分

x32k,kZ。。。。。。。分622325114kx4k,kZ。。。。。。。。。分7

3311x5f(x)3sin的单调递增区间是4k,4k,kZ3233由2k。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。8分

（3）当15x2k时，即x4k时2323

。。。。。9分

5函数f(x)取得最小值－3,此时x的集合是x｜x＝4k+，kz3。。。10分

5

当1311x2k时，即x4k时2323

。。。。。。。11分

11函数取得最大值3，此时x的集合是x｜x＝+4k，kz3。。。12分

例3、由右图所示的函数图象，求yAsin(x)(||)的表达式。

解：由图象可知A＝2，

T72()，即，∴2，

88∴y2sin(2x)

∵函数图象经过点（即sin(2∴2y213878，2）∴2sin(2)2，

888)1

o8x82k2

，即2k4

2∵，∴4∴所求函数表达式为y2sin(2x

4)。

6

（三）课堂练习

1. 下列角中终边与

330°

相同的角是（ B ）

A. 30° B. - 30°

C.630° D.-630°

232 sin

π的值等于（ A ）

63311

B. 

C.

D.

2222π3下列函数中，周期为的是(

A

) 2A. xxA．y＝cos4x

B．y＝sin2x

C．y＝cos

D．y＝sin

42

π3π4．函数y＝－sinx，x∈[－，]的简图是(

D

) 22

5．函数f(x)＝sin(－x)的奇偶性是(

A

) A．奇函数

B．偶函数

C．既是奇函数又是偶函数

D．非奇非偶函数

6．

若sin x·tan x<0，则角x的终边位于(

B

) A．第一、二象限

B．第二、四象限

C．第二、三象限

D．第三、四象限

7．函数y＝sin2x的单调减区间是(

B

) π3π3＋2kπ，π＋2kπ(k∈Z)

B.kπ＋，kπ＋π(k∈Z) A.2442ππkπ－，kπ＋(k∈Z) C.[π＋2kπ，3π＋2kπ](k∈Z)

D.44

8．函数y＝2cosx－1的最大值、最小值分别是(

D

) A．2、－2

B．2、－1

C．1、－1

D．1、－3

7

9、要得到函数ysinx的图象，只需将函数ycosx的图象（

A

）

个单位

C、向左平移个单位

A、向右平移

个单位

D、向左平移个单位

B、向右平移10．函数yasinx1的最大值是3，则它的最小值_____________ 解：∵函数yasinx1的最大值是3，∴3a1a2，ymin2111

π12x－＋1的最大值，及此时自变量x的取值集合．

11．求函数y＝cos43ππ2142x－≤1.∴≤cos2x－＋1≤. 解:∵x∈R，∴－1≤cos44333π142x－＋1的最大值是. ∴函数y＝cos433ππ此时2x－＝2kπ(k∈Z)，∴x＝kπ＋. 48πx＝kπ＋，k∈Z. 即此时自变量x的取值集合是x8

12、右图所示的曲线是函数yAsin(x)(A0,0,求这个函数的解析式。

解析：由函数图像可知A＝2，

45ππ2π－＝π，即＝π，

T＝ω3612故ω＝2. 5π又6，0是五点法作图的第五个点，

5π即2×＋φ＝2π，

6ππ2x＋. 则φ＝.故所求函数的解析式为y＝2sin33

8 2)的图象的一部分，y256o12x2

五、课外作业

11．函数y＝sinx，x∈[0,2π]的图象与直线y＝－的交点有(

B

) 2A．1个

B．2个

C．3个

D．4个

π2．已知函数f(x)＝3＋2cosx的图象经过点(，b)，则b＝（C

）

3A．2

B．3

C．4

D．5

2π3．函数y＝3cos(x－)的最小正周期是(

D

) 562π5πA.

B.

C．2π

D．5π

5214．设α是第二象限角，P(x,4)为其终边上的一点，且cosα＝x，则tanα＝(

A

) 54334A. －

B.

C．－

D．

3443sinα－2cosα5．如果＝－5，那么tanα的值为(

B

) 3sinα＋5cosα2323A．－2

B．－

C.

D．2 16166．函数y＝cos2x在下列哪个区间上是减函数(

C

) πππ3πππA．[－，]

B．[，]

C．[0，]

D．[，π]

444422

πx－的图象，只要将y＝sin x的图象(B)

7．

要得到y＝sin3ππA．向左平移个单位长度

B．向右平移个单位长度

33ππC．向左平移个单位长度

D．向右平移个单位长度

668、函数ysin2x图像向右平移

55)

个单位所得图像的函数表达式为ysin2(x1212

9

9、下图为函数yAsin(x)(A>0,>0,<)的图象的一段，求其解析式。

解：由函数图象可知A3,T2(5),

63y3NM∴2，此时函数解析式为y3sin(2x)

∵函数图象经过点M(3,0)，∴03sin(23)

o32k,kZ，

∴32∵，∴或

33∵当x0时，y0，∴35x63舍去，

∴所求函数解析式为y3sin(2x

2)。

3π其中A＞0，ω＞0，0＜φ＜的周期为π，且图10、已知函数f(x)＝Asin(ωx＋φ)，x∈R22ππ，－2.(1)求f(x)的解析式；(2)当x∈0，时，求f(x)的最值．象上一个最低点为M

3122π解：

(1)由函数f(x)图象上的一个最低点为M3，－2，得A＝2. 由周期T＝π，得ω＝2π2π＝＝2. Tπ2π4π4π4π，－2在图象上，得2sin＋φ＝－2，即sin＋φ＝－1，所以＋φ由点M3333π＝2kπ－(k∈Z)，

2故φ＝2kπ－π11ππ0，，所以k＝1，φ＝. (k∈Z)，又φ∈266π2x＋. 所以函数的解析式为f(x)＝2sin6ππππππ0，，所以2x＋∈，，(2)因为x∈所以当2x＋＝，即x＝0时，函数f(x)1266366πππ取得最小值1；当2x＋＝，即x＝时，函数f(x)取得最大值3. 6312

10