探究与发现 函数y=Asin（ωx+φ）及函数y=Acos（ωx+φ）的周期教学设计范文

正弦函数、余弦函数的性质

——正弦函数、余弦函数的周期性教学设计

甘肃省宁县第二中学

赵宁平

一

阅读教材人教A版：阅读教材（34）页到（36）页，正弦函数、余弦函数的性质（一）引入：

1．问题：（1）今天是星期二，则过了七天是星期几？过了十四天呢？……

（2）物理中的单摆振动、圆周运动，质点运动的规律如何呢？

2．观察正（余）弦函数的图象总结规律：

自变量x

函数值sinx

2

3





221

0



21



0

3

21

2

0

0

1

0

0

y

–

1

x





5

2

2

5



O

22

1–

正弦函数f(x)sinx性质如下：

文字语言：正弦函数值按照一定的规律不断重复地取得；

符号语言：当x增加2k（kZ）时，总有f(x2k)sin(x2k)sinxf(x)．

也即：（1）当自变量x增加2k时，正弦函数的值又重复出现；

（2）对于定义域内的任意x，sin(x2k)sinx恒成立。

余弦函数也具有同样的性质，这种性质我们就称之为周期性。

回顾诱导公式（公式一）

二

试身手，

初露锋芒. 1.

什么是周期函数？

2.什么是最小正周期？

答：如果在周期函数f(x)的所有周期中存在一个最小的正数，那么这个最小正数就叫做f(x)的最小正周期．

3.正余弦函数是不是周期函数？周期是多少？最小正周期是多少？

4.

函数f(x)＝Asin(ωx＋φ) (Aω≠0)是否是周期函数，它的最小正周期是多少？函数f(x)＝Acos(ωx＋φ)呢？

答：函数f(x)＝Asin(ωx＋φ) (Aω≠0)是周期函数。

因为

所以，所以函数f(x)＝Asin(ωx＋φ) (Aω≠0)是周期函数，最小正周期为.同理可得函数f(x)＝Acos(ωx＋φ)的最小正周期也为

三

攻难关，知识迁移拓展

1.

已知函数y=2sin(ωx+

π/3

)(ω＞0)的最小正周期为3π，则ω=______．

2.求y＝|cos x|的周期. 解：函数y＝|cos x|的图象如图所示：

根据图象可知：T＝π.

3 .求下列函数周期：

（1）y3cosx，xR；

（2）ysin2x，xR；

1)，xR．

26解：（1）∵3cos(x2)3cosx，

xR的值才能重复出现，∴自变量x只要并且至少要增加到x2，函数y3cosx，

所以，函数y3cosx，xR的周期是2．

（2）∵sin(2x2)sin2(x)sin2x，

∴自变量x只要并且至少要增加到x，函数ysin2x，xR的值才能重复出现，

所以，函数ysin2x，xR的周期是．

（3）y2sin(x

112)2sin[(x)]2sin(x)，

62626∴自变量x只要并且至少要增加到x，函数ysin2x，xR的值才能重复出现，

所以，函数ysin2x，xR的周期是．

xR说明：（1）一般结论：函数yAsin(x)及函数yAcos(x)，（其中A,,

2为常数，且A0，0）的周期T；

（3）∵2sin(x12

（2）若0，例如：①y3cos(x)，xR；②ysin(2x)，xR；

③y2sin(1x)，xR．

26则这三个函数的周期又是什么？

一般结论：函数yAsin(x)及函数yAcos(x)，xR的周期T2 ||四

找规律，方法总结.

求函数的最小正周期的常用方法、发现的规律是：

(1)定义法，即观察出周期，再用定义来验证；也可由函数所具有的某些性质推出使f(x＋T)＝f(x)成立的T. (2)图象法，即作出y＝f(x)的图象，观察图象可求出T.如y＝|sin x|. (3)结论法，一般地，函数y＝Asin(ωx＋φ) (其中A、2πω、φ为常数，A≠0，ω>0，x∈R)的周期T＝ω. 五

知识迁移拓展.

例3

设f(x)是定义在R上的偶函数，其图象关于x1对称，对任意x1,x2[0,]，都有f(x1x2)f(x1)f(x2)。

（１）

设f(1)2，求f(),f()

（２）证明f(x)是周期函数

六

课后练习小结. 课堂练习：求下列函数的周期：

（1）ysin3x，xR；

（2）ycos（4）ysin(x121214（5）ycos(2x)，；（6）y3sin(x)，．

)，xR；10243小结：1.周期函数、最小正周期的定义

2.

yAsin(x)型函数的周期的求法。

xx，xR；

（3）y3sin，xR；

341xRxR