2.5.2 向量在物理中的应用举例教学评价实录

第3讲

平面向量的数量积及应用举例（第二课时）

【知识梳理】

平面向量数量积的有关结论

已知非零向量a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，设a与b的夹角为θ. 模

|a|＝

夹角

几何表示

|a|＝

坐标表示

【双基自测】

1．(2017·湖北优质高中联考)设x∈R，向量a＝(x，1)，b＝(1，－2)，且a⊥b，则|a＋b|＝(

) A.5

B.10

C．25

D．10

2．(2017·高考全国卷乙·改版)已知平面向量a，b的夹角为60°，|a|＝2，|a＋2b|＝23，则|b|＝_____．

3．(2017·山西省第二次四校联考)已知|a|＝1，|b|＝2，且a⊥(a－b)，则向量a与向量b的夹角为(

) πππ2πA.

B.

C.

D.

6433

1331→→4．

(2016·高考全国卷丙)已知向量BA＝，，BC＝，，则∠ABC＝(

) 2222A．30°

B．45°

C．60°

D．120°

【典例剖析】

→→→例1

已知在△ABC中，D为BC的中点，若∠BAC＝120°，AB·AC＝－1，则|AD|的最小值为(

) 123A.

B.

C.2

D.

222

1

跟踪练习1

已知向量p＝(2，－1)，q＝(x,2)，且p⊥q，则|p＋λq|的最小值为________．

例2

(2017·高考山东卷)已知e1,e2是互相垂直的单位向量，若3e1e2与e1e2的夹角为60，则实数的值是

．

→→→跟踪练习2

已知△ABC是正三角形，若AC－λAB与向量AC的夹角大于90°，则实数λ的取值范围是_____．

考点

平面向量数量积的综合应用

例3 已知在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，向量m＝(sin A，sin B)，n＝(cos B，cos A)，m·n＝sin 2C. (1)求角C的大小；

→→→(2)若sin A，sin C，sin B成等差数列，且CA·(AB－AC)＝18，求c边的长．

跟踪练习3 (2017·高考江苏卷)已知向量a(cosx,sinx),b(3,3),x0,，

(1)

若a//b，求x的值；

(2)

记f(x)ab，求f(x)得最大值和最小值以及对应的x的值.

0

2

y≥x，→→→→跟踪练习4

已知x，y满足x＋y≤2，若OA＝(x，1)，OB＝(2，y)，且OA·OB的最大值是最小值的8倍，x≥a，则实数a的值是(

) 111A．1

B.

C.

D.

348

【课堂小结】

1．求平面向量的模的方法

①|a|2＝a2＝a·a；

②|a±b|2＝a2±2a·b＋b2；

③若a＝(x，y)，则|a|＝x2＋y2. 2．求两个非零向量的夹角的方法及注意事项

①找向量的数量积；

②注意夹角的取值范围；

③两个向量a与b的夹角为锐角，则有a·b>0，反之不成立(因为夹角为0时不成立)；

两个向量a与b的夹角为直角，则有a·b=0；

两个向量a与b的夹角为钝角，则有a·b<0，反之不成立(因为夹角为π时不成立)．

3．平面向量与三角函数的综合问题

(1)题目条件给出的向量坐标中含有三角函数的形式，运用向量共线或垂直或等式成立等，得到三角函数的关系式，然后求解．

(2) 题目条件给出用三角函数表示的向量坐标，要求的是向量的模或者其他向量的表达形式，解题思路是经过向量的运算，利用三角函数在定义域内的有界性，求得值域等．

3

【高考零距离】

近四年高考真题统计：

年份

2017 卷别

甲卷

乙卷

甲卷

2016

乙卷

丙卷

2015

Ⅰ卷

Ⅱ卷

Ⅰ卷

Ⅱ卷

具体考查内容及命题位置

平面向量的坐标表示、向量的数量积·T12 向量的数量积运算及向量的模·T13 向量垂直的应用·T3

向量模的运算·T13

向量的夹角问题·T3

平面向量的线性运算·T7

平面向量共线定理的应用·T13

平面向量加法的几何意义·T15

平面向量的模、数量积的运算·T3

2014

命题分析：

1．平面向量是高考必考内容，每年每卷均有一个小题(选择题或填空题)，一般出现在第2～6或第13～15题的位置上，难度较低，但去年理数的向量放在第12题，难度较大．

2．高考对平面向量的夹角与模的考查常有以下四个命题角度：

(1)求两向量的夹角；

(2)求向量的模；

(3)两向量垂直问题；

(4)求参数值或范围．

3．有时也会以平面向量为载体，与三角函数、解析几何等其他知识相交汇综合命题，难度中等．

4